Abstand berechnen

Gerade, Strecke, Strahl – Wiederholung

Um Dich mit dem Abstand zwischen Punkten und (parallelen) Geraden zu beschäftigen, ist es von Vorteil, zu wissen, was eine Gerade $g$, eine Strecke $s$ oder ein Strahl $t$ ist.

Abstand berechnen – Grundlagen

Mit dem Abstand zweier Punkte ist immer der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten gemeint. Wie Du diesen Abstand berechnen kannst, erfährst Du im folgenden Abschnitt.

In den nachfolgenden Erklärungen wird oftmals auf die Punkte $A$ und $B$ eingegangen, wenn es um den Abstand zweier Punkte geht. Allerdings können in Aufgaben auch andere Punkte gewählt werden.

Grafisch wird das dargestellt, indem eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten gesetzt und die Länge dieser Distanz mit $\overline{AB}$ bezeichnet wird.

Das bedeutet also, um den Abstand zweier Punkten $A$ und $B$ zu ermitteln, ist deren Distanz mit einem Lineal oder Geodreieck zu bestimmen.

Abstand zweier Punkte berechnen

Den Abstand zwischen Punkten $A$ und $B$ kannst Du sowohl grafisch, als auch rechnerisch mit Koordinaten und den Satz des Pythagoras lösen.

Abstand zweier Punkte messen

Um den Abstand zweier Punkte berechnen zu können, verwendest Du das Geodreieck, indem an einen der Punkten die Markierung 0 gegeben wird und bis zu dem anderen Punkt gemessen wird.

Du kannst aus der vorherigen Grafik erkennen, dass nicht ganz $2,5$ gemessen werden kann. Dabei hilft das Geodreieck aus. Eine Markierung der kurzen Striche entspricht $0,1$. Du nimmst so oft diese Zahl hinzu, bis Du zu dem zweiten Punkt $B$ angelangt bist und addierst die kleinere ganze Zahl hinzu. Damit erhältst Du $2,3$.

Dabei gibt es grundsätzlich drei Arten, wie Punkte zueinander liegen können. Das Prinzip des Messens ist jedoch immer gleich.

Am Punkt $A$ wird dabei immer der Nullpunkt des Geodreiecks gelegt. Danach kannst Du den Wert am Punkt $B$ ablesen. Dieser liegt in den ersten beiden Abbildungen bei ungefähr $5\text{ cm}$ und bei $6\text{ cm}$ in der dritten.

Abstände zweier Punkte mit Koordinaten berechnen

In diesem Kapitel geht es darum, den Abstand zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ auch berechnen zu können. Dabei wird der Satz des Pythagoras verwendet, um, über die Koordinaten der zwei Punkten, den Abstand zu berechnen.

Die Punkte $A$ und $B$ besitzen dabei die Koordinaten:

$$\begin{array}{rl}& A(2|2)\\ & B(4|3)\end{array}$$

Dabei wird aus den x- und y-Koordinaten jeweils ein Dreieck gebildet, welches als Steigungsdreieck bezeichnet wird, um dabei über die Länge dieser beiden Strecken über die Formel für den Satz des Pythagoras den Abstand zwischen zwei Punkten zu ermitteln.

Dieses Prinzip kann im zweidimensionalen Raum auch für Geraden verwendet werden.

Abstand Punkt Gerade mit dem Lotfußpunkt ermitteln

Eine Gerade $g$ besteht im Prinzip aus unendlich vielen Punkten. Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade zu messen, wird ein sogenannter Lotfußpunkt benötigt. Ein Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zweier senkrechter Geraden für den Abstand zweier Punkte.

Nun hast Du die Koordinaten des Lotfußpunkts. Sie entsprechen dabei:

$$F(3|3)$$

Den Abstand vom Punkt $A$ nach $F$ kannst Du messen oder über den Pythagoras berechnen. Diese Verfahren hast Du aber ja bereits in den vorherigen Abschnitten gelernt.

Abstand zweier paralleler Geraden ermitteln

Den Abstand zweier paralleler Geraden kannst Du auf zwei verschiedene Weisen ermitteln:

1. mit einem Geodreieck
2. mit einem Zirkel und einem Lineal

Abstand zweier paralleler Geraden – Geodreieck

Das Ermitteln des Abstandes zwischen zwei parallelen Geraden $f$ und $g$ mit dem Geodreieck ähnelt dem Verfahren des Messens des Abstandes zwischen einem Punkt $A$ und einer Geraden $g$. Bei einer Geraden – in diesem Fall $f(x)$ – suchst Du Dir einen Punkt $A$ heraus und setzt das Geodreieck so an, dass sich die Spitze $S$ des $90°$-Winkels des Geodreiecks auf der Geraden befindet und der Punkt $A$ am Nullpunkt $0$. Danach misst Du bis zur parallelen Geraden $g(x)$. Sieh Dir dazu gerne die nachfolgende Grafik an.

Abstand zweier paralleler Geraden – Zirkel

Um den Abstand paralleler Geraden mit dem Zirkel zu ermitteln, kannst Du Dir dazu diese drei Schritte merken:

Abstand berechnen – Aufgabe

Jetzt kannst Du ein wenig üben, doch vor allem in diesem Kapitel wirst Du mit den einzelnen Erklärungen noch viel Gelegenheit dazu haben. Viel Spaß!