Abstand Punkt Ebene

Aufgabe 1

Jetzt hältst Du den Ball in dem Punkt \(P(-3|1|4)\) fest. Der Fußboden hat die Ebenengleichung \(E:2x+3y-1z=-4\). Du fragst Dich, wie tief der Ball fallen würde, wenn Du ihn loslässt.

Berechne also den Abstand des Balls zum Fußboden.

Lösung

Als Erstes stellst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.

\begin{align}\frac{2x+3y-1z+4}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}&=0 \\[0.2cm] \frac{2x+3y-1z+4}{\sqrt{14}}&=0 \end{align}

Jetzt setzt Du den Punkt \(P(-3|1|4)\) in die hessesche Normalform ein

\begin{align} d&=\frac{|2x+3y-1z+4|}{\sqrt{14}} \\[0.2cm] d&=\frac{|2\cdot (-3)+3\cdot 1-1\cdot 4+4|}{\sqrt{14}} \end{align}

Zum Schluss berechnest Du die Gleichung und erhältst den Abstand zwischen der Ebenen und dem Punkt.

\begin{align} d&=\frac{|-6+3-4+4|}{\sqrt{14}}\\[0.2cm] d&=\frac{|-3|}{\sqrt{14}}\\[0.2cm] d&=\frac{3}{\sqrt{14}}\,[LE]\approx \text{0,8018}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen dem Ball und dem Fußboden beträgt rund \(\text{0,8018}\,[LE]\).

Aufgabe 2

Berechne den Abstand der Ebene \(E:5y+2z=1\) zum Punkt \(P(-2|-1|-5)\).

Lösung

Zunächst stellst Du die Lotgerade \(l\) aus dem Punkt \(P\) auf, mit dem Normalenvektor der Ebene \(E\) als Richtungsvektor.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right)\]

Danach berechnest Du den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit der Lotgerade \(l\). Setze die allgemeinen Punkte der Lotgerade dafür in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).

\begin{align} 5y+2z&=1 \\ 5\cdot(-1+5\lambda)+2\cdot(-5+2\lambda)&=1 \\ -5+25\lambda-10+4\lambda&=1 \\ -15+29\lambda&=1 &|&+15 \\ 29\lambda&=16 &|&:29 \\ \lambda&=\frac{16}{29} \end{align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt und Lotfußpunkt \(S\).

\begin{align} l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\frac{16}{29} \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ \frac{51}{29} \\ -\frac{113}{29} \end{array}\right) \rightarrow S\left(-2\left|\frac{51}{29}\right|-\frac{113}{29}\right) \end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten \(P\) und \(S\). Bilde dafür den Vektor \(\overrightarrow {PS}\) und dann dessen Betrag..

\begin{align} d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{(-2-(-2))^2+\left(\frac{51}{29}-(-1)\right)^2+\left(-\frac{113}{29}-(-5)\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{0+\left(\frac{80}{29}\right)^2+\left(\frac{32}{29}\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\frac{6400}{841}+\frac{1024}{841}} \\[0.2cm] d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\frac{256}{19}}\,[LE] \approx\text{2,9711}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{2,9711}\,[LE]\).

Aufgabe 3

Berechne den Abstand des Punktes \(P(-1|-2|1)\) zur Ebene \(E:3x-1y=6\). Nutze die hessesche Normalform.

Lösung

Als Erstes stellst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.

\begin{align}\frac{3x-y-6}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}&=0 \\[0.2cm] \frac{2x-y-6}{\sqrt{10}}&=0 \end{align}

Jetzt setzt Du den Punkt \(P(-3|1|4)\) in die hessesche Normalform ein

\begin{align} d&=\frac{|3x-y-6|}{\sqrt{10}} \\[0.2cm] d&=\frac{|3\cdot(-1)-(-2)-6|}{\sqrt{10}} \end{align}

Zum Schluss berechnest Du die Gleichung und erhältst den Abstand zwischen der Ebenen und dem Punkt.

\begin{align} d&=\frac{|-3+2-6|}{\sqrt{10}}\\[0.2cm] d&=\frac{|-7|}{\sqrt{10}}\\[0.2cm] d&=\frac{7}{\sqrt{10}}\,[LE]\approx \text{2,2136}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{2,2136}\,[LE]\).

Aufgabe 4

Berechne den Abstand des Punktes \(P(-4|2|3)\) zur Ebene \(E:-x+5y-2z=3\). Nutze das Lotfußpunktverfahren.

Lösung

Zunächst stellst Du die Lotgerade \(l\) aus dem Punkt \(P\) auf, mit dem Normalenvektor der Ebene \(E\) als Richtungsvektor.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right)\]

Danach berechnest Du den Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der Lotgerade. Setze die allgemeinen Punkte der Lotgerade dafür in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).

\begin{align} -x+5y-2z&=3 \\ -(-4-1\lambda)+5\cdot(2+5\lambda)-2\cdot(3-2\lambda)&=3 \\ 4+\lambda+10+25\lambda-6+4\lambda&=3 \\ 8+30\lambda&=3 &|&-8 \\ 30\lambda&=-5 &|&:30 \\ \lambda&=-\frac{1}{6} \end{align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt und Lotfußpunkt \(S\).

\begin{align} l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)-\frac{1}{6} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -\frac{23}{6} \\ \frac{7}{6} \\ \frac{10}{3} \end{array}\right) \rightarrow S\left(-\frac{23}{6}\left|\frac{7}{6}\right|\frac{10}{3}\right) \end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten \(P\) und \(S\). Bilde dafür den Vektor \(\overrightarrow {PS}\) und dann den Betrag dessen.

\begin{align} d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\left(-\frac{23}{6}-(-4)\right)^2+\left(\frac{7}{6}-2\right)^2+\left(\frac{10}{3}-3\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(-\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{25}{36}+\frac{1}{9}} \\[0.2cm] d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\frac{5}{6}}\,[LE] \approx\text{0,9129}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{0,9129}\,[LE]\).