Ähnlichkeit

Ähnlichkeit Geometrie – Einstieg & Wiederholung

Die Ähnlichkeit ist etwa vergleichbar mit der Ähnlichkeit unter Geschwistern. Geschwister besitzen meist gewisse Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede in ihrem Aussehen. Die sogenannte „Kongruenz“ dagegen ist eher vergleichbar mit dem Aussehen eineiiger Zwillinge – auf den ersten Blick sehen sie gleich aus.

In der Mathematik geht es bei der Ähnlichkeit auch um das Aussehen, allerdings nicht das von Menschen. Hier sind es Figuren, die zueinander ähnlich oder auch kongruent sein können.

Ähnlichkeit – Kongruenz Definition

Die Ähnlichkeit und die Kongruenz sind eng miteinander verbunden. Die Kongruenz ist sogar ein Spezialfall der Ähnlichkeit. Mehr dazu erfährst Du etwas weiter unten.

Anders gesagt bedeutet Kongruenz, dass zwei Figuren genau gleich sind. Sie besitzen gleiche Seitenlängen und gleiche Winkel, sind aber zum Beispiel gedreht, gespiegelt oder verschoben. So ist die Kongruenz meist nicht auf den ersten Blick erkennbar und muss überprüft werden.

Die beiden Figuren in der Abbildung sind kongruent zueinander.

Ähnlichkeit – Zentrische Streckung

Wichtig für die Ähnlichkeit von Figuren ist die sogenannte „zentrische Streckung“.

Im Gegensatz zu einer Kongruenzabbildung, z. B. einer Drehung oder Verschiebung, verändert eine zentrische Streckung also auch die Größe einer Figur.

In dieser Abbildung ist die Figur $f_1$ um den Faktor $k=2$ am Streckzentrum $Z$ gestreckt, ihre Seitenlängen haben sich also verdoppelt.

Ähnlichkeit Mathe – Erklärung

Die Ähnlichkeit von Figuren spielt in der Geometrie eine große Rolle. Was genau sie ist und wie Du Figuren auf Ähnlichkei überprüfen kannst, erfährst Du jetzt.

Ähnlichkeit – Definition

Da Du nun die zentrische Streckung kennst, kann die Ähnlichkeit wie folgt definiert werden:

Hier siehst Du zwei ähnliche Vierecke:

Sie gehen mit einer zentrischen Streckung ineinander über. Auch hier ist der Streckfaktor, auch Ähnlichkeitsfaktor genannt, $k=2$.

Ähnlichkeit berechnen

Ähnliche Figuren besitzen sowohl Übereinstimmungen als auch Unterschiede.

Gegeben seien zwei beliebige ähnliche Figuren $f_1$ und $f_2$.

1. Dann stimmen die Winkel beider Figuren $f_1$ und $f_2$ überein. Die Seitenlängen der Figuren $f_1$ und $f_2$ sind allerdings unterschiedlich lang, aber ihre Seitenverhältnisse stimmen überein. Wären die Seitenlängen sogar gleich lang, wären die Figuren $f_1$ und $f_2$ nicht nur ähnlich, sondern kongruent.

   Um also zu überprüfen, ob zwei Figuren ähnlich sind, solltest Du überprüfen, ob

   1. die einander entsprechenden Winkel der Figuren übereinstimmen.$$\alpha =\beta =\gamma =...$$
   2. die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.$$\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}=...$$

Wie genau du Figuren auf Ähnlichkeit überprüfst, lernst Du anhand des folgenden Beispiels. Insbesondere die Längenverhältnisse solltest Du Dir dabei ansehen.

Ähnlichkeit – Vergrößern und verkleinern von Figuren

Wie Du nun vielleicht schon weißt, kannst Du Figuren vergrößern oder verkleinern, indem Du eine zentrische Streckung durchführst. Dabei erhältst Du zwei ähnliche Figuren. Wie das geht, erfährst Du in diesem kleinen „Ausflug“ in das Thema zentrischer Streckungen.

Ähnlichkeit – Aufgaben

Damit Du direkt mit dem Üben loslegen kannst, findest Du hier ein paar Übungen zum Thema Ähnlichkeit.