Ähnlichkeit

Gegeben sind zwei Figuren \( f_1\) und \( f_2\) mit gegebenen Seitenlängen und Winkeln.

Um die Dreiecke auf Ähnlichkeit zu überprüfen, müssen nun also die Seitenverhältnisse sowie die Winkel verglichen werden. Auf den ersten Blick ist schon erkennbar, dass das grüne Dreieck anders gedreht ist, als das blaue. Daher musst Du aufpassen, welche Seiten und Winkel Du vergleichst.

Schritt 1

Da Dreiecke immer eine Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) besitzen, lassen sich \(\gamma\) und \(\alpha'\) ausrechnen:

\[\gamma=180^\circ-68^\circ-59^\circ=53^\circ\]

und

\[\alpha'=180^\circ-59^\circ-53^\circ=68^\circ.\]

Damit stimmen dann tatsächlich alle Winkel überein, denn es gilt

\[ \alpha=\alpha'=68^\circ\]

\[\beta=\beta'=59^\circ\]

\[\gamma=\gamma'=53^\circ.\]

Schritt 2

Wenn Du die Seitenverhältnisse überprüfen willst, stellst Du die entsprechenden Seiten im Bruch dar. Ergibt jeder Bruch das gleiche, so ist das Ergebnis der Ähnlichkeitsfaktor und die Figuren sind ähnlich zueinander.

Du prüfst also, ob

\[\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\]

gilt. Setzt Du die gegebenen Seitenlängen ein, so gilt

\[\begin{align} \frac{a}{a'} &=\frac{58,3cm}{116,6cm}=2 \\ \frac{b}{b'} &=\frac{53,8cm}{107,2cm}=2 \\ \frac{c}{c'} &=\frac{58,3cm}{116,6cm}=2. \\ \end{align}\]

Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich und der Ähnlichkeitsfaktor ist \(k=2\).

Aufgabe 1

Überprüfe beide Figuren auf Ähnlichkeit.

Hinweis: Da Du keine Seitenlängen gegeben hast, kannst Du die Kästchen als Orientierung nutzen. Ein Kästchen entspricht einer Längeneinheit (kurz: LE).

Lösung

Es kann schnell erkannt werden, dass beide Figuren die gleichen Winkel besitzen. Es sind überall rechte Winkel, außer im Punkt F und F'. Dort sind es außerhalb des Vielecks \(90^\circ\), innerhalb also \(360^\circ-90^\circ=270^\circ\).

Nun müssen also noch die Seitenlängen verglichen werden. Hierbei schaust Du Dir die Verhältnisse der einzelnen Strecken an. Die Strecke von A bis B besteht aus 2 Kästchen, also 2 LE, während die Strecke von A' bis B' aus 3 Kästchen, also 3 LE, besteht. So gehst Du für alle Strecken vor.

\begin{align} \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} &=\frac{2 LE}{3 LE}=\frac{2}{3} \\ \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} &=\frac{2 LE}{3 LE}=\frac{2}{3} \\ \frac{\overline{CD}}{\overline{C'D'}} &=\frac{3 LE}{5 LE}=\frac{3}{5} \\ \frac{\overline{DE}}{\overline{D'E'}} &=\frac{1 LE}{2 LE}=\frac{1}{2} \\ \frac{\overline{EF}}{\overline{E'F'}} &=\frac{1 LE}{2 LE}=\frac{1}{2} \\ \frac{\overline{AF}}{\overline{A'F'}} &=\frac{1 LE}{1 LE}=1 \\ \end{align}

Wie Du siehst, stimmt schon das Verhältnis der Strecken \(\overline{CD}\) und \(\overline{C'D'}\) nicht mehr mit dem Verhältnis der Strecken (\overline{AB}\) und \(\overline{A'B'}\) überein. Theoretisch reicht dies als Beweis dafür, dass die Figuren nicht ähnlich zueinander sind.

Aufgabe 2

Zeichne das Trapez und den Punkt Z in dein Heft und zeichne ein ähnliches Trapez daneben, indem Du es mit dem Streckfaktor \(k=2\) vergrößerst. Z ist dabei das Streckzentrum.

Lösung

Deine Zeichnung sollte in etwa so aussehen:

Aufgabe 3

Überprüfe die Vierecke auf Ähnlichkeit.

Abbildung 15: Aufgabe 3

Lösung

a)

Die Figuren sind ähnlich zueinander, da sie die gleichen Winkel besitzen (alle \(90^\circ\)) und ihre Seiten alle im gleichen Verhältnis stehen. Die langen Seiten sind in der blauen Figur 3 LE lang, in der grünen Figur 6 LE. Das macht einen Streckfaktor/Ähnlichkeitsfaktor von \(\frac{6}{3}=2\). Die kurzen Seiten der blauen Figur sind 1 LE und die der grünen Figur 2 LE, was ebenfalls einen Ähnlichkeitsfaktor von \(\frac{2}{1}=2\) ergibt.

b)

Die Figuren sind nicht ähnlich zueinander. Alle Seiten sind um den Faktor 2 gestreckt, außer die linke Seite. Sie ist lediglich um den Faktor 1,5 gestreckt. Somit stimmen außerdem nicht mehr alle Winkel überein.

c)

Die Figuren sind nicht nur ähnlich zueinander, sie sind sogar kongruent. Du kannst sie also theoretisch genau aufeinanderlegen. Die grüne Figur ist lediglich gedreht.