Du freust Dich sicher bestimmt auf den windigen Herbst, um endlich Deinen Drachen wieder steigen zu lassen. Beim Anblick Deines Drachens erinnerst Du Dich an die heutige Geometriestunde, in welcher Du eine ziemlich ähnliche Figur kennengelernt hast, nämlich das Drachenviereck. Was genau dieses ist und was es mit den Diagonalen auf sich hat, erfährst Du in dieser Erklärung.
Das Drachenviereck ist eine wichtige Figur der Geometrie. Drachenvierecke sind Vierecke mit besonderen Eigenschaften.
Ein Drachenviereck hat vier Winkel und vier Seiten, wobei jeweils zwei aneinandergrenzende Seiten gleich lang und zwei Winkel gleich groß sind.
Ein vollständig beschriftetes Drachenviereck inklusive der Winkel und Diagonalen sieht beispielsweise wie in Abbildung 1 aus.
Abbildung 1: Das Drachenviereck
Die Teilstrecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Spitze wird als x, jene hin zum Eckpunkt A als y bezeichnet.
Doch was genau wird überhaupt unter einer Diagonale verstanden und was macht diese besonders?
Diagonale Drachenviereck
Was ist in der Mathematik mit einer Diagonale gemeint?
Die Diagonale einer geometrischen Figur stellt die Verbindungslinie zweier nicht aneinander angrenzenden Eckpunkte dar.
Das Drachenviereck hat zwei Diagonalen, welche als e und f bezeichnet werden.
Wie folgende Abbildung aufzeigt, wird die Diagonale vom Punkt A nach C als "e" und die Diagonale vom Punkt B nach D als "f" bezeichnet. Weiterhin muss erwähnt werden, dass im Drachenviereck die Diagonale e in die Teilstrecken x und y unterteilt werden. Diese reichen vom Schnittpunkt der Diagonalen zum Eckpunkt C bzw. zum Eckpunkt A.
Abbildung 2: Die Diagonalen
Das Drachenviereck und insbesondere seine Diagonalen haben ein paar sehr wichtige Eigenschaften, die Du Dir gut merken solltest.
Senkrechte Diagonalen Drachenviereck – Beweis
Diagonalen im Drachenviereck stehen immer senkrecht aufeinander. Das gründet auf der folgenden Tatsache:
Im Drachenviereck müssen grundsätzlich jeweils die am Eckpunkt A und Eckpunkt C anliegenden Seiten gleich lang sein. Folgende Abbildung zeigt, dass dies nicht möglich wäre, wenn die Diagonalen nicht senkrecht zueinander stehen würden.
Abbildung 3: Diagonalen senkrechtAbbildung 4: Diagonalen nicht senkrecht
Da nun bewiesen wurde, dass die beiden Diagonalen im Drachenviereck immer senkrecht zueinander stehen bzw. einen rechten Winkel bilden, kann auf die nächste Eigenschaft eingegangen werden. Diese basiert darauf, dass die Diagonalen senkrecht sind.
Symmetrieachse Diagonalen Drachenviereck
In jeder Ausprägungsform des Drachenvierecks stellt die Diagonale e eine Symmetrieachse dar. Dies bedeutet, dass die Figur an dieser Linie gespiegelt wird. Folgende Abbildung soll dies verdeutlichen:
Abbildung 5: Diagonale e - Symmetriachse
Da das türkise und hellblau angefärbte Dreieck gleich groß und äquivalent sind, bestätigt dies, dass die Diagonale e die Symmetrieachse im Drachenviereck darstellt.
Nachdem die bedeutendsten Eigenschaften der Diagonale im Drachenviereck aufgeführt wurden, stellt sich die Frage, wie die Diagonale berechnet werden kann.
Folgender Abschnitt stellt den Kern dieser Erklärung dar und wird genau darauf eingehen, wie die Diagonalen mithilfe verschiedener Variablen (wie der Fläche A, den Teilstrecken x und y, aber auch den Seitenlängen a und b) berechnet werden können.
Diagonale Drachenviereck – Formel
Der einfachste Weg, eine der beiden Diagonalen zu berechnen, ist aus der Fläche A. Hierbei muss neben der Fläche zwingend eine der beiden Diagonalen gegeben sein. Folgendes Beispiel soll die Formel herleiten.
Aufgabe 1
Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:
Berechne die Diagonale e!
Lösung
Als ersten Schritt wird die Flächenformel hingeschrieben und nach der gesuchten Variable umgestellt:
Nachdem die Formel korrekt hergeleitet wurde, können die Werte nun anstelle der Variablen eingesetzt und die Gleichung gelöst werden.
Die Diagonale e ist lang.
Somit kann folgende Formel für die Berechnung der Diagonalen aus der Fläche aufgestellt werden:
Die Diagonalen eines Drachenvierecks können mithilfe dieser beiden Formeln aus der Fläche berechnet werden:
Es gibt noch weitere Methoden, um die Diagonalen zu berechnen. Hierbei kommt der Satz des Pythagoras ins Spiel.
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Als kurze Wiederholung zum Satz des Pythagoras, folgende Abbildung eines rechtwinkligen Dreiecks:
Abbildung 6: Satz des Pythagoras
Mithilfe des Satzes nach Pythagoras kann im rechtwinkligen Dreieck jeweils eine Seite berechnet werden, insofern der Wert der anderen beiden gegeben ist. Der Satz des Pythagoras lautet wie folgt:
Hierbei werden die beiden am rechten Winkel anliegenden Seiten als Katheten (K1, K2) und die längste Seite bzw. die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite als Hypotenuse (H) bezeichnet. Nun kann diese Formel je nachdem, welche Seite gesucht wird, umgestellt und gelöst werden. Doch zurück zu unserem Drachenviereck!
Wie folgende Abbildung zeigt, wird im Drachenviereck die Diagonale e am Schnittpunkt mit der Diagonale f in zwei Teilstrecken unterteilt, nämlich der Strecke x und der Strecke y.
Abbildung 7: Teilstrecken x und y
Des Weiteren unterteilen die Diagonalen die Figur in vier rechtwinklige Dreiecke, was bedeutet, dass unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras eine der Seiten berechnet werden kann, vorausgesetzt die anderen beiden sind angegeben.
Wie dies funktioniert, wird Schritt für Schritt in folgenden Absätzen geschildert.
Drachenviereck Diagonale e berechnen – Mithilfe der Strecke x, Diagonale f und der Seite a
Folgende Abbildung zeigt das rechtwinklige Dreieck, welches für die Berechnung der Strecke y mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras herangezogen wird. Die Strecke y reicht vom Eckpunkt A hin zum Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Die kürzeren Strecken sind die Katheten, die Strecke a ist die Hypotenuse.
Abbildung 9: Satz des Pythagoras
Um nun die Kathete K1, also die Teilstrecke y dieses Dreiecks berechnen zu können, wird die Formel des Pythagoras hingeschrieben und danach wird wie folgt vorgegangen:
Schritt 1:
Schritt 2:
Schritt 3:
Somit kann folgendes ausgesagt werden:
Die Diagonale e kann mithilfe der Seite a, der Diagonale f und der Teilstrecke x mit folgender Formel berechnet werden:
Drachenviereck Diagonale e berechnen – Mithilfe der Strecke y, Diagonale f und der Seite b
Um die fehlende Teilstrecke x der Diagonale e zu berechnen, wird folgendes Dreieck für die Anwendung des Lehrsatzes nach Pythagoras herangezogen.
Abbildung 10: Satz des Pythagoras
Um nun die Kathete K1, also die Teilstrecke x dieses Dreiecks berechnen zu können, wird wie folgt vorgegangen:
Schritt 1:
Schritt 2:
Schritt 3:
Somit kann folgendes ausgesagt werden:
Die Diagonale e kann mithilfe der Seite b, der Diagonale f und der Teilstrecke y mit folgender Formel berechnet werden:
Drachenviereck Diagonale f berechnen – Mithilfe der Strecke x und der Seite b
Unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras kann im rechtwinkligen Dreieck der folgenden Abbildung zuerst die Hälfte der Diagonale f berechnet und diese dann mit zwei multipliziert werden.
Abbildung 11: Satz des Pythagoras
Um nun die Kathete K2, also die Teilstrecke , dieses Dreiecks berechnen zu können, wird wie folgt vorgegangen:
Schritt 1:
Schritt 2:
Schritt 3:
Somit kann folgendes ausgesagt werden:
Die Diagonale f kann mithilfe der Seite b und der Teilstrecke x mit folgender Formel berechnet werden:
Versuche Dich einmal selbst an dieser Übungsaufgabe! Die Formeln und Angaben aus dieser Erklärung werden Dir dabei helfen.
Aufgabe 2
Berechne die Diagonalen eines Drachenvierecks, welches folgende Werte aufweist:
Abbildung 12: Skizze
Hinweis: Die Diagonale e stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und die Diagonale f die gesamte Strecke von B bis D dar.
Lösung
Wird das folgende rechtwinklige Dreieck untersucht, wird festgestellt, dass mithilfe des Satzes nach Pythagoras bereits die fehlende Seite, berechnet werden kann.
Abbildung 13: Satz des Pythagoras
Da die Formel für die Berechnung der Diagonale f, wenn x und b gegeben sind, in diesem Beitrag definiert wurde, können die Werte lediglich in diese eingesetzt werden.
Unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras kann mithilfe der Diagonale f und der Seite a jetzt die Teilstrecke y berechnet werden. Im Anschluss daran kann die Diagonale e berechnet werden, welche sich aus der Summe der beiden Teilstrecken x und y ergibt.
Abbildung 14: Satz des Pythagoras
Hierbei wird die gelernte Formel verwendet, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst:
Somit weisen die Diagonalen dieses Drachenvierecks folgende Werte auf: und .
Diagonale Drachenviereck – Das Wichtigste
Jeweils zwei angrenzende Seiten des Drachenvierecks sind immer gleich lang, wobei die Diagonalen jedoch unterschiedlich lang sind.
Der Winkel und der Winkel sind immer gleich groß
Die Diagonalen werden aus der Fläche wie folgt berechnet:
Die Diagonale e wird wie folgt berechnet:
Die Diagonale f wird wie folgt berechnet:
Die Strecke e kann in x und y unterteilt werden:
Nachweise
Simon (2013). Mathematik für Techniker. Vieweg.
Grillmayer (2009). Im Reich der Geometrie: Teil I: Ebene Geometrie. Books on Demand GmbH.
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