Flächeninhalt Drachenviereck

Aufgabe 5

Dein Mathematiklehrer zeigt Dir eine Abbildung eines selbst-gebastelten Drachens und behauptet: „Die Fläche dieser Figur können nur die Wenigsten herausfinden“.

Die Abbildung mitsamt den gegebenen Werten sieht wie folgt aus:

$U=36cma=\hspace{0.17em}10cmx=4cm$

Abbildung 8: Skizze

Hinweis: Die Diagonale f stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und die Diagonale e die gesamte Strecke von B bis D dar.

Lösung

Für solche komplexe Aufgaben empfiehlt sich am Zielpunkt anzufangen und sich schrittweise zum Ausgangspunkt vorzuarbeiten. Gesucht ist der Flächeninhalt, welcher wie folgt berechnet wird:

$$\begin{gathered} A=\hspace{0.17em}\frac{e·f}{2} \\ e=? \\ f=\hspace{0.17em}? \end{gathered}$$

Da weder die Werte der Diagonale e noch der Diagonale f in der Angabe enthalten sind, müssen diese zuerst berechnet werden. Eine Skizze hilft festzustellen, ob ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb der Figur mindestens zwei Seiten aufweist, wodurch mithilfe des Satzes nach Pythagoras die übrige Seite berechnet werden könnte.

Abbildung 9: Satz des Pythagoras

Da keines der rechtwinkligen Dreiecke zwei bekannte Seiten aufweist, muss versucht werden, mithilfe des Umfangs die Seite b zu berechnen. Hierzu wird die Umfangsformel nach b freigestellt, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Berechnung der Seite b

$$\begin{gathered} U=2·a+2·b|Subtrahiere2·a \\ U-2·a=2·b|DividieredieGleichungdurch2 \\ \frac{U-2·a}{2}=b|SetzedieWerteindieGleichungein \\ \frac{36cm-2·10cm}{2}=b|Berechne2·10cm \\ \frac{36cm-20cm}{2}=b|Subtrahiere20cmvon36cm \\ \frac{16cm}{2}=b|Dividiere16cmdurchzwei \\ 8cm=\hspace{0.17em}b \end{gathered}$$

Die Seite b beträgt somit $8cm$.

Wird nun das folgende rechtwinklige Dreieck untersucht, wird festgestellt, dass mithilfe des Satzes nach Pythagoras nun die fehlende Seite, $\frac{f}{2}$ berechnet werden kann.

Abbildung 10: Satz des PythagorasAbbildung 11: Satz des Pythagoras

Als Erstes wird der Lehrsatz nach Pythagoras nach K2 freigestellt und die Variablen eingesetzt. Dies sieht wie folgt aus:

$$\begin{gathered} K{1}^2+K{2}^2=H^2|SubtrahiereK{1}^2 \\ K{2}^2=H^2-K{1}^2|ZiehedieWurzel \\ K2=\sqrt{H^2-K{1}^2}|SetzedieVariableanstellevonK1,K2undHein \\ \frac{f}{2}=\sqrt{{\left(8cm\right)}^2-{\left(4cm\right)}^2}|MultiplizieredieGleichungmit2 \\ f=\hspace{0.17em}\sqrt{{\left(8cm\right)}^2-{\left(4cm\right)}^2}·2|BerechnediePotenzvon8cmund4cm \\ f=\hspace{0.17em}\sqrt{64c{m}^2-16c{m}^2}·2|Subtrahiere16c{m}^{2}von64c{m}^2 \\ f=\hspace{0.17em}\sqrt{48c{m}^2}·2|ZiehedieWurzelvon48c{m}^2 \\ f\hspace{0.17em}=6,93cm·2|Multipliziere6,93cmmitzwei \\ f=13,86cm \end{gathered}$$

Unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras kann mithilfe der Diagonale f, der Strecke x und der Seite a jetzt die Teilstrecke y berechnet werden. Im Anschluss daran kann die Diagonale e berechnet werden, welche sich aus der Summe der beiden Teilstrecken x und y ergibt.

Abbildung 12: Satz des Pythagoras

Hierbei wird die gelernte Formel verwendet, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst:

$$\begin{gathered} e=\sqrt{a^2-{\left(\frac{f}{2}\right)}^2}+x|SetzedieWerteanstellederVariablenein \\ e=\sqrt{{\left(10cm\right)}^2-{\left(\frac{13,86cm}{2}\right)}^2}+4cm\hspace{0.17em}|LösedenBruchauf;Dividiere13,86durchzwei \\ e=\sqrt{{\left(10cm\right)}^2-{\left(6,93cm\right)}^2}+4cm\hspace{0.17em}|BerechnediePotenzenvon10cmund6,93cm \\ e=\hspace{0.17em}\sqrt{100c{m}^2-47,61c{m}^2}+4cm|Subtrahiere47,61c{m}^{2}von100c{m}^2 \\ e=\sqrt{52,49c{m}^2}+4cm|ZiehedieWurzelvon52,49c{m}^2 \\ e\hspace{0.17em}=7,24cm+4cm|Addiere7,24cmund4cm \\ e=11,24cm \end{gathered}$$

Als letzten Schritt werden die Werte der beiden Diagonalen in die Flächenformel eingesetzt und die Gleichung berechnet.

$$\begin{gathered} A=\hspace{0.17em}\frac{e·f}{2}|SetzedieWertefüreundfein \\ A=\hspace{0.17em}\frac{11,24cm·13,86cm}{2}|MultiplizierediebeidenWerte \\ A=\hspace{0.17em}\frac{155,79c{m}^2}{2}|Dividieredurchzwei \\ A=77,895c{m}^2 \end{gathered}$$

Die Fläche der Figur beträgt somit $A=\hspace{0.17em}77,895c{m}^2$. Gut gemacht!