Geometrische Orte

Geometrischer Ort – Definition

Ein geometrischer Ort ist eine Teilmenge der Ebene oder des Raums, die gewisse Bedingungen erfüllt. Die Ebene bzw. der Raum besteht aus mathematischer Sicht einfach aus ganz vielen Punkten.

Eine Bedingung kann dabei etwa sein, dass ein geometrischer Ort einen bestimmten Abstand zu etwas hat.

Meistens handelt es sich bei geometrischen Örtern um Kurven oder Linien, die dann Ortskurve oder Ortslinie genannt werden. Es gibt aber geometrische Örter, die keine Kurven oder Linien sind, sondern Flächen oder andere Bereiche. Diese werden dann Ortsbereiche genannt.

Geometrische Örter – Zusammenfassung

Es gibt viele unterschiedliche geometrische Örter (Plural von geometrischer Ort). Einige davon lernst Du in dieser Zusammenfassung kennen.

Kreis – Kreislinie

Die Kreislinie um den Punkt M mit dem Radius r ist die erste Ortskurve. Dort liegen alle Punkte, die vom Punkt M den Abstand r haben.

Abbildung 1: Kreislinie

Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende w von zwei sich schneidenden Geraden ist ein geometrischer Ort. Dort liegen alle Punkte P, die von den Geraden den gleichen Abstand haben.

Abbildung 2: Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte m einer Strecke $\overline{AB}$ ist eine Gerade, die senkrecht auf der Strecke steht und sie halbiert. Als geometrischer Ort sind das also alle Punkte, die von den Punkten A und B denselben Abstand haben.

Abbildung 3: Mittelsenkrechte

Parallelenpaar

Alle Punkte, die von einer Geraden g einen festen, gleichen Abstand haben, liegen auf zwei Parallelen zur Geraden. Diese Geraden sind auch ein geometrischer Ort.

Abbildung 4: Parallelenpaar

Mittelparallele

Die Mittelparallele m zweier Geraden g und h ist die Gerade m, die von g und h denselben Abstand hat.

Abbildung 5: Mittelparallele

Außerdem ist die Mittelparallele m die Ortskurve aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallelen Geraden g und h berühren, sie aber nicht schneiden.

Abbildung 6: Mittelparallele als Ortskurve von Kreismittelpunkten

Dreieck

Auch am Dreieck lassen sich geometrische Örter finden.

Bildest Du alle Mittelsenkrechten des Dreiecks, so bildet ihr Schnittpunkt den Punkt, der von allen Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand besitzt. Er ist somit auch der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Abbildung 7: Dreieck Umkreis

Die Winkelhalbierenden des Dreiecks besitzen ebenfalls einen Schnittpunkt. Dieser ist der geometrische Ort des Punktes, der zu allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand besitzt und bildet somit den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Abbildung 8: Inkreis Dreieck

Ortskurven von Funktionenscharen

Du kannst in der Analysis die Ortskurve von bestimmten Punkten einer Funktionsschar bestimmen. Diese Punkte können z. B. Extrempunkte, Scheitelpunkte, Wendepunkte oder Ähnliches sein. Dabei sollst Du meist eine Funktionsgleichung angeben.

Wie genau Du diese Funktionsgleichung herausfindest, lernst Du in der Erklärung zur Ortskurve.

Hier siehst Du ein Beispiel für eine Funktionenschar $f_k$ und die Ortskurve ihrer Tiefpunkte.

Abbildung 9: Ortskurve der Tiefpunkte einer Funktionenschar

Geometrische Örter Schreibweise

Geometrische Örter werden oft in Mengenschreibweise geschrieben. Wie das aussehen kann, siehst Du in diesem Beispiel.

Geometrische Örter bestimmen – Übungen

Konkrete Aufgaben zu den einzelnen hier genannten geometrischen Örtern findest Du in den jeweiligen Erklärungen. Du kannst Dir folgende Aufgaben zu geometrischen Örtern allgemein ansehen und prüfen, ob Du das bisher Gelernte anwenden kannst.