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Abbildung 1: Erde mit einer Gerade als Drehachse
Doch was ist eine Gerade überhaupt genau und warum steckt hinter ihr mehr, als nur eine Linie? Um das zu erfahren, bist Du hier genau richtig! In dieser Erklärung lernst Du alles, was zum geometrischen Grundgestein Gerade wichtig ist.
Gerade Grundlagenwissen
Bevor Du in das Thema "Gerade" eintauchst, gibt es ein paar Basics, die Dir beim Verständnis des Themas helfen werden. Zu den Basics der Geometrie, die für Geraden relevant sind, gehören Punkte, Linien und Strecken.
Punkt
Punkte begegnen Dir eigentlich ständig. Sei es beispielsweise der Treffpunkt mit Deinen Freunden, oder ein Punkt auf Deinem Blatt Papier im Mathematikunterricht. In der Mathematik sind Punkte primär in der Geometrie relevant und genau definiert.
Ein Punkt ist die Schnittstelle zweier gerader Linien u und v und beschreibt eine genaue Position. Er hat keine Ausdehnung (Dimension). Mehrere Punkte bilden in der Mathematik eine geometrische Figur.
Keine Ausdehnung heißt, dass der Punkt weder Breite, noch Höhe, noch Länge besitzt. Er wird zwar meist als kleiner Kreis oder als Kreuz dargestellt, das dient aber nur der Veranschaulichung und ist eine gedachte Positionsangabe. In Abbildung 2 siehst Du Beispiele für Punkte.
Abbildung 2: Beispiele für Punkte E und F
Punkte werden meist mit lateinischen Großbuchstaben wie A, B, oder E, F bezeichnet.
In der Definition des Punktes heißt es, dass dieser die Schnittstelle zweier gerader Linien ist. Doch was genau ist eine Linie?
Linie
Stell Dir vor, Du schaust auf eine Landkarte. Du willst mit einem Freund ins Kino gehen. Dein Treffpunkt mit diesem Freund wird als Punkt A bezeichnet. Ihr geht zusammen ins Kino und die Position des Kinos ist der Punkt B. Du legst ein Lineal an und verbindest beide Punkte mit einem Strich. Somit hast Du eine Linie, die den Weg darstellt, den Ihr gehen müsst. So wird eine Linie auch definiert.
Eine Linie repräsentiert einen Weg zwischen zwei Punkten A und B. Sie entsteht durch die Bewegung eines Punktes. Jede Linie ist eine unendliche Punktmenge. Eine Linie kann gerade oder gebogen sein. Außerdem kann sie einen Start und/oder Endpunkt haben, aber auch unendlich lang sein.
In Abbildung 3 kannst Du das Beispiel für die Linie sehen, die den Weg von Treffpunkt A zum Kino an Punkt B repräsentiert.
Abbildung 3: Weg Kino als Linie von Punkt A zu Punkt B
Jede Position auf Deiner Linie, bzw. auf Deinem Weg zum Kino, kann durch einen Punkt repräsentiert werden. Da dieser keine Ausdehnung hat, sind auf der Linie unendlich viele Punkte.
In der Umgangssprache wird die Linie auch „Strich“ genannt.
Es gibt viele verschiedene Arten von Linien, die unterschiedliche Namen haben. Die Linie aus dem Beispiel hat einen Startpunkt A, der Treffpunkt mit Deinem Freund und einen Endpunkt B, die Position des Kinos. Hierbei handelt es sich beispielsweise um eine Strecke.
Strecke
Ein Beispiel für eine Strecke hast Du gerade quasi schon kennengelernt. Die Strecke ist eine besondere Art einer Linie mit bestimmten Eigenschaften.
Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten A und B. Sie ist eine Linie mit einem Startpunkt und einem Endpunkt und hat somit eine endliche Länge.
In Abbildung 4 kannst Du das Beispiel für die Strecke [AB] zwischen den Punkten A und B sehen.
Abbildung 4: Strecke [AB] zwischen den Punkten A und B
Alles, was für Linien im Allgemeinen gilt, gilt auch für Strecken.
Wie die Strecke, ist auch die Gerade linear. Was die Gerade genau ist, wie Du sie zeichnest, darstellst und wofür sie gebraucht wird, lernst Du nun in diesem Artikel kennen.
Gerade – Definition und Darstellung
Die Gerade ist, wie erwähnt, eine bestimmte Form einer Linie. Sie gehört zu den wichtigsten geometrischen Grundelementen und wird in der Mathematik in den verschiedensten Bereichen gebraucht. In diesem Artikel lernst Du die Gerade in der Geometrie kennen.
Eine Gerade ist eine Linie, die auf beiden Seiten ins Unendliche reicht. Sie besitzt keinen Start- und Endpunkt.
Denkst Du dabei an die Drehachse der Erde aus der Einleitung, so kannst Du feststellen, dass die Drehachse ja nirgendwo richtig anfängt oder aufhört, weswegen es sich dabei um eine unendlich lange Linie, also eine Gerade, handelt.
Beispiele für Geraden siehst Du in Abbildung 5.
Abbildung 5: Beispiele von Geraden g und f
Jetzt gibt es aber noch eine Sonderform der Gerade, die Halbgerade, welche auch Strahl genannt wird. Sie ist in der Mathematik und der Geometrie ebenfalls relevant.
Eine Halberade, auch Strahl genannt, ist eine Linie, die auf einer Seite ins Unendliche reicht. Sie hat einen Startpunkt, aber keinen Endpunkt.
Ein Beispiel für eine Halbgerade ist unter anderem der Strahl einer Taschenlampe. Der Strahl beginnt an der Glühbirne und reicht bei unendlicher Lichtkraft theoretisch unendlich weit.
Abbildung 6: Lichtstrahl als Beispiel für eine Halberade
Jetzt hast Du drei Arten von Linien kennengelernt. Wie genau sich diese unterscheiden und welche Eigenschaften sie besitzen, findest Du im nächsten Abschnitt noch einmal kurz zusammengefasst.
Gerade, Strecke, Strahl
Die Eigenschaften und Unterschiede der Gerade, der Strecke und des Strahls sind in der folgenden Tabelle dargestellt.
| Strecke | Strahl (Halbgerade) | Gerade | |
| Startpunkt | Ja | Ja | Nein |
| Endpunkt | Ja | Nein | Nein |
| Eigenschaft | auf beiden Seiten endlich | auf einer Seite endlich | reicht ins Unendliche |
| Abbildung |
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Geraden werden in der Mathematik für vielerlei Anwendungen gebraucht. Vor allem bei der Funktionsdarstellung in der Analysis und in der Geometrie sind sie von großer Bedeutung.
In der Geometrie ist die Gerade, wie schon erwähnt, eine der wichtigsten Grundelemente. Sie kann einzeln oder mit anderen geometrischen Elementen kombiniert betrachtet werden. Dieser Artikel behandelt, wie bereits erwähnt, vor allem Geraden in der Geometrie.
Lineare Funktion – Gleichung und Graph
Auch in der Analysis werden Geraden angewendet. Die lineare Funktion kann beispielsweise durch Geraden abgebildet werden, denn der Graph dieser ist eine Gerade.
Lineare Funktionen stellen eine lineare, also gleichmäßige Zu- oder Abnahme dar.
Die Gleichung einer linearen Funktion hat folgende Form:
Der Buchstabe m bezeichnet den Wert für die Steigung, t steht für den Wert vom y -Achsenabschnitt.
Abbildung 10: Beispiel lineare Funktion
Die Gleichung der Geraden lautet:
Die Steigung m hat den Wert 1,5 und der y-Achsenabschnitt den Wert 0,5. Die Werte können aus der Darstellung im Koordinatensystem abgelesen werden.
Wenn Du dazu mehr erfahren willst, dann schaue Dir den Artikel zur linearen Funktion an.
Gerade im Koordinatensystem
Eine Gerade reicht endlos in beide Richtungen, was bedeutet, dass sie auch aus unendlich vielen Punkten besteht. Um die Lage einer Geraden in einem Koordinatensystem eindeutig angeben zu können, musst Du allerdings nur zwei Punkte A und B kennen.
Im Koordinatensystem kann die Lage einer Geraden durch zwei Punkte A und B dann, wie in Abbildung 11, dargestellt werden:
Abbildung 11: Gerade g durch zwei Punkte A und B
Das sieht dann so aus:
- Gerade AB
- Gerade g
- AB = g ist die Gerade durch die zwei Punkte A und B
Da die Gerade endlos lang ist, kannst Du immer nur einen kleinen Teil sehen und zeichnen. Das ist aber nicht schlimm, denn Du weißt durch die zwei Punkte genau, wo eine Gerade in Deinem Ausschnitt im Koordinatensystem liegt und in welche Richtungen sie ins Unendliche weiter reicht.
Gerade zeichnen
Um eine Gerade zu zeichnen, brauchst Du ein Lineal oder ein Geodreieck. Zeichne zwei Punkte A und B auf ein Blatt, z.B. in Dein Koordinatensystem und verbinde diese durch eine gerade Linie. Verlängere Deine gerade Linie anschließend auf beiden Seiten gerade. Damit hast Du Deine Gerade gezeichnet.
Abbildung 12: Gerade zeichnen
Besondere Geraden – Geraden durch den Kreis
Geraden und Kreise gehören zu den Grundobjekten in der Geometrie und können zusammen verwendet werden, zum Beispiel wenn eine Gerade g durch zwei bestimmte Punkte A und B oder den Mittelpunkt M eines Kreises gesucht ist. In der Mathematik ist deshalb auch die Lagebeziehung dieser beiden geometrischen Objekte zueinander relevant. Je nachdem, wie eine Gerade g zu einem Kreis liegt, hat diese Gerade g einen bestimmten Namen. Hierbei handelt es sich um besondere Arten von Geraden.
| Name | Erklärung | Abbildung |
| Sekante (Schneidende) | Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten S1 und S2 schneidet. |
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| Zentrale | Sekante, die durch den Mittelpunkt M des Kreises geht. |
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| Tangente (Berührende) | Gerade, die den Kreis in einem Punkt (Sp) berührt. |
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| Passante (Vorbeigehende) | Gerade, die den Kreis in keinem Punkt schneidet. |
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Lagebeziehung Gerade – Gerade
Wird nicht nur eine Gerade g, sondern zwei Geraden g und f in einem Raum betrachtet, so können diese in unterschiedlichen Positionen zueinander stehen und deren Lage zueinander bestimmt werden. Betrachtest Du beispielsweise nicht nur die Drehachse der Erde, sondern auch die Drehachse des Saturns, so kannst Du Dir ansehen, wie diese Drehachsen zueinander liegen. Im zweidimensionalen Raum gibt es 3 Möglichkeiten, wie zwei Geraden g und f zueinander liegen können.
| Lage | Erklärung | Abbildung |
| Identisch | Zwei Geraden g und f sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Geraden g auch ein Punkt der anderen Geraden f ist. |
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| Schnittpunkt | Die Geraden g und f haben genau einen gemeinsamen Punkt (Sp). Hier kann auch der Schnittwinkel der beiden Geraden g und f berechnet werden. Sonderfall: Die Geraden g und f stehen senkrecht, also im rechten Winkel aufeinander. Der Winkel , den die beiden Geraden einschließen, beträgt somit 90°. |
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| Parallel (echt parallel) | Zwei Geraden g und f sind (echt) parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt Sp haben und ihr Abstand a überall gleich groß ist. |
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Windschiefe Geraden
Im dreidimensionalen Raum, also wenn drei Koordinatenachsen x, y und z gegeben sind, gibt es noch eine weitere Möglichkeit der Lage von zwei Geraden g und f zueinander: g und f liegen windschief zueinander. Die Berechnung der Lage von Geraden im dreidimensionalen Raum ist Teil der analytischen Geometrie.
Zwei Geraden g und f können nur im dreidimensionalen Raum windschief zueinander sein. Die Geraden g und f sind weder identisch, noch schneiden sie sich, noch sind sie parallel. Sie sind somit schief zueinander.
Abbildung 20: windschiefe Geraden g und f
Möchtest Du Dein Wissen weiter vertiefen, so kannst Du Dir den Artikel „Lagebeziehungen von Geraden“ ansehen.
Lagebeziehung Punkt – Gerade
Nun kann es beispielsweise auch interessant sein, welche Beziehung ein Punkt zu einer Geraden haben kann. Dabei gibt es zwei Arten von Beziehungen: Ein Punkt liegt auf einer Geraden und ein Punkt liegt nicht auf einer Gerade.
Punkt auf der Geraden
Die erste Möglichkeit ist, dass ein Punkt C direkt auf einer Geraden g liegt. Du findest ihn also auf Deiner Geraden wieder.
Abbildung 21: Punkt C auf Gerade g
Wenn der Punkt C auf der Geraden g liegt, dann ist die mathematische Schreibweise, wobei es gesprochen "C ist Element von g" heißt.
Punkt nicht auf der Geraden
Die zweite Möglichkeit ist, dass ein Punkt C nicht auf einer Geraden g liegt.
Abbildung 22: Punkt C nicht auf einer Geraden g
Wenn der Punkt C nicht auf der Geraden g liegt, dann ist die mathematische Schreibweise, wobei es gesprochen „C ist nicht Element von g“ heißt.
Abstand Punkt Gerade
Den Abstand a zwischen einem Punkt C und einer Geraden g kannst Du ermitteln, wenn der Punkt C nicht auf der Geraden liegt. Deswegen ist es wichtig, dass Du die Lagebeziehung zwischen dem Punkt C und Deiner Geraden g kennst.
Ermitteln kannst Du den Abstand a, indem Du das Lot zwischen Deinem Punkt C und Deiner Geraden g fällst und einzeichnest.
Zur Erinnerung: Ein Lot ist eine Gerade bzw. Strecke I, die senkrecht zu einer anderen Geraden bzw. Strecke g verläuft.
Im Falle der Abstandsermittlung zwischen Deinem Punkt C und Deiner Geraden g ist das Lot die Strecke , die senkrecht zu Deiner Geraden g steht und an Deinem Punkt C startet. Der Abstand a ist dann die Länge dieses Lots. Die Länge kannst Du mit Deinem Geodreieck abmessen.
Welche anderen Verfahren es noch zur Berechnung des Abstands gibt, wird Dir in dem Kapitel „Abstand Punkt Gerade" genau erklärt.
Abbildung 23: Abstand Punkt C und Gerade g
Nimmst Du das Beispiel aus der Abbildung 23, so ist der Abstand a zwischen dem Punkt C und der Geraden g die Länge der Strecke . Dafür zeichnest Du das Lot zwischen Deinem Punkt C und der Geraden g ein. Der Punkt L ist dabei der Schnittpunkt zwischen dem Lot und der Geraden, auch Lotfußpunkt L genannt. Nun kannst Du die Länge der Strecke mit Deinem Geodreieck abmessen. In diesem Fall beträgt die Länge der Strecke genau 1.
Gerade – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Gerade ist eine Linie, die (beidseitig) ins Unendliche reicht
- Eine Gerade kann durch die Funktion beschrieben werden
- Zum Zeichnen einer Gerade zeichnest Du zwei Punkte A und B auf ein Blatt, z.B. in Dein Koordinatensystem und verbindest diese durch eine gerade Linie. Verlängere Deine Gerade Linie anschließend auf beiden Seiten gerade.
- Die Lage von Geraden in einem Koordinatensystem kann durch zwei Punkte genau bestimmt werden
- Der Abstand zwischen Punkt und Gerade wird über die Länge des Lotes von Punkt zu Gerade berechnet
- Zwei Geraden können identisch, parallel oder windschief sein, oder sich schneiden
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Gerade
Was versteht man unter einer Geraden?
Eine Gerade ist eine Linie, die auf beiden Seiten ins Unendliche reicht.
Welche Geraden gibt es?
Es gibt viele Arten von Geraden. Geraden die in einer bestimmten Form zu einem Kreis liegen haben besondere Namen. Beispielsweise gibt es Sekanten, Zentralen, Tangenten und Passanten. Wenn hingegen zwei Geraden gegeben sind, können diese entweder Identisch sein, einen Schnittpunkt haben, sowie parallel oder windschief sein.
Wie nennt man den kürzesten Abstand eines Punktes von einer Gerade?
Der Abstand a ist die Länge des Lots zwischen dem Punkt C und der Geraden g.
Was ist die Formel für eine Gerade?
Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion. Diese hat die Form y=mx+t.
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