Geradengleichung in Parameterform: Erklärung

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Wie eine solche Gerade in der analytischen Geometrie aussieht und aufgestellt wird, wird Dir in dieser Erklärung näher gebracht.

Geraden in Parameterform – Erklärung

Eine Gerade gibt es im Themenfeld der Analysis und im Themenfeld der analytischen Geometrie. Die Gerade in der Analysis wird durch eine lineare Funktion dargestellt.

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form $f (x) = m x + t$ mit $D_{f} = ℝ$ .

Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.

In dem oben genannten Beispiel, dreht sich die Erde um eine Drehachse, die im Zentrum, also in der Mitte der Erde ist. Eine solche Gerade kann auch eine Symmetrieachse darstellen, wo sich die Erde in der Mitte spiegelt. Das könnte dann folgendermaßen aussehen.

Geradengleichung in Parameterform Gerade als Symmetrieachse StudySmarter Abbildung 2: Gerade als Symmetrieachse

Die Erde liegt ja aber im Raum und auch eine Gerade $g : \vec{x}$ kann in der Ebene und im Raum liegen. Wie sie im Raum und in der Ebene aussieht, erfährst Du in diesem Abschnitt.

Eine Gerade $g : \vec{x}$ ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.

Geradengleichung der Gerade $g : \vec{x}$ in Parameterform:

g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b}

$\vec{a}$ =Stützvektor der Gerade $g : \vec{x}$ , der aus dem Ursprung zu einem bestimmten Punkt verläuft, auf dem die Gerade aufgebaut ist.

$\vec{b}$ =Richtungsvektor der Gerade $g : \vec{x}$ gibt vom Stützvektor aus die Richtung der Gerade vor.

Eine Gerade $g : \vec{x}$ in Parameterform im zweidimensionalen Koordinatensystem:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$

Eine Gerade $g : \vec{x}$ in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$

Eine Gerade kann in einem zweidimensionalen und dreidimensionalen Koordinatensystem liegen.

Gerade $g : \vec{x}$ im zweidimensionalen Koordinatensystem:

Geradengleichung in Parameterform Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 3: Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem

Gerade $g : \vec{x}$ im dreidimensionalen Koordinatensystem:

Geradengleichung in Parameterform Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 4: Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem

Zwei Punkte-Form – Vektoren

Die Zwei Punkte-Form der Geradengleichung ist eine besondere Form, die Geradengleichung in Parameterform aufzustellen.

Bei der Zwei Punkte-Form werden zwei Punkte benötigt, um eine Geradengleichung in Parameterform aufzustellen.

Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.

Die zwei Punkte liegen auf der Gerade.

Es werden zwei Punkte verwendet, weil diese zwei Punkte einer Gerade verbunden werden müssen.

Stell Dir vor, Du musst von Nürnberg nach München fahren in einer geraden Strecke. Der eine Punkt A der Gerade ist der Nürnberger Hauptbahnhof und der zweite Punkt B ist der Münchener Hauptbahnhof. Die Zugstrecke ist der Gerade $g : \vec{x}$ , die gebildet werden muss.

Jetzt erfährst Du, wie Du diese Gerade aufstellst.

Zwei Punkte-Form einer Gerade im zweidimensionalen Koordinatensystem.

Geradengleichung in Parameterform Zwei Punkte-Form StudySmarter

Abbildung 5: Zwei Punkte-Form

Eine Geradengleichung musst Du vorerst einen Stützvektor verwenden, auf dem der Richtungsvektor aufbaut.

Zurück zu dem Beispiel mit der Zugstrecke. Bevor Du in den Zug am Nürnberger Hauptbahnhof einsteigst, musst Du erst zum Bahnhof laufen. Dieser Weg, den Du läufst, ist im Theoretischen der Stützvektor. Wenn Du an dem Nürnberger Hauptbahnhof angekommen bist, berechnest Du noch die vorgegebene Richtung zum Hauptbahnhof in München. Das ist dann der Richtungsvektor, der die Gerade vorgibt. Dafür ziehst Du den Punkt B (Hauptbahnhof München) vom Punkt A (Hauptbahnhof Nürnberg) ab.

Also ergibt sich diese Geradengleichung:

$g : \vec{x} = \underset{S t ü t z v e k t o r / W e g z u m H b f N ü r n b e r g}{\underset{⏟}{\vec{a}}} + r \cdot \underset{R i c h t u n g s v e k t o r / R i c h t u n g N ü r n b e r g - M ü n c h e n}{\underset{⏟}{\vec{A B}}}$

Für die Berechnung der Gerade gibt es auch andere Formen, die weiter verwendet werden.

Es gibt vier Methoden, um einer Geradengleichung in Parameterform in mithilfe von zwei Punkten A und B aufzustellen.

	Parameterform	Methode
1. Methode	$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{A B}$	Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{A B}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{a}$ vom Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.
2. Methode	$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{B A}$	Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{B A}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ abgezogen wird.
3. Methode	$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{A B}$	Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{A B}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{a}$ vom Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.
4. Methode	$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{B A}$	Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und als Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{B A}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ abgezogen wird.

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a} = (\begin{matrix} b_{1} - b_{2} \\ b_{2} - a_{2} \end{matrix})$

Wie sieht die Gerade von dem Hauptbahnhof in Nürnberg bis zum Hauptbahnhof in München in Parameterform nun aus?

Geradengleichung aufstellen Parameterform – zweidimensionales Koordinatensystem

Die erste Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor $\vec{a}$ und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{A B}$ genutzt.

Aufgabe 1

Stelle die Gerade $g : \vec{x}$ vom Nürnberger Hauptbahnhof am Punkt $A (2 | 3)$ bis zum Münchener Hauptbahnhof am Punkt $B (4 | 2)$ auf mithilfe der Methode eins.

Lösung

Zuerst wird der Vektor $\vec{A B}$ gebildet, in dem Vektor $\vec{a}$ von Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 - 2 \\ 2 - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{A B}$ ist:

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})$

Dann setzt Du den Vektor $\vec{a}$ als Stützvektor und den Vektor $\vec{A B}$ als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein.

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{A B}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})$

Die aufgestellte Geradengleichung in Parameterform vom Hauptbahnhof in Nürnberg bis München ist somit $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})$

Geradengleichung in Parameterform Aufstellen einer Geradengleichung StudySmarter Abbildung 6: Aufstellen einer Geradengleichung

Dasselbe Prinzip kann auch bei Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem durchgeführt werden.

Geradengleichung aufstellen Parameterform – dreidimensionales Koordinatensystem

Bei einer Gerade im dreidimensionalen Koordinatensystem haben die Vektoren drei skalare Größen. Der Vorgang bleibt allerdings gleich und es werden dieselben Methoden verwendet.

Die Zwei-Punkte-Form im dreidimensionalen Koordinatensystem mit den Punkten $A (1 | - 4 | 5)$ und $B (2 | 0 | - 5)$ .

Geradengleichung in Parameterform Zwei Punkte-Form im dreidimensionalen Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 7: Zwei Punkte-Form im dreidimensionalen Koordinatensystem

Zunächst bekommst Du eine Beispielaufgabe zu der Methode eins.

Die erste Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor $\vec{a}$ und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{A B}$ .

Aufgabe 2

Stelle einer Gerade $g : \vec{x}$ mithilfe der Methode eins und den Punkten $A (1 | - 4 | 5)$ und $B (2 | 0 | - 5)$ auf.

Lösung

Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode eins wird der Vektor $\vec{A B}$ benötigt, welcher jetzt berechnet wird. Der Vektor $\vec{A B}$ wird erstellt, indem der Vektor $\vec{a}$ vom Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - 1 \\ 0 - (- 4) \\ - 5 - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 10 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{A B}$ ist:

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 10 \end{matrix})$

Nun werden Stützvektor $\vec{a}$ und Richtungsvektor $\vec{A B}$ in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die fertige Gerade $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{A B}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 10 \end{matrix})$

Abbildung 8: Geradengleichung in Parameterform aufstellen

Die zweite Methode verwendet den Punkt A als ihren Stützvektor $\vec{a}$ und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{B A}$ . Zu der Methode wird ebenfalls eine Beispielaufgabe berechnet.

Aufgabe 3

Stelle einer Gerade $g : \vec{x}$ auf mithilfe von Methode zwei und den Punkten $A (1 | - 4 | 5)$ und $B (2 | 0 | - 5)$ .

Lösung

Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode zwei wird der Vektor $\vec{B A}$ benötigt. Jetzt wird der Vektor $\vec{B A}$ berechnet.

$\vec{B A} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 2 \\ - 4 - 0 \\ 5 - (- 5) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{B A}$ ist:

$\vec{B A} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix})$

Jetzt werden Stützvektor $\vec{a}$ und Richtungsvektor $\vec{B A}$ in die Geradengleichung für die Parameterform eingesetzt und Du erhältst die Gerade $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{B A}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix})$

Abbildung 9: Aufstellen einer Geradengleichung in Parameterform

Die Methode drei funktioniert ähnlich wie Methode eins. Bei der Methode wird der Punkt B als Stützvektor $\vec{b}$ verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{A B}$ .

Aufgabe 4

Stelle einer Gerade $g : \vec{x}$ auf mithilfe der Punkte $A (1 | - 4 | 5)$ und $B (2 | 0 | - 5)$ und Methode drei.

Lösung

Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode drei wird der Vektor $\vec{A B}$ benötigt. Der Vektor $\vec{A B}$ wird erstellt, in dem der Vektor $\vec{a}$ vom Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.

Der Vektor $\vec{A B}$ ist:

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 10 \end{matrix})$

Nun werden Stützvektor $\vec{b}$ und Richtungsvektor $\vec{A B}$ in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade $g : \vec{x}$ in Parameterform.

$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{A B}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 10 \end{matrix})$

Abbildung 10: Geradengleichung in Parameterform aufstellen

Die vierte Methode verwendet den Punkt B als ihren Stützvektor $\vec{b}$ und als ihren Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{B A}$ .

Aufgabe 5

Stelle einer Gerade $g : \vec{x}$ auf mithilfe der Methode vier und den Punkten $A (1 | - 4 | 5)$ und $B (2 | 0 | - 5)$ .

Lösung

Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode vier wird der Vektor $\vec{B A}$ benötigt.

Der Vektor $\vec{B A}$ ist:

$\vec{B A} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix})$

Jetzt werden Stützvektor $\vec{b}$ und Richtungsvektor $\vec{B A}$ in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{B A}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix})$

Geradengleichung in Parameterform Geradengleichung aufstellen mit zwei Punkte-Form StudySmarter Abbildung 11: Geradengleichung aufstellen mit zwei Punkte-Form

Du siehst also: Man kommt auf viele verschiedenen Arten zum Ziel!

Geradengleichung in Parameterform umwandeln – Vektoren

Eine Geradengleichung in Parameterform, kann auch erstellt werden, indem eine Geradengleichung in Koordinatenform umgeformt wird.

Wenn Du die Gerade $g : \vec{x}$ in Koordinatenform umformen möchtest, musst Du folgende Schritte befolgen:

Es wird eine Koordinatenform vorgegeben.

$a x_{1} + b x_{2} = d$

Versuche jetzt zwei mögliche Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ auf der Gerade $g : \vec{x}$ in Koordinatenform zu finden. Das machst Du, indem Du Dir die Zahlen vor dem x anschaust und die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen. Du rechnest jetzt also d geteilt durch a oder b.

$\frac{d}{a} o d e r \frac{d}{b}$

In der Regel macht man dann einen Punkt $P (n_{1} | 0 | 0)$ , mit dem Ergebnis der Rechnung $\frac{d}{a}$ als $n_{1}$ . Das Ergebnis der Rechnung $\frac{d}{b}$ kommt als $n_{2}$ an die zweite Stelle des Punktes $P (0 | n_{2} | 0)$ .

Diese Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ werden als Vektoren $\vec{o}$ und $\vec{a}$ eingesetzt.

$E : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{a}$

Versuche Dich jetzt einmal an einem Beispiel.

Aufgabe 6

Wandle die Ebene $x_{1} + 2 x_{2} = 8$ in Koordinatenform in eine Ebene in Parameterform um.

Lösung

Zuerst teilst Du die 8 durch die einzelnen Zahlen vor dem x, um herauszufinden, welche Zahlen in den Punkt P gehören.

$\begin{array}{rcl} d : a & = & n_{1} \to 8 : 1 = 8 \\ d : b & = & n_{2} \to 8 : 2 = 4 \end{array}$

Hier erhältst Du die Zahlen 8 und 4. Diese werden nun in die drei Punkte an den Stellen eingesetzt, denen sie entspringen und der restliche Teil wird mit Nullen aufgefüllt.

Das führt zu den Punkten $O (8 | 0 | 0); A (0 | 4 | 0)$ .

Diese Punkte werden in die Rohform der Ebenengleichung in Parameterform eingesetzt.

$\begin{array}{rcl} g : \vec{x} & = & \vec{o} + r \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \end{array}$

Durch das Einsetzen erhältst Du die Ebenengleichung $g : \vec{x} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} r \end{array} \begin{array}{rcl} \cdot \end{array} \begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \end{array}$ in Parameterform.

Geradengleichung in Parameterform umwandeln – Aufgaben

Jetzt hast Du gelernt, wie eine Geradengleichung in Parameterform aufgestellt wird. Dein Wissen kannst Du nun mit den Übungsaufgaben überprüfen.

Aufgabe 7

Stelle die Gerade $g : \vec{x}$ auf mithilfe der oben genannten Methode eins und den Punkten $A (- 1 | 5)$ und $B (8 | - 2)$ .

Lösung

Zuerst wird der Vektor $\vec{A B}$ gebildet, in dem Vektor $\vec{a}$ von Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a} = (\begin{matrix} 8 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 - (- 1) \\ - 2 - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ - 7 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{A B}$ ist:

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 9 \\ - 7 \end{matrix})$

Dann setzt Du den Vektor $\vec{a}$ als Stützvektor und den Vektor $\vec{A B}$ als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein. Dann erhältst Du die Gerade $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{A B}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 9 \\ - 7 \end{matrix})$

Aufgabe 8

Stelle die Gerade $g : \vec{x}$ auf mithilfe der Methode zwei und den Punkten $A (3 | - 3)$ und $B (- 2 | - 7)$ .

Lösung

Zuerst wird der Vektor $\vec{B A}$ gebildet, in dem Vektor $\vec{b}$ von Vektor $\vec{a}$ subtrahiert wird.

$\vec{B A} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ - 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 - (- 2) \\ (- 3) - (- 7) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{B A}$ ist:

$\vec{B A} = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})$

Dann setzt Du den Vektor $\vec{a}$ als Stützvektor und den Vektor $\vec{B A}$ als Richtungsvektor in die Geradengleichung ein und Du erhältst $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{B A}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})$

Aufgabe 9

Stelle einer Gerade $g : \vec{x}$ auf mithilfe der Methode drei und den Punkten $A (1 | 3 | 3)$ und $B (- 2 | 1 | 3)$ .

Lösung

Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode drei wird der Vektor $\vec{A B}$ benötigt, welcher jetzt berechnet wird.

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 - 1 \\ 1 - 3 \\ 3 - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{A B}$ ist $\vec{A B} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})$ .

Nun werden Stützvektor $\vec{b}$ und Richtungsvektor $\vec{A B}$ in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{A B}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})$

Aufgabe 10

Stelle einer Gerade $g : \vec{x}$ auf mithilfe der Methode vier und den Punkten $A (2 | 0 | 0)$ und $B (1 | 5 | 6)$ .

Lösung

Für das Aufstellen der Geradengleichung nach Methode vier wird der Vektor $\vec{B A}$ benötigt, welcher jetzt berechnet wird.

$\vec{B A} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - 1 \\ 0 - 5 \\ 0 - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ - 6 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{B A}$ ist $\vec{B A} = (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ - 6 \end{matrix})$ .

Jetzt werden Stützvektor $\vec{b}$ und Richtungsvektor $\vec{B A}$ in die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst die Gerade $g : \vec{x}$ .

$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{B A}$

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ - 6 \end{matrix})$

Aufgabe 11

Wandle die Koordinatenform der Gerade $g : \vec{x}$ in eine Gerade in Parameterform um.

$\begin{array}{rcl} 2 x_{1} + 3 x_{2} & = & 4 \end{array}$

Lösung

Für diesen Vorgang benötigst Du drei Punkte P, die auf der Gerade $g : \vec{x}$ liegen. Die findest Du heraus, in dem Du den Skalar hinter dem Gleichheitszeichen durch die Zahlen vor dem x teilst.

$\begin{array}{rcl} d : a & = & n_{1} \to 4 : 2 = 2 \\ d : b & = & n_{2} \to 4 : 3 = \frac{4}{3} \end{array}$

Diese Zahlen werden dann in die Punkte O und A eingesetzt.

$O (2 | 0 | 0) A (0 | \frac{4}{3} | 0)$

Diese Punkte setzt Du in die Rohform der Parameterform ein.

$\begin{array}{rcl} E : \vec{x} & = & \vec{o} + r \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{matrix}) \end{array}$

Das führt zu der Gerade $g : \vec{x}$ :

$E : \vec{x} = \begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} r \end{array} \begin{array}{rcl} \cdot \end{array} \begin{array}{rcl} (\begin{matrix} 0 \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{matrix}) \end{array}$

Geradengleichung in Parameterform – Das Wichtigste

Eine Gerade $g : \vec{x}$ ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
Geradengleichung der Gerade $g : \vec{x}$ in Parameterform:

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b}$

$\vec{a}$ =Stützvektor der Gerade. $g : \vec{x}$

$\vec{b}$ =Richtungsvektor der Gerade $g : \vec{x}$ .

Bei der Zwei Punkte-Form werden zwei Punkte benötigt, um eine Geradengleichung in Parameterform aufzustellen. Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.

	Parameterform	Methode
1. Methode	$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{A B}$	Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{A B}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{a}$ vom Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.
2. Methode	$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{B A}$	Als Stützvektor wird der Punkt A verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{B A}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ abgezogen wird.
3. Methode	$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{A B}$	Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{A B}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{a}$ vom Vektor $\vec{b}$ abgezogen wird.
4. Methode	$g : \vec{x} = \vec{b} + r \cdot \vec{B A}$	Als Stützvektor wird der Punkt B verwendet und der Richtungsvektor wird der Vektor $\vec{B A}$ gebildet, in dem der Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ abgezogen wird.

Nachweise

Pfeffer (1995): Lineare Algebra für Fachoberschule. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft.
Adams (2021): Lineare Algebra 1.
Witting (1968): Vektoren in der analytischen Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag. Wiesbaden.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Geradengleichung in Parameterform

Wie stellt man eine Geradengleichung mit zwei Punkten auf?

Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.

Welche Bedeutung haben die Parameter einer Geradengleichung?

Geradengleichung einer Gerade in Parameterform:

g:x=a+r x b

a=Stützvektor der Gerade, der aus dem Ursprung zu einem bestimmten Punkt verläuft, auf dem die Gerade aufgebaut ist.

b=Richtungsvektor der Gerade gibt vom Stützvektor aus die Richtung der Gerade vor.

Wie kann man eine Geradengleichung bestimmen?

Eine Geradengleichung kannst Du bestimmen, indem Du zwei Punkte auf der Gerade markierst und mithilfe der zwei Punkte Form die Gerade aufstellst.

Beide diese Punkte sind Ortsvektoren, die dem Ursprung entspringen und bei dieser Methode, wird aus den beiden Punkten ein Stütz- und ein Richtungsvektor gemacht.

Was ist eine Parameterform einer Geraden?

Die Parameterform einer Geradengleichung ist eine Art und Weise eine Gerade in der analytischen Geometrie, also im zweidimensionalen und dreidimensionalen Koordinatensystem darzustellen.

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Zwei Punkte-Form – Vektoren

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Geradengleichung aufstellen Parameterform – dreidimensionales Koordinatensystem

Geradengleichung in Parameterform umwandeln – Vektoren

Geradengleichung in Parameterform umwandeln – Aufgaben

Geradengleichung in Parameterform – Das Wichtigste

Nachweise

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Geradengleichung in Parameterform

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