Grundkonstruktionen

Überblick zu Grundkonstruktionen

Zu den Grundkonstruktionen gehören folgende Konstruktionen, auf die wir alle nachfolgend im weiteren Artikel eingehen werden.

• Strecke abtragen

• Winkel antragen

• Konstruieren einer Mittelsenkrechte (halbieren einer Strecke)

• Konstruieren einer Winkelhalbierenden (halbieren eines Winkels)

• Konstruieren eines Lots

• Konstruieren einer Parallele

Grundkonstruktionen: Strecke abtragen

Gegeben ist eine Strecke , eine Gerade g und ein Punkt C, der auf der geraden g liegt. Gesucht ist jetzt eine Strecke auf g, die die Länge hat mit C als Begrenzungspunkt.

1. Nimm mit deinem Zirkel die Länge der Strecke als Radius ab.

2. Zeichne einen Kreis um C. Der Radius ist dabei die Länge der Strecke .

3. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden kannst du F und E nennen. Die Strecken und haben beide die selbe Länge, wie die Strecke .

Abbildung 2: Kreis um Punkt C

Grundkonstruktionen: Winkel antragen

Gegeben ist ein Winkel α, ein Strahl (eine Halbgerade) f und ein Punkt A , der auf dem Strahl f liegt. Gesucht ist jetzt der Winkel mit Scheitelpunkt A und Schenkel f in der Größe von α.

Abbildung 3: Winkel und Strahl

1. Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt von α, mit beliebigem Radius. Markiere die Schnittpunkte I und J.

Abbildung 4: Kreis um den Winkel ziehen

2. Zeichne einen Kreis um Punkt A mit demselben Radius wie bei dem Kreis um den oberen Punkt beim Winkel α und markiere den Schnittpunkt K.

Abbildung 5: Kreis um Punkt A

3. Zeichne einen Kreis um K. Der Radius dieses Kreises ist die Länge des Abstands von I und J.

4. Markiere den Schnittpunkt des Kreises um A und dem Kreis um K. Markiere den Schnittpunkt und

nenne ihn L.

Abbildung 6: Kreis um Punkt K

5. Zeichne einen Strahl mit dem Ausgangspunkt A durch L.

Abbildung 7: Strahl mit Ausgangspunkt A

Grundkonstruktionen: Mittelsenkrechte

Bevor du eine Mittelsenkrechte konstruierst, schau dir die genaue Definition einer Mittelsenkrechten nochmal an.

Gegeben ist ein Strecke. Zu dieser Strecke sollst du jetzt die Mittelsenkrechte konstruieren.

Abbildung 8: Strecke [AB]

1. Um diese Mittelsenkrechte konstruieren zu können, beginnst du mithilfe deines Zirkels einen Kreis um Punkt A zu zeichnen. Zu beachten ist hierbei, dass der Radius des Kreises um Punkt A größer sein muss als die Hälfte der Strecke .

Abbildung 9: Kreis um Punkt A

Abbildung 10: Kreis um Punkt B

3. Wenn du diese beiden Kreise konstruiert hast, findest du zwei Punkte, an denen sich die beiden Kreise schneiden. Durch diese Schnittpunkte ziehst du nun mithilfe deines Lineals eine Gerade. Diese Gerade ist deine Mittelsenkrechte.

Abbildung 11: Gerade durch die Schnittpunkte

Eine Winkelhalbierende konstruieren

Bevor du eine Winkelhalbierende konstruierst, schau dir auch hier die genaue Definition einer Winkelhalbierenden nochmal an.

Gegeben ist ein Winkel α, zu dem du die zugehörige Winkelhalbierende konstruieren sollst.

Abbildung 12: Winkel Alpha

1. Als Erstes zeichnest du einen Kreis um deinen Winkel. Dafür stichst du deinen Zirkel in den Scheitelpunkt des Winkels ein. Die beiden Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln des Winkels werden mit A und B bezeichnet.

Abbildung 13: Winkel und Hilfskreis

2.1 Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Strecke ist.

2.2 Wiederhole den vorherigen Schritt an Punkt B.

Abbildung 14: Kreise um die Punkte A und B

Abbildung 15: Winkelhalbierende durch Schnittpunkte

Grundkonstruktionen: Lot

Mach dir zunächst nochmal klar, was mathematisch unter einem Lot verstanden wird.

Lot errichten

Gegeben ist eine Gerade f und ein Punkt A der auf der Geraden f liegt. Du hast jetzt die Aufgabe ein Lot auf der Geraden f durch Punkt A zu errichten.

1. Im ersten Schritt zeichnest du einen Kreis um Punkt A. Den Radius kannst du beliebig groß wählen. Die beiden Schnittpunkte des Kreises mit Gerade f werden mit C und D benannt.

Abbildung 17: Kreis um Punkt A

2.1 Zeichne einen Kreis um C mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Strecke ist.

2.2 Wiederhole den vorherigen Schritt an Punkt D.

Abbildung 18: Kreise um die Schnittpunkte C und D

3. Zeichne eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise um C und D. Diese Gerade ist das Lot auf Gerade f durch Punkt A.

Abbildung 19: Mittelsenkrechte errichten

Lot fällen

Gegeben ist wieder eine Gerade f und ein Punkt C. Bei dieser Aufgabe befindet sich der Punkt C jedoch nicht auf der Geraden f. Du sollst jetzt ein Lot auf Gerade f durch Punkt C fällen.

Abbildung 20: Gerade f und Punkt C

1. Du beginnst damit einen Kreis um Punkt C zu zeichnen. Der Kreis muss groß genug sein, damit er f in zwei Punkten schneidet. Diese beiden Schnittpunkte werden E und D benannt.

Abbildung 21: Kreis um Punkt C

2.1 Zeichne dafür einen Kreis um E mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Strecke ist.

2.2 Wiederhole den vorherigen Schritt an Punkt D.

Abbildung 22: Kreise um die Punkte E und D

3. Zeichne im letzten Schritt eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise um E und D. Diese Gerade ist das Lot auf Gerade g durch den Punkt C.

Abbildung 23: Mittelsenkrechte durch die Schnittpunkte

Eine Parallele konstruieren

Schaue dir auch hier nochmal die Definition einer Parallelen in der Mathematik an, bevor du diese konstruierst.

Parallele durch einen gegebenen Punkt zu einer Geraden konstruieren

Gegeben ist ein Punkt A und eine Gerade f. Du sollst jetzt eine Gerade durch Punkt A konstruieren, die parallel zur Geraden f verläuft.

Abbildung 24: Gerade f und Punkt A

1. Zeichne einen Kreis um Punkt A. Der Kreis muss groß genug sein, dass er die Gerade f in zwei Punkten schneidet. Diese sind hier als Punkte E und D markiert.

Abbildung 25: Kreis um Punkt A

2. Zeichne einen weiteren Kreis um Punkt E. Der Kreis muss denselben Radius haben wie zuvor. Der Kreis schneidet die Gerade f in den Punkten F und G.

Abbildung 26: Kreis um Punkt E

3. Zeichne einen dritten Kreis. Diesmal ist der Mittelpunkt des Kreises der Punkt G. Der Radius bleibt weiterhin derselbe.

Abbildung 27: Kreis um Punkt G

4. Im letzten Schritt zeichnest du eine Gerade durch den Schnittpunkt, von Kreis 1 (K 1) und Kreis 3 (K 3), zu Punkt A.

Abbildung 28: Gerade durch den Schnittpunkt und Punkt A

Parallele in einem gegebenen Abstand konstruieren

Gegeben ist wieder eine Gerade g und ein Abstand f. Gesucht ist jetzt eine Gerade, die im Abstand f parallel zu g verläuft. Das f ist dabei die Länge des Abstands, in dem die zweite Parallele zur Geraden g gezeichnet werden soll.

Abbildung 29: Gerade und Abstand f

1. Zeichne zwei beliebige Punkte auf g ein. Die Punkte heißen A und B und sollten nicht zu nahe beieinander liegen.

2. Ziehe zwei Kreise um A und B. Den Radius kannst du frei wählen, er muss aber bei beiden Kreisen derselbe sein und zudem dürfen sich die beiden Kreise nicht schneiden.

Abbildung 30: Kreise um die Punkte A und B

3. Benenne jetzt alle Punkte an denen die beiden Kreise die Gerade g schneiden. Die vier Punkte kannst du C, D, E und F nennen.

Abbildung 31: Benennung der Schnittpunkte

4. Im nächsten Schritt ziehst du jetzt um alle vier Schnittpunkte (C, D, E und F) einen Kreis. Wichtig ist dabei, dass alle Kreise den gleichen Radius haben und der Radius größer ist als die Hälfte der Strecke .

Abbildung 32: Kreise um die Punkte C, D, E und F

5. Zeichne zwei Geraden durch die Schnittpunkte von den Kreisen durch C und D und durch die Kreise von E und F.

Abbildung 33: Geraden durch die Schnittpunkte der Kreise

6. Jetzt zeichnest du zwei weitere Kreise. Diese Kreise haben den Radius f und werden um A und B gezeichnet.

Abbildung 34: Kreise mit Radius f um Punkt A und B

7. Im letzten Schritt verbindest du die Punkte, an denen die Geraden aus Schritt 5 die beiden letzten Kreise schneiden. Die beiden schwarz markierten Linien sind dann die gesuchten Parallelen im Abstand f zur

Gerade g.

Abbildung 35: Geraden durch die Schnittpunkte