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Springe zu einem wichtigen Kapitel
Für den Satz des Pythagoras und den Höhensatz findest du ebenfalls Artikel im Kapitel die Satzgruppe des Pythagoras.
Der Kathetensatz – Definition
Der Kathetensatz setzt eine Kathete ins Verhältnis zum anliegenden Hypotenusen-Abschnitt. In anderen Worten ausgedrückt, besagt der Kathetensatz, dass das Quadrat über der Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus der Hypotenuse c und dem Hypotenusen-Abschnitt, der an der Kathete anliegt.
Um das besser verstehen zu können, benötigen wir die Höhe des Dreiecks. Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks ist dabei das Lot, das aus dem rechten Winkel auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Dabei teilt die Höhe die gegenüberliegende Seite, also die Hypotenuse, in zwei Abschnitte:
Die Höhe h teilt die Hypotenuse c in die zwei Abschnitte q und p. Wenn wir die Höhe h jetzt verlängern, teilen wir das Hypotenusen-Quadrat 
, welches unterhalb der Hypotenuse liegt, in zwei Teile.
Die Flächen dieser Teile lassen sich mit und berechnen.
Die Flächeninhalte dieser neuen Rechtecke entsprechen nun nach dem Kathetensatz den Flächeninhalten der Quadrate der beiden Katheten:
Diese beiden Beziehungen werden Kathetensatz des Euklid genannt:
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Katheten a und b sowie Hypotenuse c. Die Höhe h auf die Seite c zerlegt diese in zwei Teile p und q, wobei p an der Kathete a und q an der Kathete b anliegt.
Dann gelten die Beziehungen:
Der Kathetensatz – Beweis
Um den Kathetensatz zu beweisen, benötigen wir ein wenig Vorwissen. Du musst dafür den Satz des Pythagoras und den Höhensatz des Euklid kennen.
Höhensatz des Euklid:
Satz des Pythagoras:
Da die Höhe h unser ursprüngliches rechtwinkliges Dreieck wiederum in zwei kleinere Dreiecke teilt, haben wir am Ende insgesamt drei rechtwinklige Dreiecke:
Das führt zu folgenden Beziehungen:
(1)
(2)
(3)
Außerdem gilt die Beziehung:
(4)
Beweis für 
Aus unseren aufgestellten Beziehungen wissen wir, dass gilt:
lässt sich durch 
ersetzen (dies kommt aus dem Höhensatz):
Durch Ausklammern von p erhalten wir die folgende Gleichung:
Jetzt können wir 
durch 
ersetzen, da wir wissen, dass 
(4) gilt:
Damit erhalten wir den Kathetensatz.
Beweis für 
Wie bei unserem vorherigen Beweis, gelten auch hier die Beziehungen, die wir aufgestellt haben. Die Rechenschritte stimmen überein:
Der Kathetensatz – Umkehrung
Der Kathetensatz lässt sich auch umkehren. Durch die Umkehrung des Kathetensatzes lässt sich also beweisen, dass ein beliebiges gegebenes Dreieck rechtwinklig ist.
Gegeben sei ein Dreieck ABC mit Seiten a, b und c, wobei c die längste Seite sei. Die Höhe auf die Seite c teilt diese in zwei Abschnitte p und q, wobei der Abschnitt p an der Seite a, der Abschnitt q an der Seite b anliegt.
Gelten nun die Beziehungen und , dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig mit rechtem Winkel am Punkt C.
Haben wir also ein beliebiges Dreieck gegeben, können wir mithilfe von Flächenberechnungen überprüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist.
Stimmen diese Flächenbeziehungen nicht überein, ist das gegebene Dreieck nicht rechtwinklig.
Der Kathetensatz – Aufgaben
Um den Kathetensatz einzuüben, kannst du folgende Aufgaben lösen:
Aufgabe 1
Berechne die Länge der Kathete a in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Länge der Hypotenuse c beträgt 20 cm und die Länge des Hypotenusen-Abschnittes p beträgt 5 cm.
Lösung
Durch die Beziehung 
können wir den Flächeninhalt des Katheten-Quadrats an der Seite a berechnen:
Wenn wir jetzt wissen wollen, wie lang die Seite a ist, müssen wir nur noch die Wurzel ziehen:
Aufgabe 2
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse c mit 20 cm gegeben und die Länge der Kathete a mit 15 cm.
Wie lang ist die Kathete b?
Lösung
Durch Umstellen der Gleichung können wir ermitteln, wie lang der Hypotenusen-Abschnitt p ist:
Im nächsten Schritt berechnen wir, wie lang der Hypotenusen-Abschnitt q ist:
Nun nutzen wir die Gleichung 
, um die Länge der Seite b zu berechnen:
Jetzt hast du alles Wichtige zum Kathetensatz des Euklid gelernt.
Kathetensatz - Das Wichtigste
- Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat über der Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem Hypotenusen-Abschnitt, der an der Kathete anliegt.
- Kathetensatz des Euklid: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Katheten a und b sowie Hypotenuse c. Die Höhe h auf die Seite c zerlegt diese in zwei Teile p und q, wobei p an der Kathete a und q an der Kathete b anliegt.
- Dann gelten die Beziehungen:
- Der Kathetensatz lässt sich nur in rechtwinkligen Dreiecken anwenden.
- Der Kathetensatz gehört zu der Satzgruppe des Pythagoras.
- Der Kathetensatz lässt sich umkehren.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Kathetensatz
Was kann man mit dem Kathetensatz berechnen?
Der Kathetensatz setzt eine Kathete ins Verhältnis zum anliegenden Hypotenusenabschnitt. In Worten ausgedrückt besagt der Kathetensatz, dass das Quadrat über der Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus der Hypotenuse c mal dem Hypotenusenabschnitt, der an der Kathete anliegt.
Was sagt der Kathetensatz aus?
Der Kathetensatz besagt, dass gilt:
- a² = p · c
- b² = q · c
Was sind die Katheten?
Die Katheten sind die beiden Seiten, in einem rechtwinkligen Dreieck, die den rechten Winkel einschließen.
Wann verwendet man den Kathetensatz?
Den Kathetensatz verwendet man zur Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken.
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