Kongruenzabbildungen

Kongruenz und Symmetrie

Während du Symmetrie als Eigenschaft einer Figur verstehen kannst, beschreibt Kongruenz das Verhältnis zweier Figuren zueinander. Du kannst also zwei Figuren dahingehen untersuchen, ob sie zueinander kongruent sind, und eine Figur, ob sie symmetrisch ist. Symmetrien können außerdem durch Anwendung von Kongruenzabbildungen kontrolliert werden.

Kongruenzabbildungen Eigenschaften

Sind zwei Figuren A und B kongruent zueinander, lassen sie sich durch Ausführung von Kongruenzabbildungen aufeinander abbilden.

Kongruenzabbildungen weisen eine Reihe von wichtigen Eigenschaften auf. Diese sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:

Kongruenzabbildungen Beispiele

Du kannst außerdem gleichsinnige und ungleichsinnige Kongruenzabbildungen unterscheiden.

Gleichsinnige Kongruenzabbildungen sind solche, bei welchen der Umlaufsinn von Figur und Bildfigur gleich bleibt. Ändert sich der Umlaufsinn der Figur, wenn man die Kongruenzabbildung anwendet, spricht man von einer ungleichsinnigen Kongruenzabbildung.

Abbildung 6: Gleicher Umlaufsinn bei Punktspiegelung

Abbildung 7: Umlaufsinn ändert sich bei Achsenspiegelung

Kongruenzabbildungen Arten

Du kannst vier verschiedene Kongruenzabbildungen unterscheiden. Welche Eigenschaften diese haben und wie du sie konstruierst lernst du in diesem Abschnitt.

Achsenspiegelung (Geradenspiegelung)

Die Achsenspiegelung ist die Grundlage aller Kongruenzabbildungen, da alle anderen durch Hintereinanderausführung der Achsenspiegelung ersetzt werden können.

Um einen Punkt P an einer Achse zu spiegeln musst du folgendes tun:

1. Zeichne eine Senkrechte t durch die Spiegelachse s, sodass diese durch den Punkt P führt.
2. Messe den Abstand vom Punkt P bis zur Spiegelachse s.
3. Trage den Punkt P' auf der anderen Seite der Spiegelachse s mit gleichem Abstand wie der Punkt P zu dieser ein.

Möchtest du nicht nur einen Punkt sondern eine ganze Figur an einer Achse spiegeln gehst du wie oben beschrieben mit jedem Eckpunkt der Figur vor. Anschließend verbindest du die Punkte wieder.

Solltest du dir nicht mehr sicher sein, wie man den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden misst, schau nochmal im Artikel "Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden" nachlesen. Du findest diesen Artikel im Kapitel "Abstand berechnen".

Drehung (Rotation)

Die Drehung ist eine weitere Kongruenzabbildung und ähnelt in ihrem Ablauf der Punktspiegelung.

Um einen Punkt P zu drehen gehst du folgendermaßen vor:

1. Zeichne einen Kreis k um das Drehzentrum Z, welcher durch den Punkt P führt.
2. Zeichne die Gerade .
3. Drehe die Gerade um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn.
4. Dort wo die Gerade jetzt den Kreis k schneidet trägst du den Punkt P' ein.

Punktspiegelung

Die Punktspiegelung ist ein Spezialfall der Drehung und daher genau genommen keine erneut zu nennende Kongruenzabbildung. Da sie aber relativ häufig vorkommt, soll sie hier trotzdem ausgeführt werden.

Die Punktspiegelung ist eine Drehung um 180°.

Diese Schritte sind bei einer Punktspiegelung zu erledigen:

1. Zeichne einen Kreis k um das Spiegelzentrum Z mit dem Radius .
2. Zeichne die Gerade .
3. Trage den Punkt P' dort ein, wo die Gerade den Kreis k schneidet.

Möchtest du eine Figur an einem Punkt spiegeln, kannst du dies tun, indem du alle Eckpunkte der Figur wie oben beschrieben spiegelst und diese dann wieder verbindest.

Aufgabe:

Spiegel das Dreieck ABC am Spiegelzentrum Z.

Abbildung 20: Dreieck ABC und Spiegelzentrum Z

Lösung:

Schritt 1	Schritt 2
Abbildung 21: Kreise k, l und m	Abbildung 22: Geraden durch A, B und C

Abbildung 23: Punktspiegelung des Dreiecks ABC

Verschiebung (Translation)

Verschiebst du einen Punkt oder eine Figur um eine gewisse Strecke, spricht man von der Verschiebung.

So verschiebst du einen Punkt P um :

1. Zeichne eine Parallele p zum Verschiebungspfeil durch den Punkt P.
2. Trage die Länge des Verschiebungspfeiles auf die Parallele ab.
3. Zeichne den Punkt P' auf der Parallele ein.

Schubspiegelungen (Gleitspiegelung)

Spiegelst du einen Punkt oder eine Figur an einer Achse und verschiebst dieses Bild dann parallel zur Spiegelachse, wird das Schubspiegelung genannt.

So führst du die Schubspiegelung für einen Punkt P durch:

1. Verschiebe den Punkt P um den Vektor .
2. Spiegel nun den Punkt P' an der Spiegelachse s und du erhältst den Punkt P''.

Aufgabe:

Führe für das Dreieck ABC eine Schubspiegelung an der Spiegelachse s um den Vektor durch.

Abbildung 30: Dreieck ABC mit Spiegelachse s und Vektor XY

Lösung:

Parallelverschiebung	Achsenspiegelung
Abbildung 31: Parallelverschiebung von ABC	Abbildung 32: Achsenspiegelung von A'B'C'

Kongruenzabbildungen kombinieren

Du kannst Kongruenzabbildungen auch kombinieren, indem du sie hintereinander ausführst. Dabei kannst du entweder dieselbe Abbildung mehrmals anwenden oder verschiedene Kongruenzabbildungen nacheinander.

Die Verknüpfung von Kongruenzabbildungen ist kommutativ. Es ist also egal, in welcher Reihenfolge du die Abbildungen ausführst.

Generell lassen sich alle Kongruenzabbildungen durch eine Verkettung von maximal drei Achsenspiegelungen darstellen.

Im Kapitel "Verknüpfung von Kongruenzabbildungen" erfährst du mehr dazu.

Die Punktspiegelung eines Punktes oder einer Figur kannst du auch durch eine doppelte Achsenspiegelung erreichen.

Abbildung 33: Punktspiegelung des Dreiecks ABC

Abbildung 34: Doppelte Achsenspiegelung des Dreiecks ABC

Kongruenzabbildungen Aufgaben

Zum Schluss kannst du noch anhand von zwei Aufgaben überprüfen, ob du den Inhalt des Artikels verstanden hast. Danach solltest du dir unbedingt auch die Karteikarten zu diesem Kapitel anschauen!