Ob es sich bei zwei Dreiecken um kongruente Dreiecke handelt, kann mithilfe der Kongruenzsätze geprüft werden. Insgesamt gibt es vier Kongruenzsätze für Dreiecke.
Um das Thema der Kongruenzsätze zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, wann Figuren kongruent sind.
Kongruenz beschreibt das Verhältnis zweier Figuren zueinander. Stimmen diese Figuren in Form und Größe überein, nennt man sie kongruent oder auch deckungsgleich. Bei kongruenten Figuren stimmen die entsprechenden Seiten und Winkel der Figuren in ihrer Größe überein.
Das kannst du dir folgendermaßen vorstellen:
Zwei Figuren sind auf einem Blatt Papier gezeichnet. Wenn du die beiden Figuren ausschneidest und anschließend die eine Figur so auf der anderen Figur platzieren kannst, dass die beiden Figuren genau den gleichen Bereich bedecken, dann sind die beiden Figuren kongruent.
Abbildung 1: Kongruente Figuren
Zum Thema Kongruenz haben wir einen eigenen Artikel geschrieben. Wenn du also mehr über das Thema Kongruenz im Allgemeinen lernen möchtest, solltest du unbedingt einen Blick in den Artikel werfen!
Kongruenzsätze – Erklärung
Nachdem du nun weißt, wann zwei Figuren kongruent sind, bist du bestens vorbereitet, um das Prinzip der Kongruenzsätze zu verstehen.
Schau dir zunächst einmal an, was die Kongruenzsätze überhaupt ausmachen.
Die Kongruenzsätze sind Sätze in der Geometrie, mit denen man nachweisen kann, dass zwei geometrische Figuren kongruent sind.
Die wichtigsten Kongruenzsätze sind die Kongruenzsätze für Dreiecke. Es gibt aber auch Kongruenzsätze für Vierecke und Kreise.
Der Fokus dieses Artikels liegt jedoch auf den Kongruenzsätzen für Dreiecke.
Insgesamt gibt es vier Kongruenzsätze: den SSS-Satz, den SWS-Satz, den WSW-Satz und den SSW-Satz. Dabei steht der Buchstabe S für eine Seite, die bei den beiden Dreiecken übereinstimmt. Der Buchstabe W steht für einen Winkel, der bei den beiden Dreiecken übereinstimmt.
Die Annahme, die hinter den vier Kongruenzsätzen steckt, ist die folgende:
Damit es sich bei zwei Dreiecken um kongruente Dreiecke handelt, müssen bei beiden Dreiecken die drei Seitenlängen und die drei Winkel übereinstimmen.
Um diese Voraussetzung zu überprüfen, muss aber nicht jeder Winkel und jede Seite der beiden Dreiecke einzeln ausgemessen werden, sondern es reicht jeweils insgesamt drei Seiten und Winkel zu bestimmen.
Dafür gibt es vier verschiedene Möglichkeiten, die in der folgenden Tabelle 1 dargestellt sind!
| Überblick der Kongruenzsätze |
|---|
| Kongruenzsatz | Beschreibung |
| SSS | Die beiden Dreiecke stimmen in den drei Seitenlängen überein. |
| SWS | Die beiden Dreiecke stimmen in zwei Seitenlängen und dem Winkel, der zwischen diesen beiden Seiten liegt, überein. |
| WSW | Die beiden Dreiecke stimmen in einer Seitenlänge und den beiden Winkel, die an dieser Seite liegen, überein. |
| SsW | Die beiden Dreiecke stimmen in zwei Seitenlängen und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, überein. |
Tabelle 1: Überblick der Kongruenzsätze
Wenn keine dieser Varianten auf zwei Dreiecke zutrifft, dann sind die Dreiecke nicht kongruent.
Im Folgenden lernst du die vier Kongruenzsätze einzeln im Detail kennen.
Kongruenzsätze – Kongruenzsatz SSS
Nach dem Kongruenzsatz SSS – auch erster Kongruenzsatz genannt – gilt:
Wenn zwei Dreiecke in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen, dann handelt es sich um kongruente Dreiecke.
Abbildung 2: Kongruenzsatz SSS
Wenn für die Seiten a, b, c, a', b' und c' gilt: 
, dann sind die beiden Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent.
Kongruenzsätze – Kongruenzsatz SWS
Nach dem Kongruenzsatz SWS – auch zweiter Kongruenzsatz genannt – gilt:
Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seitenlängen und dem Winkel, der zwischen diesen beiden Seiten liegt, überein, so handelt es sich um kongruente Dreiecke.
Abbildung 3: Kongruenzsatz SWS
Wenn für die Seiten a, b, a' und b' und die Winkel 
und 
gilt: 
,
dann sind die beiden Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent.
Kongruenzsätze – Kongruenzsatz WSW
Nach dem Kongruenzsatz WSW – auch dritter Kongruenzsatz genannt – gilt:
Stimmen zwei Dreiecke in einer Seitenlänge und den beiden Winkel, die an dieser Seite liegen, überein, so handelt es sich um kongruente Dreiecke.
Abbildung 4: Kongruenzsatz WSW
Wenn für die Seiten c und c' und die Winkel 
gilt: 
,
dann sind die beiden Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent.
Der Kongruenzsatz ist identisch mit dem Kongruenzsatz SWW, der allerdings nur selten erwähnt wird.
Stell dir folgende Situation vor: Du kennst eine Seitenlänge eines Dreiecks, einen daran angrenzenden Winkel und ihr gegenüberliegenden Winkel. Das ist der Fall SWW. In diesem Fall weißt du vielleicht erst einmal nicht, wie du das Dreieck auf Basis der zur Verfügung stehenden Informationen zeichnen sollst.
Die Antwort ist eigentlich ganz einfach: Da du zwei der Winkelgrößen bereits kennst und ein Dreieck immer eine Innenwinkelsumme von 180° hat, kannst du die Größe des dritten Winkels ganz einfach berechnen. Dazu subtrahierst du die beiden bekannten Winkelgrößen von der Innenwinkelsumme 180° und erhältst die Größe des dritten und bisher unbekannten Winkels.
Du kennst nun also die Größen beider Winkel, die an die bekannte Dreiecksseite angrenzen.
Der Fall SWW ist daher identisch mit dem Fall WSW.
Kongruenzsätze – Kongruenzsatz SsW
Nach dem Kongruenzsatz SsW – auch vierter Kongruenzsatz genannt – gilt:
Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seitenlängen und dem Winkel, der der längeren Seite S gegenüberliegt, überein, so handelt es sich um kongruente Dreiecke.
Eselsbrücke: Der Kongruenzsatz heißt SsW, weil der Winkel W der längeren Seite S im Dreieck gegenüberliegt. Das große S steht für die längere Seite und steht bei der Bezeichnung SsW auch dem Winkel W gegenüber.
Abbildung 5: Kongruenzsatz SsW
Wenn für die Seiten a, c, a' und c' und die Winkel 
und 
gilt: 
,
dann sind die beiden Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent.
Der vierte Kongruenzsatz wird – im Gegensatz zu den anderen drei Kongruenzsätze – nicht ausschließlich mit Großbuchstaben abgekürzt.
Der Grund dafür ist folgender: Durch die angepasste Groß- und Kleinschreibung soll ausgedrückt werden, dass es sich bei der Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, zwingend um die größere der beiden angegebenen Dreiecksseiten handeln muss. Im umgekehrten Fall – also im Fall sSW – jedoch handelt es sich nicht um eindeutig konstruierbare Dreiecke.
Eine andere Schreibweise für den Kongruenzsatz SsW ist 
.
Kongruenzsätze: Beispiele für inkongruente Dreiecke
In diesem Abschnitt lernst du Beispiele für inkongruente Dreiecke kennen. Im Zuge dessen erfährst du, warum die Kongruenzsätze WWW und sSW nicht existieren.
Warum der Kongruenzsatz WWW nicht existiert
Häufig wird fälschlicherweise angenommen, dass es auch den Kongruenzsatz WWW gibt. Das ist falsch!
Nur weil zwei Dreiecke in den drei Winkeln übereinstimmen, kann man daraus nicht direkt schließen, dass es sich auch um kongruente Dreiecke handelt.
Das kannst du an der folgenden Abbildung zweier Dreiecke erkennen:
Abbildung 6: Ähnliche Dreiecke
Für die Winkel 
gilt zwar 
, aber trotzdem stimmen die Längen der Seiten der beiden Dreiecke nicht überein.
Aus der Übereinstimmung der Winkel zweier Dreiecke lässt sich also nicht auf die Übereinstimmung der Seitenlängen schließen.
Stimmen also die drei Winkel zweier Dreiecke überein, handelt es sich um ähnliche Dreiecke. Falls zufällig auch die Längen der Dreiecksseiten übereinstimmen sollten, handelt es sich um kongruente Dreiecke. Das ist aber eher der Ausnahmefall.
Zur Erinnerung: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie die gleiche Form besitzen, also die Innenwinkel der beiden Dreiecke übereinstimmen. Damit zwei Dreiecke ähnlich sind, müssen sie nicht in ihrer Größe übereinstimmen.
Warum der Kongruenzsatz sSW nicht existiert
Wie beim Kongruenzsatz SsW schon erwähnt, gibt es keinen allgemeingültigen Kongruenzsatz sSW. Das liegt daran, dass Dreiecke nicht eindeutig konstruierbar sind, wenn der gegebene Winkel der kürzeren der beiden bekannten Dreiecksseiten gegenüberliegt.
Ein Beispiel hierfür siehst du in der folgenden Abbildung:
Abbildung 7: uneindeutiges Dreieck
Die Seiten a und b des Dreiecks sowie der Winkel 
waren vor der Konstruktion gegeben. Da aber für die Seiten a und b des Dreiecks gilt 
und der Winkel 
somit der kleineren der beiden Seiten gegenüberliegt, kann das Dreieck ABC nicht eindeutig konstruiert werden. Es gibt also zwei Dreiecke, die den Vorgaben entsprechen.
Der Kongruenzsatz sSW existiert daher nicht.
Damit existiert auch kein allgemeingültiger SSW-Satz, der die Fälle sSW und SsW beinhalten würde.
Kongruenzsätze bei anderen Figuren
Die Kongruenzsätze, die in diesem Artikel bisher behandelt wurden, beziehen sich alle auf die Kongruenz von Dreiecken. Aber auch für andere geometrische Figuren, wie zum Beispiel Kreise und Vierecke, gibt es Regeln mit denen man überprüfen kann, ob zwei Figuren kongruent sind.
Wann sind zwei Kreise kongruent?
Die Regel, nach der zwei Kreise kongruent sind, ist eigentlich ganz einfach zu verstehen:
Es gilt: Haben zwei Kreise den gleichen Radius, so sind sie auf jeden Fall kongruent.
Das liegt daran, dass der Radius bzw. der Durchmesser eines Kreises der einzig veränderbare Parameter bei einem Kreis ist.
Stimmt der Radius bzw. der Durchmesser zweier Kreise überein, so stimmen sie automatisch auch in ihrem Umfang und ihrer Fläche überein. Da Kreise immer rund sind, stimmen sie auch in ihrer Form überein.
Die beiden Kreise sind daher kongruent.
Wann sind Vierecke kongruent?
Um ein Viereck eindeutig konstruieren zu können, sind in der Regel mindestens fünf Angaben zum Viereck notwendig.
Zur Erinnerung: bei Dreiecken sind mindestens drei Angaben, wie zum Beispiel die Länge aller drei Seiten notwendig.
Bei besonderen Vierecken, wie zum Beispiel dem Quadrat oder Rechteck, reichen zum Teil auch weniger Angaben, da sich aus den Besonderheiten dieser Vierecke automatisch weitere Informationen über die Beschaffenheit der Figur ergeben. Dazu gehört zum Beispiel, dass bei einem Rechteck gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein und parallel sein müssen und es sich bei allen vier Winkeln um rechte Winkel handelt.
Zur Kongruenz von Vierecken im Allgemeinen kannst du dir Folgendes merken.
Zwei Vierecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten und den beiden davon eingeschlossenen Winkeln übereinstimmen. Wenn du diese Situation zeichnest, siehst du, dass sich die Lage der letzten Vierecksseite und der anderen beiden Winkel automatisch ergibt.
Abbildung 8: Übereinstimmung in drei Seiten und den davon eingeschlossenen Winkeln
Zwei Vierecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten, dem eingeschlossenen Winkel und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. In diesem Fall ergibt sich beim Zeichnen automatisch der letzte Eckpunkt des Vierecks, wenn von den beiden anliegenden Winkeln je eine Strecke gezeichnet wird, bis sich die beiden Strecken am Eckpunkt des Vierecks schneiden. Dadurch ergeben sich die beiden übrigen Seiten und der letzte fehlende Winkel.
Abbildung 9: Übereinstimmung in zwei Seiten und dem eingeschlossenen sowie den anliegenden Winkeln
Zwei Vierecke sind kongruent, wenn sie in allen vier Seiten und einer Diagonalen übereinstimmen. Das Viereck wird dadurch in zwei Dreiecke unterteilt, die dem Kongruenzsatz SSS unterliegen. Das Viereck ist daher kongruent.
Zum Quadrat im Besonderen lassen sich folgenden Regeln zur Bestimmung der Kongruenz ermitteln.
Zwei Quadrate sind kongruent, wenn:
- sie in ihrem Flächeninhalt übereinstimmen.
- sie die gleiche Seitenlänge haben.
Kongruenzsätze – Übungen
Nachdem du nun alles über die Theorie der Kongruenzsätze gelernt hast, kannst du abschließend dein Wissen an drei Beispielaufgaben überprüfen.
Aufgabe 1
Über die Seitenlängen der Dreiecke ABC und DEF ist bekannt:
Bestimme, ob es sich bei den Dreiecken ABC und DEF um kongruente Dreiecke handelt. Wenn ja, gib an, auf welchen der Kongruenzsätze du deine Entscheidung stützt.
Lösung
Nach dem Kongruenzsatz SSS handelt es sich um kongruente Dreiecke, da die Längen der Dreiecksseiten übereinstimmen.
Aufgabe 2
Über die Winkel der Dreiecke ABC und DEF ist bekannt:
Bestimme, ob es sich bei den Dreiecken ABC und DEF um kongruente Dreiecke handelt. Wenn ja, gib an, auf welchen der Kongruenzsätze du deine Entscheidung stützt.
Lösung
Es gibt keinen Kongruenzsatz WWW. Allein aufgrund der Übereinstimmung der Winkel ist keine Aussage über die Kongruenz der Dreiecke möglich.
Da keine Informationen über die Längen der Seiten vorliegen, kann nicht gesagt werden, ob die beiden Dreiecke kongruent sind. Es handelt es sich aber auf jeden Fall um ähnliche Dreiecke.
Aufgabe 3
Über die Winkel und Seiten der Dreiecke ABC und DEF ist bekannt:
Dabei liegen die angegebenen Winkel jeweils an den Enden der Seiten c und f.
Bestimme, ob es sich bei den Dreiecken ABC und DEF um kongruente Dreiecke handelt. Wenn ja, gib an, auf welchen der Kongruenzsätze du deine Entscheidung stützt.
Lösung
Nach dem Kongruenzsatz WSW handelt es sich um kongruente Dreiecke, da die Längen der Dreiecksseiten c und f, sowie die Größen der an diesen Seiten liegenden Winkeln übereinstimmen.
Kongruenzsätze - Das Wichtigste auf einen Blick
- Zwei Figuren sind kongruent, wenn eine der Figuren durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung in die andere Figur überführt werden kann. Figuren sind also kongruent, wenn sie in ihrer Form und ihrer Größe übereinstimmen.
- Ein Kongruenzsatz ist ein Satz in der Geometrie, mit dem man nachweisen kann, dass zwei Figuren kongruent sind. Die wichtigsten Kongruenzsätze sind die Kongruenzsätze für Dreiecke.
- Insgesamt gibt es vier Kongruenzsätze für Dreiecke: den SSS-Satz, den SWS-Satz, den SsW-Satz und den WSW-Satz.
- Es gibt keinen Kongruenzsatz der Form WWW. Zwei Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, sind nur im Ausnahmefall kongruente Dreiecke. Es handelt sich stattdessen um ähnliche Dreiecke.
- Es gibt keinen allgemeingültigen Kongruenzsatz der Form SSW.
- Zwei Kreise sind kongruent, wenn sie in ihrem Radius übereinstimmen.
- Auch für Vierecke gibt es ein paar Regeln zur Kongruenz.
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