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Punkte, Gerade und Ebenen stehen in ganz bestimmten Lagebeziehungen zueinander.
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Leg kostenfrei losWelche Methode kannst Du verwenden, um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade zu berechnen?
Wie überprüfst Du, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?
Welche Lagebeziehung besteht, wenn eine Gerade einen Schnittpunkt mit einer Ebene hat?
Wann sind zwei Geraden identisch?
Welche Lagebeziehung haben zwei parallele Geraden?
Was passiert, wenn zwei Ebenen identisch sind?
Welche Lagebeziehung gibt es zwischen einem Punkt und einer Gerade?
Was bedeutet es, wenn zwei Geraden windschief sind?
Welche Lagebeziehung kann zwischen zwei Ebenen bestehen?
Wie kannst Du herausfinden, ob eine Gerade in einer Ebene liegt?
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Team Lagebeziehung Lehrer
Auch in Deinem Zimmer befinden sich Ebenen (Wände, Schreibtisch), Geraden (Balken, Bodenleisten) und Punkte (Federmäppchen, Teller), die in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen.
Welche Verhältnisse es bei der Lagebeziehung Punkt Gerade, Punkt Ebene oder Ebene Ebene gibt und wie Du diese berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.
Für die Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen in der analytischen Geometrie kannst Du verschiedene Konstellationen unterscheiden.
| Lagebeziehung | Fragestellung |
| Punkt – Gerade | Liegt ein Punkt auf der Gerade oder nicht? |
| Punkt – Ebene | Liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht? |
| Gerade – Gerade | Sind beide Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief? |
| Gerade – Ebene | Ist die Gerade ein Teil der Ebene, ist sie parallel oder schneiden sie sich? |
| Ebene – Ebene | Liegt eine Ebene in einer anderen Ebene, sind sie parallel oder schneiden sie sich? |
Bei der Bestimmung dieser Lagebeziehungen kannst Du Dich gut an den Koordinatenachsen und bestimmten Spurpunkten orientieren.
Die Erklärung "Spurpunkte" gibt eine gute Übersicht.
Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Gerade gibt es sowohl im zweidimensionalen als auch im dreidimensionalen Raum.
Zunächst ist es wichtig herauszufinden, ob der Punkt ein Teil der Gerade ist oder nicht.
Das kann mithilfe der Punktprobe ermittelt werden.
Das Vorgehen kannst Du auf die Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade im Zweidimensionalen und im Dreidimensionalen anwenden.
| Zweidimensionaler Raum | Dreidimensionaler Raum | |
| Beispiel | \begin{align}&{\color{#00dcb4}f(x)}=3{\color{#1478c8}x}+2; \, \\[0.4cm] &P({\color{#1478c8}2}|{\color{#00dcb4}8})\end{align} | \begin{align} &f: {\color{#fa3273}\vec{x}} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right); \, \\[0.4cm] &P\, ({\color{#fa3273}0| \text{3}| \text{1}})\end{align} |
| 1. Punkt in Geradengleichung einsetzen. | \begin{align} {\color{#00dcb4}8} &=3 \cdot {\color{#1478c8}2} +2 \end{align} | \[\left( {\color{#fa3273}\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} } \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \] |
| 2. Gleichung/ Gleichungssystem lösen. | \begin{align} 8 &=3 \cdot 2 +2 \\ 8 &=6+2 \\ 8&=8 \, (\checkmark) \end{align} | \begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-5) &&\rightarrow \lambda =0,8 \\ 3 &= 2 + \lambda \cdot 2 && \rightarrow \lambda = 0,5 \, (\times)\\ 1 &= 1 + \lambda \cdot 1 &&\rightarrow \lambda = 0 \, (\times)\end{align} |
| 3. Ergebnis | \[P \in f(x)\] | \[P \not \in f(x)\] |
| Graph |
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In der Erklärung "Punktprobe" findest Du weitere Hintergründe und Beispiele.
Liegt der Punkt nicht auf der Gerade, so kann der Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnet werden.
Der Abstand eines Punkts zu einer Geraden ist immer die kürzeste Entfernung der beiden.
Um den Abstand zu berechnen, kann die Abstandsformel oder das Lotfußpunktverfahren angewendet werden.
Nähere Infos zu diesem Thema gibt es in der Erklärung "Lagebeziehung Punkt Gerade" und "Lotfußpunktverfahren".
Auch hierfür kann eine Punktprobe angewandt werden, dafür benötigst Du den Punkt als Ortsvektor und die Ebenengleichung in Koordinatenform.
| Beispiel | Liegt der Punkt \(P({\color{#1478c8}3}|{\color{#00dcb4}3}|{\color{#fa3273}-1})\) auf der Ebene \(E: 4{\color{#1478c8}x} - 2{\color{#00dcb4}y} + 1{\color{#fa3273}z} = 5\) ? |
1. Koordinaten des Punktes \(P\) in die Ebenengleichung \(E\) einsetzen. | \[4 \cdot {\color{#1478c8}3} - 2 \cdot {\color{#00dcb4}3} + 1 \cdot {\color{#fa3273}(-1)} = 5\] |
2. Gleichung lösen. | \begin{align} 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) &= 5 \\ 12 - 6 - 1 &= 5 \\ 5 &= 5 \, (\checkmark) \end{align} |
| 3. Ergebnis | \[P \in E\] |
| Graph |
|
Ist die Ebenengleichung nicht in Parameterform gegeben, musst Du sie zunächst umwandeln, hierbei hilft Dir die Erklärung "Ebenengleichung umwandeln".
Alternativ kannst Du auch noch weitere mögliche Methoden anwenden, welche Du in der Erklärung "Lagebeziehung Punkt Gerade" findest.
Geraden können auf vier verschiedene Weisen zueinander stehen:
Das sieht dann so aus.
| identisch | parallel | sich schneidend | windschief |
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Abb. 1 - Prüfungsschema Gerade Gerade.
Die Erklärung "Lagebeziehungen von Geraden" erklärt Dir genauer, wie Du die einzelnen Lagebeziehungen zwischen Geraden erkennen und berechnen kannst.
Eine Ebene \(E\) und eine Gerade \(g\) können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:
Auch das kannst Du Dir am besten graphisch vorstellen.
| \(g\) schneidet \(E\) | \(g\) liegt auf \(E\) | \(g\) parallel zu \(E\) |
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Zur Berechnung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene gibt es zwei Möglichkeiten.
Zum einen kannst Du Schritt für Schritt die Lage der Gerade zur Ebene nach einem Prüfschema herausfinden.
Abb. 2 - Prüfungsschema Gerade Ebene.
Zum Anderen kann auch hier so etwas wie eine Punktprobe angewendet werden.
Abb. 3 - Prüfungsschema Ebene Gerade.
Beide Berechnungsmöglichkeiten werden genauer in der Erklärung "Lagebeziehung Gerade Ebene" erklärt.
In dem Fall, dass die Gerade die Ebene schneidet, kann der genaue Schnittpunkt berechnet werden.
Du benötigst die Geradengleichung in Parameterform und die Ebenengleichung in Koordinatenform.
| Beispiel | Berechne den Schnittpunkt der Geraden \(g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \) mit der Ebene \(E: -x+2y+z=1\). |
| 1. Schritt: Stelle die Geradengleichung als lineares Gleichungssystem nach deren Koordinaten auf. | \begin{align} {\color{#1478c8}x}&=1+\lambda \cdot (-2) \\ {\color{#00dcb4}y}&=-1+ \lambda \cdot 0 \\ {\color{#fa3273}z}&=3+ \lambda \cdot (-1) \end{align} |
| 2. Schritt: Setze die Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein. | \begin{align} &E: -{\color{#1478c8}x} +2{\color{#00dcb4}y}+{\color{#fa3273}z} =1 \\ &E: -({\color{#1478c8}1-2 \lambda}) +2 \cdot ({\color{#00dcb4}-1})+({\color{#fa3273}3-1 \lambda}) =1 \end{align} |
| 3. Schritt: Vereinfache die entstandene Gleichung und löse nach Lambda auf. | \begin{align} E: -(1-2 \lambda) +2 \cdot (-1)+(3-1 \lambda) &=1 \\ -1 +2 \lambda -2 +3- \lambda &=1 \\ \lambda &=1+1+2-3 \\ \lambda &=1 \end{align} |
| 4. Schritt: Nun setzt Du \lambda in die Geradengleichung \(g\) ein und bestimmst damit den Schnittpunkt \(S\). | \begin{align} g: \vec{x} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\[0.2cm] &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\[0.2cm] &= \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \end{align} |
| Graph | Der Schnittpunkt liegt also bei \begin{align}S\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \end{align}.
|
Ist die Ebene in Normalenform oder Parameterform gegeben, musst Du sie zuerst in die Koordinatenform umwandeln.
Mehr Beispiele und Hintergrundinformationen hält die Erklärung "Schnittpunkt Gerade Ebene" für Dich bereit.
Zwei Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:
Sieh Dir diese drei Möglichkeiten einmal an.
| sich schneidend | parallel | identisch |
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Die Berechnung erfolgt wieder anhand eines Prüfschemas.
Für sich schneidende Ebenen entsteht an der Schnittstelle eine sogenannte Schnittgerade, die berechnet werden kann.
Alle weiteren Informationen zu diesem Themengebiet sind in den Erklärungen "Gegenseitige Lage von Ebenen" und "Schnittgerade zweier Ebenen" zu finden.
| Lagebeziehung | Fragestellung |
| Punkt – Gerade | Liegt ein Punkt auf der Gerade oder nicht? |
| Punkt – Ebene | Liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht? |
| Gerade – Gerade | Sind beide Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief? |
| Gerade – Ebene | Ist die Gerade ein Teil der Ebene, ist sie parallel oder schneiden sie sich? |
| Ebene – Ebene | Liegt eine Ebene in einer anderen Ebene, sind sie parallel oder schneiden sie sich? |
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In welchem Punkt schneidet eine Gerade die Ebene?
Der Schnittpunkt, in dem eine Gerade eine Ebene schneidet, kann berechnet werden.
Dazu benötigst Du die Geradengleichung in Parameterform und die Ebenengleichung in Koordinatenform.
Wann ist eine Gerade in einer Ebene?
Eine Gerade ist Teil einer Ebene, wenn sie genau auf der Ebene E liegt.
Schneidet die Gerade die Ebene oder ist sie parallel zu dieser, kann sie kein Teil der Ebene sein.
Wann liegt ein Punkt auf einer Ebene?
Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn die Punktprobe aufgeht.
Wie berechnet man den Schnittpunkt von Gerade und Ebene?
Den Schnittpunkt von Gerade und Ebene kannst Du nach folgendem Schema berechnen:
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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