Lagebeziehung

Lagebeziehung – Übersicht

Für die Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen in der analytischen Geometrie kannst Du verschiedene Konstellationen unterscheiden.

Bei der Bestimmung dieser Lagebeziehungen kannst Du Dich gut an den Koordinatenachsen und bestimmten Spurpunkten orientieren.

Lagebeziehung Punkt Gerade

Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Gerade gibt es sowohl im zweidimensionalen als auch im dreidimensionalen Raum.

Punktprobe

Zunächst ist es wichtig herauszufinden, ob der Punkt ein Teil der Gerade ist oder nicht.

Das kann mithilfe der Punktprobe ermittelt werden.

• Dazu wird der Punkt in die Geradengleichung eingesetzt.
• Die Gleichung oder das Gleichungssystem wird gelöst.
• Geht die Rechnung auf, liegt der Punkt auf der Geraden. Ist die Rechnung falsch, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Abstand

Liegt der Punkt nicht auf der Gerade, so kann der Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnet werden.

Um den Abstand zu berechnen, kann die Abstandsformel oder das Lotfußpunktverfahren angewendet werden.

Lagebeziehung Punkt Ebene

Auch hierfür kann eine Punktprobe angewandt werden, dafür benötigst Du den Punkt als Ortsvektor und die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Ist die Ebenengleichung nicht in Parameterform gegeben, musst Du sie zunächst umwandeln, hierbei hilft Dir die Erklärung "Ebenengleichung umwandeln".

Lagebeziehung Geraden

Geraden können auf vier verschiedene Weisen zueinander stehen:

• Zwei Geraden sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen Geraden ist.
• Zwei Geraden sind (echt) parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und ihr Abstand überall gleich groß ist.
• Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.
• Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich nicht berühren und nicht parallel sind.

Das sieht dann so aus.

Abb. 1 - Prüfungsschema Gerade Gerade.

Lagebeziehung Ebene Gerade

Eine Ebene $E$ und eine Gerade $g$ können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:

• Eine Ebene $E$ und eine Gerade $g$ haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.
• Eine Gerade \(g\) liegt in der Ebene $E$, wenn jeder Punkt der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist.
• Eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ sind parallel, wenn die Gerade und die Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben.

Auch das kannst Du Dir am besten graphisch vorstellen.

Berechnung Gerade Ebene

Zur Berechnung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene gibt es zwei Möglichkeiten.

Zum einen kannst Du Schritt für Schritt die Lage der Gerade zur Ebene nach einem Prüfschema herausfinden.

Abb. 2 - Prüfungsschema Gerade Ebene.

Zum Anderen kann auch hier so etwas wie eine Punktprobe angewendet werden.

Abb. 3 - Prüfungsschema Ebene Gerade.

Schnittpunkt Gerade Ebene

In dem Fall, dass die Gerade die Ebene schneidet, kann der genaue Schnittpunkt berechnet werden.

Lagebeziehung Ebene Ebene

Zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$ können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:

• Ebene $E_1$ und Ebene $E_2$ schneiden sich in einer Schnittgerade.
• Die beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.
• Beide Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Ebene auch ein Punkt der anderen Ebene ist.

Sieh Dir diese drei Möglichkeiten einmal an.

Die Berechnung erfolgt wieder anhand eines Prüfschemas.

Für sich schneidende Ebenen entsteht an der Schnittstelle eine sogenannte Schnittgerade, die berechnet werden kann.