Lagebeziehung Punkt Gerade

Lagebeziehung Punkt Gerade – Wiederholung

Für die Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen kannst Du verschiedene Konstellationen unterscheiden.

Diese Erklärung fokussiert sich vor allem auf die ersten beiden Punkte aus der Tabelle.

Außerdem gibt es verschiedene Möglichkeiten Geraden und Ebenen darzustellen. Du kannst grundsätzlich die Parameterform, Normalenform und Koordinatenform unterscheiden.

Lagebeziehung Punkt Gerade – Ebene Allgemein

Ein Punkt kann unterschiedlich zu einer Geraden oder auch einer Ebene liegen.

Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, Berechnungen durchzuführen:

Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade können im zweidimensionalen und dreidimensionalen Raum berechnet werden.

• Für den zweidimensionalen Raum kann die Lagebeziehung Punkt–Gerade zum Beispiel mithilfe der Punktprobe berechnet werden.
• Die Lagebeziehung Punkt–Gerade im dreidimensionalen Raum kann über das Gleichungssystem der Geradengleichung berechnet werden.

Lagebeziehungen zwischen Punkt und dem dreidimensionalen Objekt der Ebene können nur im Dreidimensionalen berechnet werden.

• Die Lagebeziehung Punkt–Ebene kann über das Skalarprodukt, die Geradengleichung und Ebenengleichung berechnet werden.

Sowohl im zwei- als auch im dreidimensionalen Raum kann der Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Geraden $g$ und einem Punkt und einer Ebene $E$ ermittelt werden, falls sich die Punkte nicht auf diesen befinden, kurz:

$$P\notin g\vee P\notin E$$

Lagebeziehung Punkt Gerade

Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt $P$ und Geraden $g$ kannst Du mit einem jeweiligen Beispiel sowohl im zweidimensionalen Raum, als auch im dreidimensionalen Raum lernen und üben.

Punktprobe Gerade

Um im zweidimensionalen Raum herauszufinden, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, verwendest Du ein spezielles Verfahren.

Dabei kannst Du bei jeder Funktionsart ähnlich Vorgehen:

Als Beispiel wird hier eine lineare Funktion $f(x)$ und ein beliebiger Punkt $P$ verwendet.

$$f(x)=3x+2;P(2|8)$$

Abb. 1 – Lagebeziehung Punktprobe zweidimensionaler Raum

Die Aussage ist wahr, damit liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $f(x)$.

Punkt auf Gerade

Es gibt auch für den dreidimensionalen Raum eine Möglichkeit zu ermitteln, ob sich ein Punkt auf einer Geraden befindet.

Dieses Verfahren funktioniert dabei immer auf dieselbe Weise.

Um dieses Verfahren zu verinnerlichen, bietet sich hierzu eine kleine Übung an.

Lagebeziehung Punkt Gerade – Abstand & Vektoren

Es ergibt sich auch manchmal, dass sich ein Punkt $P$ nicht auf einer Geraden $g$ befindet.

In diesem Fall kann in einer Aufgabenstellung auch gefragt werden, wie groß der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist.

Dabei wird ein Lot auf die Gerade gefällt, mit einem Lotfußpunkt $F$. Die Strecke $[LF]$ ist dann der Abstand.

Abstand Punkt Gerade – Abstandsregel

Eine der Methoden, den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Geraden $g$ zu bestimmen, ist die Abstandsregel. Dabei spielen vor allem Richtungs- und Ortsvektoren eine entscheidende Rolle.

Du setzt also die Werte aus dem Punkt $P$ und der Geraden $g$ einfach in die Formel ein und kannst damit den Abstand berechnen.

Einen kleinen Einblick in die Abstandsbestimmung zwischen einem Punkt und einer Geraden erhältst Du nun für die Abstandsregel.

Abstand Punkt Gerade – Lotfußpunktverfahren

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, an der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ eine Lotgerade zu ziehen. Dabei entsteht ein Schnittpunkt mit der Geraden $g$. Dieser wird als Lotfußpunkt bezeichnet. In Abhängigkeit dieses Punktes kannst Du auch den Abstand bestimmen.

Dieses Verfahren soll Dir allgemein und theoretisch in dieser Tabelle gezeigt werden.

Auch hierbei ist die Gerade $g$ in Parameterform und der Punkt $P$ als Ortsvektor angegeben.

$$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$$

$$P=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)$$

Lagebeziehung Punkt Gerade – Ebene

Ein Punkt kann allerdings für die analytische Geometrie nicht nur auf einer Geraden liegen, oder auch nicht, sondern ebenso in einer Ebene.

Dazu gibt es verschiedene Vorgehensweisen, da eine Ebene in diesen Formen gegeben sein kann:

• Punktprobe Ebene in Parameterform
• Punktprobe Ebene in Normalenform
• Punktprobe Ebene in Koordinatenform

Lagebeziehung Punkt Ebene Parameterform

Ist eine Ebene $E$ in Parameterform gegeben und es soll bestimmt werden, ob ein Punkt $P$ auf dieser liegt, ähnelt das Verfahren dem für die Parameterform einer Geraden $g$.

Dazu wird auch hierbei ein lineares Gleichungssystem erstellt über die einzelnen Koordinaten der Ebene.

Das bedeutet also, ein Punkt $P$ liegt auf dieser Ebene $E$, falls es Werte für die Parameter $r$ und $s$ gibt. Auch hierbei kannst Du den Ortsvektor des Punktes $P$ einsetzen und das Gleichungssystem lösen.

Dazu bietet sich wieder eine Übung an, um das Gleichungssystem für die Parameterform im dreidimensionalen Raum zu lösen.

Lagebeziehung Punkt Gerade Ebene Skalarprodukt

Ein weiteres Verfahren gibt es, wenn eine Ebene $E$ in Normalenform gegeben ist. Dann spielt vor allem das Skalarprodukt eine Rolle.

Besitzt Du also auch hier das Wissen darüber, wie die Ebenengleichung aussieht, ist ebenso hierbei das Einsetzen eines Punktes $P$ entscheidend.

Das Positive an dieser Form der Ebene $E$ ist, dass lediglich eine Gleichung zu lösen ist, anstelle von dreien für die Parameterform.

Auch hierbei bietet sich eine Übung am besten an.

Lagebeziehung Punkt Ebene Koordinatenform

Wie bereits erwähnt, kann eine Ebene auch in der sogenannten Koordinatenform angegeben sein. Auch hierbei ist es möglich, zu prüfen, ob ein Punkt auf der Ebene platziert ist.

Dabei ist das Verfahren deutlich weniger umfangreich, als es bei der Parameterform der Fall ist.

Wie Du also bereits erkennen solltest, ist dieses Verfahren durch nur zwei Schritte lösbar.

Lagebeziehung Punkt Gerade – Aufgaben

Nachdem Du ein sehr umfangreiches Bild an verschiedenen Berechnungen für die Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade und zwischen Punkt und Ebene erhalten hast, kannst Du dies alles üben. Dabei liegt der Fokus auf der Lagebeziehung Punkt–Gerade.