Lot fällen: Anleitung mit Zirkel & Rechnerisch

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Lot fällen Turm bauen StudySmarter Abbildung 1: Bau eines Turms mit Bausteinen

Lot Definition

Die Konstruktion eines Lot ist eine der Grundkonstruktionen, welche Du für viele weitere Konstruktionen benötigst.

Ein Lot ist eine Gerade oder Strecke l, die senkrecht zu einer anderen Geraden oder Strecke g verläuft. Also stehen die beiden Geraden im 90° Winkel aufeinander.

Es gilt:

$l ⊥ g$

Ein Lot kann eine Strecke oder eine Gerade sein, abhängig davon wird das Lot auch Lotstrecke oder Lotgerade genannt.

Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, dann schließen die beiden Geraden einen 90° Winkel ein und sind somit orthogonale Geraden.

Das Lot l verläuft durch den Punkt P und steht senkrecht auf der Gerade g.

Lot fällen Lot Definition StudySmarter Abbildung 1: Lot Definition

Die Gerade g wird von dem Lot l in einem Punkt F geschnitten. Dieser Punkt F wird Lotfußpunkt genannt und kennzeichnet den rechten Winkel, unter welchem sich das Lot und die Gerade schneiden.

Lot fällen Lot Definition StudySmarter Abbildung 2: Lot Definition

Lot fällen Anleitung

Ein Lot fällen bedeutet, dass Du das Lot l von einem Punkt P auf die Gerade g einzeichnest. Es gibt zwei Arten, das Lot zu fällen. Du kannst die Lotgerade nur mit dem Geodreieck fällen oder die Lotgerade mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Lot fällen Geodreieck – Konstruktion

Als Erstes konstruierst Du das Lot nur mit dem Geodreieck.

Beschreibung	Konstruktionsschritte
Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P. Von P soll ein Lot auf die Gerade g gefällt werden.	Abbildung 3: Lot fällen Dreieck
1. SchrittDu legst Dein Geodreieck so auf die Gerade, dass die 90°-Hilfslinie auf der Geraden liegt.	Abbildung 4: Lot fällen Dreieck
2. SchrittVerschiebe nun das Geodreieck so, dass P an der Grundkante des Dreiecks liegt.	Abbildung 5: Lot fällen Dreieck
3. SchrittZeichne zum Schluss eine Linie entlang des Geodreiecks bis zur Geraden. Wenn es sich bei dem Lot um eine Strecke handelt, darfst Du die Linie nur bis P zeichnen. Wenn es sich um eine Gerade handelt, musst die Linie durch P durchzeichnen.	Abbildung 5: Lot fällen Dreieck

Folgende Konstruktionsschritte zum Fällen eines Lotes mit dem Geodreieck solltest Du Dir merken:

Konstruktionsschritte zum Fällen eines Lotes mit dem Geodreieck:

Lege Dein Geodreieck so auf die Gerade, dass die 90°-Hilfslinie auf der Geraden liegt.
Verschiebe jetzt das Geodreieck so, dass der Punkt an der Grundkante des Dreiecks liegt.
Zeichne zum Schluss eine Linie entlang des Geodreiecks bis zur Geraden.

Lot fällen Zirkel

Du kannst das Lot auch mithilfe eines Zirkels und eines Lineals fällen. Diese Art der Konstruktion wird in der Schule meistens von Dir erwartet, wenn Du ein Lot fällen musst.

Beschreibung	Konstruktionsschritte
Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P. Von P soll ein Lotgerade auf die Gerade g gefällt werden.	Abbildung 7: Lot fällen Zirkel
1. Schritt:Konstruiere einen Kreis mit P als Mittelpunkt, sodass der Kreis die Gerade g schneidet.	Abbildung 8: Lot fällen Zirkel
2. Schritt:Konstruiere jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte A und B. Nutze bei beiden denselben Radius.	Abbildung 9: Lot fällen Zirkel
3. Schritt:Zeichne eine Gerade l durch die Schnittpunkte S₁ und S₂der Kreise um A und B. Du erhältst die Lotgerade von P auf g.	Abbildung 10: Lot fällen Zirkel

Für die Konstruktion eines Lotes mit Zirkel kannst Du Dir die folgenden Konstruktionsschritte merken:

Konstruktionsschritte zum Fällen eines Lotes mit dem Zirkel:

Konstruiere einen Kreis mit P als Mittelpunkt, sodass der Kreis die Gerade g schneidet.
Konstruiere jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte A und B. Nutze bei beiden denselben Radius.
Zeichne eine Gerade l durch die Schnittpunkte S₁ und S₂der Kreise um A und B. Du erhältst die Lotgerade von P auf g.

Lot fällen rechnerisch

Auch in anderen Bereichen der Mathematik benötigst Du gelegentlich eine Lotgerade. Das Lot kannst Du dann auch rechnerisch fällen.

Du kannst das Lot im zweidimensionalen Koordinatensystem auf eine Gerade fällen. Im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst Du ein Lot auch auf eine Ebene fällen. Mehr zum Fällen eines Lotes im dreidimensionalen Koordinatensystem erfährst Du in der Erklärung „Lotgerade“.

Die Lotgerade berechnest Du mithilfe der folgenden Schritte.

Berechne die Steigung der Lotgeraden mithilfe der Formel $m_{g} \cdot m_{l} = - 1$ . Dabei ist m_f die Steigung der Geraden und m_l die Steigung der Lotgeraden.
Setze den Punkt P und die Steigung der Lotgeraden in die allgemeine Geradengleichung $g (x) = m x + t$ ein und berechne t.
Zum Schluss schreibst Du die Geradengleichung des Lotes auf.

Du kannst also eine Lotgerade l auf eine Gerade g fällen, in dem Du die Normale n der Geraden g durch den Punkt P aufstellst.

Die Normale

Die Normale ist eine besondere Gerade, die im rechten Winkel zu einer anderen Geraden steht.

Eine Normale ist eine Gerade, die eine andere Gerade schneidet und im Schnittpunkt orthogonal dazu verläuft.

Die Steigung m einer Normalen kannst Du mithilfe der folgenden Formel berechnen:

$m_{g} \cdot m_{n} = - 1$

Dabei bildest Du den Kehrwert der Ursprungsgerade und wechselst das Vorzeichen.

Lot fällen Normale StudySmarter Abbildung 11: Normale

Mehr zur Normalen erfährst Du in der Erklärung "Normale".

Aufgabe 1

Berechne die Lotgerade der Geraden $g (x) = 2 x - 3$ durch den Punkt $P (2 | 2)$ .

Lösung

Als Erstes berechnest Du die Steigung der Lotgeraden l. Dafür nutzt Du die Formel $m_{g} \cdot m_{l} = - 1$ . Mithilfe dieser Formel kannst Du überprüfen, ob zwei Geraden senkrecht zueinander stehen. Hier kannst Du auch die Steigung des Lotes mit dieser Formel berechnen.

$\begin{array}{rclc} m_{g} \cdot m_{l} & = & - 1 \\ 2 \cdot m_{l} & = & - 1 & | \div 2 \\ m_{l} & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

Jetzt setzt Du die Steigung und den Punkt P in eine allgemeine Geradengleichung $g (x) = m x + t$ ein und berechnest t.

$\begin{array}{rcl} l (x) & = & m_{l} x + t \\ l (x) & = & - \frac{1}{2} x + t & | P (2 | 2) \\ 2 & = & - \frac{1}{2} \cdot 2 + t & | + 1 \\ t & = & 3 \end{array}$

Zum Schluss schreibst Du die Funktion für die Lotgerade mit allen bekannten Werten auf.

$l (x) = - \frac{1}{2} x + 3$

Lot fällen Lot fällen Gerade StudySmarter Abbildung 12: Lot fällen Gerade

Lot konstruieren – Übungsaufgaben

In diesem Abschnitt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen auf die Probe stellen.

Aufgabe 3

Konstruiere die Lotgerade l auf die Gerade g. Nutze den Zirkel.

Lot fällen Lot fällen Zirkel StudySmarter Abbildung 13: Lot fällen Zirkel

Lösung

Um das Lot mit dem Zirkel zu fällen, gehst Du folgendermaßen vor:

Konstruiere einen Kreis mit P als Mittelpunkt, sodass der Kreis die Gerade g schneidet.
Konstruiere jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte A und B. Nutze bei beiden denselben Radius.
Zeichne eine Gerade l durch die Schnittpunkte S₁ und S₂der Kreise um A und B. Du erhältst das Lot von P auf g.

Lot fällen Lot fällen Zirkel StudySmarter Abbildung 14: Lot fällen Zirkel

Aufgabe 4

Bei welcher der folgenden Geraden handelt sich es um die Lotgerade vom Punkt P auf die Gerade g. Begründe Deine Aussage.

Lot fällen Lot erkennen StudySmarter Abbildung 15: Lot erkennen

Lösung

Die Gerade l₁ ist die Lotgerade. Sie verläuft durch P und schneidet die Gerade g im rechten Winkel. Die anderen beiden Geraden verlaufen nur durch P und stehen nicht senkrecht auf der Geraden g.

Lot fällen Lot erkennen StudySmarter Abbildung 16: Lot erkennen

$α \neq 90 ° β \neq 90 °$

Aufgabe 5

Berechne die Lotgerade der Geraden $g (x) = - 0, 5 x + 3$ durch den Punkt $P (4 | 3)$ .

Lösung

Als Erstes berechnest Du die Steigung der Lotgeraden l. Dafür nutzt Du die Formel $m_{g} \cdot m_{l} = - 1$ .

$\begin{array}{rclc} m_{g} \cdot m_{l} & = & - 1 \\ - 0, 5 \cdot m_{l} & = & - 1 & | \div (- 0, 5) \\ m_{l} & = & 2 \end{array}$

Jetzt setzt Du die Steigung und den Punkt P in eine allgemeine Geradengleichung $g (x) = m x + t$ ein und berechnest t.

$\begin{array}{rclc} l (x) & = & 2 x + t \\ 3 & = & 2 \cdot 4 + t \\ 3 & = & 8 + t & | - 8 \\ - 5 & = & t \end{array}$

Zum Schluss schreibst Du die Funktion für die Lotgerade auf.

$l (x) = 2 x - 5$

Lot fällen – Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Lot ist eine Gerade oder Strecke l, die senkrecht zu einer anderen Geraden oder Strecke g verläuft. Also wenn l orthogonal zu g liegt, ist l das Lot von g.
Es gilt:
$l ⊥ g$

Ein Lot wird auch Lotstrecke oder Lotgerade genannt.
Der Punkt, in welchem sich Lot und Gerade sich schneiden, wird Lotfußpunkt genannt.
Konstruktion mit dem Geodreieck:
1. Du legst Dein Geodreieck so auf die Gerade, dass die 90°-Hilfslinie auf der Geraden liegt.
2. Verschiebe nun das Geodreieck so, dass der Punkt an der Grundkante des Dreiecks liegt.
3. Zeichne zum Schluss eine Linie entlang des Geodreiecks bis zur Geraden.
Konstruktion mit dem Zirkel:
1. Konstruiere einen Kreis mit P als Mittelpunkt, sodass der Kreis die Gerade g schneidet.
2. Konstruiere jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte A und B. Nutze bei beiden denselben Radius.
3. Zeichne eine Gerade l durch die Schnittpunkte S₁ und S₂der Kreise um A und B. Du erhältst das Lot von P auf g.
Die Lotgerade berechnest Du mithilfe der folgenden Schritte.
1. Berechne die Steigung der Lotgeraden mithilfe der Formel $m_{f} \cdot m_{l} = - 1$ . Dabei ist m_f die Steigung der Geraden und m_l die Steigung der Lotgeraden.
2. Setze den Punkt P und die Steigung der Lotgeraden in die allgemeine Geradengleichung $g (x) = m x + t$ ein und berechne t.
3. Zum Schluss schreibst Du die Geradengleichung des Lotes auf.

Nachweise

Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München.
Faber (1971). Geometrie 1. Ernst Klett Verlag, Stuttgart.

Karteikarten in Lot fällen 3

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Wie wird das Lot noch genannt?

Lotgerade

Wie nennt sich der Punkt, in welchem sich die Gerade und das Lot schneiden?

Lotfußpunkt

Unter welchem Winkel schneiden sich das Lot und die Gerade?

90°-Winkel

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Lot fällen

Was bedeutet das Lot fällen?

Ein Lot ist eine Gerade oder Strecke l, die senkrecht zu einer anderen Geraden oder Strecke g verläuft. Also stehen die beiden Geraden im 90° Winkel aufeinander. Ein Lot fällen bedeutet, dass Du ein Lot l durch einen Punkt P auf die Gerade g einzeichnest.

Wie kann man ein Lot fällen?

Das Lot kannst Du zeichnerisch oder rechnerisch fällen.

Das Lot zeichnen kannst Du mithilfe vom Geodreieck oder vom Zirkel. Rechnerisch kannst Du das Lot im zweidimensionalen Koordinatensystem auf eine Gerade und im dreidimensionalen auf eine Gerade oder Ebene.

Was ist der Unterschied zwischen einem Lot und einer Mittelsenkrechten?

Die Mittelsenkrechte ist eine orthogonale Gerade in der Mitte einer Strecke. Das Lot ist eine beliebige Senkrechte, die durch einen Punkt außerhalb der Strecke verläuft. Ein Lot kannst Du also auch auf Geraden einzeichnen und gibt nicht den Mittelpunkt einer Strecke an.

Was ist das Lot im Dreieck?

Das Lot im Dreieck wird oft mit "von C auf die Strecke AB" bezeichnet. Dabei ist nach der Höhe c des Dreiecks gefragt. Die Höhen eines Dreiecks konstruierst Du genauso wie ein Lot.

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