Nebenwinkel

Nebenwinkel – Wiederholung Winkel

Winkel können grundsätzlich auftreten, wenn sich zwei Geraden schneiden beziehungsweise wenn drei Punkte einen Winkel aufspannen.

Wichtig ist dabei, dass bei der Angabe des Winkels immer die Richtung gegen den Uhrzeigersinn gewählt wird.

Winkel können auf zwei verschiedene Arten entstehen:

• zwischen zwei sich schneidenden Geraden ($\measuredangle (f,g)$)
• zwischen drei Punkten, wobei der Scheitelpunkt - der Punkt am Winkel - mittig geschrieben wird ($\measuredangle ASB$)

Abbildung 2: Winkel mit Angabe für zwei Geraden und drei Punkte

Besondere Winkelgrößen sind zum Beispiel 0° oder auch 90°. Alle weiteren Winkelgrößen werden folgendermaßen eingeteilt:

• Der sogenannte spitze Winkel ist ein Winkel mit einer Größe zwischen 0 und 90°, für ihn gilt also:$0°<\alpha <90°$.
• Der rechte Winkel ist der Winkel, der genau 90° besitzt.
• Der stumpfe Winkel ist ein Winkel, der mehr als 90°, aber weniger als 180° beträgt, also $90°<\beta <180°$.
• Der gestreckte Winkel$\gamma$ ist exakt der Winkel mit 180°.
• Der überstumpfe Winkel besitzt mehr als 180°, aber weniger als 360°. $180°<\delta <360°$.
• Der Vollwinkel wiederum besitzt genau 360°.

Abbildung 3: Winkelarten (spitzer, stumpfer, gestreckter, überstumpfer Winkel)

An zwei sich schneidenden Geraden entstehen insgesamt 4 Winkel. Hierbei kann man vier verschiedene Nebenwinkel ausmachen. Doch auch die Scheitelwinkel spannen sich dort auf.

Nebenwinkel – Eigenschaften

Zu Beginn wird Dir nun erläutert, was Nebenwinkel genau sind und wie Du auf diese schließen kannst. Es gibt eine kleine Herleitung, die Dir dabei helfen soll, Nebenwinkel gut zu verstehen.

Nebenwinkel – Erklärung und Herleitung

Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden g und h an einem Punkt P schneiden.

Am Schnittpunkt P entsteht dann eine Geradenkreuzung. Diese unterteilt den umliegenden Bereich in vier Teile, die durch die beiden Geraden g und h begrenzt werden. Das sieht zum Beispiel folgendermaßen aus:

Abbildung 5: Geradenkreuzung von zwei Geraden

Wie Du bereits weißt, beträgt bei einer Geraden ein gestreckter Winkel 180°. Dieser gestreckte Winkel wird im Folgenden als ε bezeichnet.

Herleitung

Abbildung 6: Geradenkreuzung mit gestrecktem Winkel

Um das Prinzip vom Nebenwinkel besser zu verstehen, wurde der Winkel $\epsilon =180°$ entlang der Geraden g in das Schaubild eingetragen.

Abbildung 7: Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung mit zusammen 180°

Anhand dieses Bildes kannst Du erkennen, dass die Winkelsumme aus der in Abbildung 6 gezeigten Winkel α und β, zusammen den Winkel ε (180°) aus Abbildung 5 ergibt.

Es gilt also:

$\epsilon =180°$

$\alpha +\beta =\hspace{0.17em}\epsilon =\hspace{0.17em}180°$

Die Winkel α und β sind sogenannte Nebenwinkel. Sie liegen an der Geradenkreuzung nebeneinander.

Dasselbe Prinzip gilt für die beiden Winkel γ und δ, die oberhalb der Geraden g liegen:

Abbildung 8: Weitere Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung mit zusammen 180°

Auch bei diesen Winkeln gilt: $\gamma +\delta =180°$.

Das gilt dann ebenso für die letzten Winkel:

• $\beta +\gamma =180°$
• $\alpha +\delta =\hspace{0.17em}180°$

Es gibt also insgesamt vier Winkelpaare die zusammen Nebenwinkel bilden.

Abbildung 9: Vier Winkel an einer Geradenkreuzung mit insgesamt 4 Winkelpaare

Nebenwinkel – Definition

Allgemein hilft es, sich die zwei kreuzenden Geraden bildlich vorzustellen.

Zusammengehörige Nebenwinkel werden auch als Winkelpaar bezeichnet. Insgesamt entstehen am Schnittpunkt zweier Geraden vier Nebenwinkelpaare.

Abbildung 10: Vier Nebenwinkelpaare

Für diese Nebenwinkelpaare gilt der sogenannte Nebenwinkelsatz.

Nebenwinkelsatz und Nebenwinkelpaare

Es wurde bereits angedeutet, dass es insgesamt vier verschiedene Winkelpaare gibt. Dabei treten sie immer bei einer Geradenkreuzung auf, wobei folgende Bedingungen gelten:

Diese sind Dir noch einmal in folgender Grafik gezeigt:

Abbildung 11: Vier Winkelpaare bei Geradenkreuzung

Die beiden Winkel sind dabei jeweils kommutativ, das heißt Du kannst sie auch vertauscht angeben. Beide Angaben sind also identisch:

$$\begin{gathered} \alpha +\delta =\hspace{0.17em}180° \\ \delta +\alpha =\hspace{0.17em}180° \end{gathered}$$

Nebenwinkel – berechnen

Du hast also bereits herleiten können, wie die Nebenwinkel funktionieren und dass sie insgesamt 180° ergeben.

Nutze gleich das zuvor genannte Beispiel, um Nebenwinkel nun konkret zu berechnen. Mit der Angabe eines Nebenwinkels kannst Du auf den anderen schließen.

Das bedeutet also, bei der Angabe eines Winkels, kannst Du über die automatisch zweite Angabe 180° auf den dritten Winkel schließen.

Nebenwinkel – Dreieck

Nebenwinkel können auch eine wichtige Rolle im Dreieck spielen, wenn es um die sogenannten Innenwinkel und die Innenwinkelsumme im Dreieck geht.

Sieh Dir die folgende Grafik an, dort wirst Du sehen, wie Nebenwinkel mit einer Gerade über die Ecken eines Dreiecks bestimmt werden können:

Abbildung 12: Nebenwinkel in violett für Innenwinkel des Dreiecks (in pink)

Das bedeutet also Du kannst über den Nebenwinkel den Innenwinkel eines Dreiecks bestimmen.

Dieses Ergebnis kannst Du nun für die sogenannte Innenwinkelsumme im Dreieck verwenden.

Nebenwinkel – Beispiele & Aufgaben

Abschließend kannst Du in diesem Abschnitt alles, was Du in diesem Artikel über Nebenwinkel gelernt hast, an einigen Beispielen üben.