Normalenvektor: Ebene, Bestimmen & Berechnen

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Ebenen und Geraden im Raum – Grundlagenwissen

Zum Einstieg in das Thema des Normalenvektors $\vec{n}$ , ist eine Wiederholung zu Ebenen $E : \vec{x}$ und Geraden $g : \vec{x}$ sehr wichtig, weil Normalenvektoren $\vec{n}$ immer orthogonal zu Geraden $g : \vec{x}$ oder Ebenen $E : \vec{x}$ stehen. Wenn Du das aber alles schon weißt, kannst Du den nächsten Abschnitt überspringen.

Ebenen im Raum

Im Folgenden wird Dir erläutert, was eine Ebene $E : \vec{x}$ im Raum ist.

Eine Ebene $E : \vec{x}$ im Raum ist ein zweidimensionales Objekt in der analytischen Geometrie, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.

Meistens wird die Ebenengleichung $E : \vec{x}$ in der Parameterform dargestellt. Die Ebene $E : \vec{x}$ kann aber auch in Normalenform und Koordinatenform dargestellt werden.

Ein Beispiel für eine Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform ist $E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ .

Wie diese Ebene im Koordinatensystem aussieht, siehst Du im Folgenden:

Normalenvektor Ebene E:x im Raum StudySmarter Abbildung 1: Ebene E:x im Raum.

Geraden

Eine Gerade kann in der Ebene und im Raum liegen. Einen Überblick über Geraden im Dreidimensionalen erhältst Du in diesem Abschnitt.

Eine Gerade $g : \vec{x}$ ist in der analytischen Geometrie eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b}$

$\vec{a}$ = Stützvektor der Gerade $g : \vec{x}$ .

$\vec{b}$ = Richtungsvektor der Gerade $g : \vec{x}$ .

Geraden $g : \vec{x}$ in Parameterform und im dreidimensionalen Koordinatensystem:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$

Hier siehst Du noch einmal ganz gut, dass die Parameterform der Geradengleichung aus einem Stützvektor $\vec{a}$ und dem Richtungsvektor $\vec{b}$ besteht.

Die nächste Abbildung zeigt die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ in Parameterform im dreidimensionalen Koordinatensystem zur Veranschaulichung.

Normalenvektor Gerade g:x im Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 2: Gerade g:x im Koordinatensystem.

Normalenvektor Definition

Eine Ebene $E : \vec{x}$ und einer Gerade $g : \vec{x}$ können beide einen Normalenvektor $\vec{n}$ besitzen.

Der Normalenvektor $\vec{n}$ ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade $g : \vec{x}$ , Ebene $E : \vec{x}$ , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.

Normalenvektor Normalenvektor einer Ebene StudySmarter Abbildung 3: Normalenvektor einer Ebene

Dieser Normalenvektor $\vec{n}$ kann auch berechnet werden. Wie das funktioniert, zeigt Dir der Rest der Erklärung.

Normalenvektor einer Ebene berechnen

Einen Normalenvektor $\vec{n}$ einer Ebene $E : \vec{x}$ kann auf verschiedene Wege berechnet werden, je nach angegebener Form der Ebenengleichung.

In manchen Fällen kann der Normalenvektor anhand einer Ebenengleichung in Normalenform und Koordinatenform abgelesen werden oder in der Parameterebene durch das Kreuzprodukt berechnet werden.

Normalenvektor einer Ebene in Normalenform

Den Normalenvektor $\vec{n}$ einer Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform findest Du heraus, indem Du ihn einfach abliest.

Die Normalenform besteht aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ , einem Vektor $\vec{x}$ , der den Aufbau eines Vektors darstellt und dem Ortsvektor/Stützvektor $\vec{o}$ . Hier siehst Du die Rohform der Normalenform $E : \vec{x}$ .

$\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{o}) = 0$

Das ist die ausgeschriebene Form einer Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix} \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} o_{1} \\ o_{2} \\ o_{3} \end{matrix})] = 0$

$\vec{n}$ = Normalenvektor einer Ebene $E : \vec{x}$ .

$\vec{x}$ = Variable X einer Ebene $E : \vec{x}$ .

$\vec{o}$ = Ortsvektor/Stützvektor einer Ebene $E : \vec{x}$ .

Wie wird der Normalenvektor jetzt bestimmt?

Aufgabe 1

Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform.

$(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 13 \end{matrix}) \circ [\vec{x} - \begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}] = 0$

Lösung

Du liest in diesem Fall den Normalenvektor $\vec{n}$ ab. Der Normalenvektor ist der türkisfarbene Vektor zu Beginn der Geradengleichung.

Der Normalenvektor ist:

$\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 13 \end{matrix})$

Wenn Dich die Form Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Normalenform der Ebene $E : \vec{x}$ zurückgreifen.

Normalenvektor einer Ebene in Koordinatenform

Die Koordinatenform ist eine Ebenengleichung, bei der der Normalenvektor abgelesen werden kann.

Die Koordinatenform $E : \vec{x}$ ist die ausmultiplizierte Form der Normalenform:

$n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = d$

$\vec{n}$ = Normalenvektor der Ebene $E : \vec{x}$ .

$\vec{x}$ = Variable X einer Ebene $E : \vec{x}$ .

$d$ = Skalar (reelle Zahl) aus $\vec{o} \cdot \vec{n} = d$ .

$\vec{o}$ = Ortsvektor der Ebene $E : \vec{x}$ .

Wenn Dich die Form Ebene $E : \vec{x}$ in Koordinatenform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Koordinatenform der Ebene $E : \vec{x}$ zurückgreifen.

Nun hast Du erfahren, dass der Normalenvektor $\vec{n}$ abgelesen werden kann. Dazu werden die Zahlen, die vor der Variable x stehen, zu einem Normalenvektor $\vec{n}$ angeordnet.

Aufgabe 2

Benenne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $2 x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} = 6$ .

Lösung

Der Normalenvektor $\vec{n}$ wird von den türkisfarbenen Zahlen vor den Variablen x abgelesen.

Somit ist der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E : \vec{x}$ $\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 9 \end{matrix})$ .

Normalenvektor einer Ebene in Parameterform

Die Parameterform ist die gängigste Form, eine Ebene $E : \vec{x}$ aufzuschreiben.

Die Ebene E:x in Parameterform wird durch einen Punkt O und zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ bestimmt, die kein Vielfaches voneinander sind.

$E : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

Die Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform:

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix})$

$\vec{o}$ = Ortsvektor/Stützvektor der Ebene $E : \vec{x}$ .

$\vec{a}$ = Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene $E : \vec{x}$ .

$\vec{b}$ = Spannvektor/Richtungsvektor der Ebene $E : \vec{x}$ .

Wenn Dich die Form Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform interessiert und dieses Thema noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du gerne auf den Artikel zur Parameterform der Ebene $E : \vec{x}$ zurückgreifen.

Der Normalenvektor $\vec{n}$ wird aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren einer Ebenengleichung $E : \vec{x}$ in Parameterform aufgestellt.

Kreuzprodukt

Beim Kreuzprodukt, werden die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt.

Berechnung eines Kreuzprodukts zwischen zwei Vektoren $\vec{a} \times \vec{b}$ im dreidimensionalen Koordinatensystem:

$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix}) = \vec{c}$

Die Werte der Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

werden dann untereinander multipliziert und subtrahiert und im wahrsten Sinne des Wortes gekreuzt.

Aufgabe 2

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$ .

Lösung

Es werden also Vektor $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in die Formel des Kreuzprodukts eingesetzt und verrechnet.

$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1) \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - (- 1) \\ 2 - 1 \\ - 1 - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix})$

Das Kreuzprodukt ist in diesem Fall der Vektor $\vec{c} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix})$ .

Ein Normalenvektor $\vec{n}$ aus einer Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform wird berechnet, indem die beiden Spannvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in das Kreuzprodukt eingesetzt und ausmultipliziert werden.

Aufgabe 3

Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ .

Lösung

Du berechnest den Normalenvektor $\vec{n}$ , indem Du die beiden Spannvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ der Ebene $E : \vec{x}$ in die Formel des Kreuzprodukts einsetzt und das Kreuzprodukt dann ausmultiplizierst.

$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 - 3 \\ 1 - 2 \\ 6 - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$

Der Normalenvektor der Ebene $E : \vec{x}$ ist $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$ .

Hier siehst Du eine Abbildung des Normalenvektors $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$ im Koordinatensystem. Auch da erkennt man, dass der Normalenvektor $\vec{n}$ senkrecht auf der Ebene $E : \vec{x}$ steht.

Normalenvektor Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 3: Normalenvektor n der Ebene E:x im Koordinatensystem

Normalenvektor einer Gerade bestimmen

Auch bei einem Normalenvektor einer Gerade $g : \vec{x}$ , muss der Normalenvektor orthogonal zu der Gerade $g : \vec{x}$ verlaufen.

Einen Normalenvektor $\vec{n}$ einer Gerade $g : \vec{x}$ wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor $\vec{b}$ ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist sehr wichtig für die Berechnung eines Normalenvektors $\vec{n}$ einer Gerade $g : \vec{x}$ .

Ein Skalarprodukt wird berechnet, indem die jeweiligen Zahlen zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ multipliziert werden. Nämlich $x_{1} \cdot y_{1}$ und $x_{2} \cdot y_{2}$ , etc. und diese werden addiert, um das Skalarprodukt zu erhalten. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a \cdot b_{3}$

Ein Skalarprodukt nennt sich so, weil man die Produkte aus Skalaren (reelle Zahlen) miteinander addiert.

Wichtig ist in dem Fall, dass nicht das normale Multiplikationszeichen verwendet wird, sondern dieser Kringel: $\circ$ .

Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal zueinander.

$\cos^{- 1} (0) = 90 °$

Aufgabe 4

Berechne das Skalarprodukt des Vektors $\vec{a} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1, 5 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Lösung

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1, 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (- 2) \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1, 5 \cdot 2 = (- 4) + 1 + 3 = 0$

Auch hier geht man nach dem gleich Prinzip vor, wie bisher. In diesem Fall kommt man zu dem Skalarprodukt 0. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 sind, dann sind sie orthogonal zueinander.

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Das Skalarprodukt wird für die Bestimmung des Normalenvektors $\vec{n}$ einer Gerade $g : \vec{x}$ benötigt.

Normalenvektor einer Gerade bestimmen – Beispiel

Zur Veranschaulichung der Normalenvektor Bestimmung kannst Du Dir das Folgende Beispiel anschauen.

Aufgabe 5

Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Lösung

Für das Bestimmen der Normalenvektors $\vec{n}$ der Gerade $g : \vec{x}$ muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors $\vec{a}$ und des Normalenvektors $\vec{n}$ gleich 0 sein.

$\vec{a} \circ \vec{n} = 0$ " id="2358655 " role="math " style="max-width: none;"> $\vec{n} \circ \vec{a} = 0$

Zuerst wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

$\vec{a} \circ \vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) = 3 \cdot n_{1} + 1 \cdot n_{2} + 2 \cdot n_{3} = 0$ " id="2358681 " role="math " style="max-width: none;"> $\vec{n} \circ \vec{a} = n_{1} \cdot 3 + n_{2} \cdot 1 + n_{3} \cdot 2 = 0$

Anhand dieser Rechnung erkennst Du, welche Zahlen für $n$ eingesetzt werden müssen, um den Normalenvektor $\vec{n}$ zu bestimmen.

Hier kannst Du verschiedene Zahlen für $n$ Einsetzen. Alle möglichen Normalenvektoren $\vec{n}$ sind parallel zueinander.

$\vec{a} \circ \vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} (- 1) \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 3 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = - 3 + 1 + 2 = - 3 + 3 = 0$ " id="2358791 " role="math " style="max-width: none;"> $\vec{n} \circ \vec{a} = (- 1) \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0$

Du rechnest also -1 mal 3 und bekommst den Wert -3 raus. Die Werte danach bleiben gleich. Addierst du -3 und 3 erhältst du 0.

In diesem Fall ist der Normalenvektor $\vec{n}$ " id="2543213 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> der Gerade $g : \vec{x}$ $\vec{n} = (\begin{matrix} (- 1) \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ . Es ist allerdings auch ein anderer Normalenvektor möglich, nämlich $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ (- 1) \\ (- 1) \end{matrix})$ . Das siehst Du an der Rechnung im nächsten Abschnitt.

$\vec{n} \circ \vec{a} = 1 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 = 0$

$\vec{a} \circ \vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ (- 1) \\ (- 1) \end{matrix}) = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot (- 1) = 3 + (- 1) + (- 2) = 3 + (- 3) = 0$ " id="2358825 " role="math " style="max-width: none;">

Auch hier rechnest Du das Gleiche wie vorhin, allerdings ist der Normalenvektor $\vec{n}$ " id="2543217 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> mit -1 multipliziert. Du multiplizierst also 3 mit 1, somit bleibt der Wert gleich. Die anderen beiden Werte multiplizierst Du mit -1 und addierst sie. Dann erhältst Du -3. Die Zahl 3 addiert mit -3 ist gleich 0.

Hier siehst Du eine Abbildung zu dem Normalenvektor $\vec{n}$ der Gerade $g : \vec{x}$ " id="2543086 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> .

Normalenvektor Rechter Winkel der Gerade g:x und der Normalenvektor n StudySmarter Abbildung 4: Rechter Winkel ger Gerade g:x und dem Normalenvektor n

Normalenvektor berechnen – Übungsaufgaben

Du hast nun das nötigste Wissen, um einen Normalenvektor zu berechnen. Jetzt kannst Du dein Wissen überprüfen

Zuerst erhältst Du eine Übung zum Berechnen eines Normalenvektors $\vec{n}$ einer Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform.

Aufgabe 6

Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ - 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ .

Lösung

Um den Normalenvektor $\vec{n}$ zu berechnen, musst Du das Kreuzprodukt der Spannvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ausrechnen.

$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \cdot 3 - (- 5) \cdot 2 \\ (- 5) \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 - 6 \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 - (- 10) \\ - 5 - 6 \\ 4 - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 28 \\ - 11 \\ - 2 \end{matrix})$

Somit hast Du den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{matrix} 28 \\ - 11 \\ - 2 \end{matrix})$ .

Danach kannst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ einer Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform beziehen.

Aufgabe 7

Benenne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $(\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix}) \circ [(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{matrix})] = 0$ in Normalenform.

Lösung

Der Normalenvektor $\vec{n}$ ist einfach abzulesen, in dem Du den Vektor vor der Klammer nimmst.

Der Normalenvektor ist in diesem Falle $\vec{n} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix})$ .

Als Nächstes bekommst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors $\vec{n}$ einer Ebene $E : \vec{x}$ in Koordinatenform.

Aufgabe 8

Benenne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $1 x_{1} + 6 x_{2} + 3 x_{3} = 5$ in Koordinatenform.

Lösung

Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E : \vec{x}$ ist in diesem Fall ebenfalls abzulesen, in dem Du die Zahlen vor der Variable x nimmst und sie in einen Vektor $\vec{n}$ " id="2543219 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> umwandelst.

Der Normalenvektor ist $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})$ .

Zuletzt kannst Du eine Aufgabe zum Berechnen eines Normalenvektors $\vec{n}$ einer Gerade $g : \vec{x}$ machen.

Aufgabe 9

Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ der Gerade $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ .

Lösung

Der Normalenvektor $\vec{n}$ muss, im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor $\vec{a}$ der Gerade $g : \vec{x}$ , gleich 0 sein.

$\vec{a} \circ \vec{n} = 0$

Danach multiplizierst Du das Skalarprodukt aus.

$\vec{a} \circ \vec{n} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) = 5 \cdot n_{1} + 2 \cdot n_{2} + 1 \cdot n_{3} = 0$

Jetzt siehst Du direkt, welche Zahlen Du für $n$ Einsetzen musst, um den Normalenvektor $\vec{n}$ zu bestimmen.

$\vec{a} \circ \vec{n} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ (- 2) \\ (- 1) \end{matrix}) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot (- 2) + 1 \cdot (- 1) = 5 + (- 4) + (- 1) = 5 + (- 5) = 0$

Wenn Du die Zahlen des Normalenvektors $\vec{n}$ mit dem Richtungsvektor $\vec{a}$ verrechnest, erhältst du das Produkt 0 .

Du müsstest jetzt den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ (- 2) \\ (- 1) \end{matrix})$ haben, oder einen, parallelen Vektor, wie $\vec{n} = (\begin{matrix} (- 1) \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

Normalenvektor - Das Wichtigste

Eine Ebene im Raum ist ein flaches Objekt, welches in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt wird.
Meistens wird sie in einer Parameterform dargestellt.
Eine Gerade in der analytischen Geometrie ist eine Gerade im Koordinatensystem, welche vorgegeben ist durch einen Richtungsvektor, welcher sich auf einem Stützvektor stützt.
Geradengleichung: $g : \vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$ " id="2322415 " role="math " style="max-width: none;">

$g : \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b}$

\vec{a}

= Stützvektor

$\vec{b}$ = Richtungsvektor

Der Normalenvektor $\vec{n}$ ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade $g : \vec{x}$ , Ebene $E : \vec{x}$ " id="2543150 " role="math " style="vertical-align: undefined;"> , beziehungsweise generell auf einem Objekt steht.
Ebenengleichung der Ebene $E : \vec{x}$ in Parameterform:

$E : \vec{x} = \vec{o} + r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

Einen Normalenvektor n→ aus einer Ebene E:x→ in Parameterform berechnet man, in dem man die beiden Spannvektoren a→ und b→ in das Kreuzprodukt einsetzt und ausmultipliziert.
- Kreuzprodukt: $\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} \\ x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \end{matrix}) = \vec{c}$ " id="2351873 " role="math " style="max-width: none;">

Ebenengleichung der Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform:

$\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{o}) = 0$

Den Normalenvektor $\vec{n}$ eine Ebene $E : \vec{x}$ in Normalenform findest Du heraus, wenn Du den Vektor $\vec{n} = (\begin{matrix} \begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix} \end{matrix})$ vor der Klammer abliest.

Ebenengleichung einer Ebene E:x→in Koordinatenform:
- Bei einer Ebene $E : \vec{x}$ in Koordinatenform wird der Normalenvektor $\vec{n}$ ebenfalls abgelesen. Dazu nimmt man die Zahlen, die vor der Variable x stehen und ordnet sie als einen Vektor $\vec{n} = (\begin{matrix} \begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix} \end{matrix})$ an.
Einen Normalenvektor $\vec{n}$ einer Gerade $g : \vec{x}$ wird bestimmt, in dem der Richtungsvektor $\vec{b}$ ins Skalarprodukt mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ verrechnet wird und als Ergebnis 0 rauskommt.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalenvektor

Was ist ein Normalenvektor ?

Der Normalenvektor n ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf einer Gerade, Ebene, bzw. generell auf einem Objekt steht.

Wie kommt man auf den Normalenvektor?

Auf den Normalenvektor n kommst auf verschiedene Arten:

Ist eine Ebene in Normalenform gegeben, kannst du den Normalenvektor einfach aus der Gleichung ablesen
Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du den Normalenvektor durch ablesen der Koeffizienten vor den Koordinaten zusammensetzen.
Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, berechnest du den Normalenvektor als Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren a und b.
Ist eine Gerade in Parameterform gegeben, berechnest du einen Normalenvektor, dessen Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor a Null ergibt.

Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene?

Den Normalenvektor n kannst du auf verschiedene Arten berechnen:

Ist eine Ebene in Normalenform gegeben, kannst du den Normalenvektor einfach aus der Gleichung ablesen
Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du den Normalenvektor durch ablesen der Koeffizienten vor den Koordinaten zusammensetzen.
Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, berechnest du den Normalenvektor als Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren a und b.

Was sagt der Normalenvektor aus?

Der Normalenvektor n sagt die orthogonale Richtung einer Ebene E oder einer Gerade g aus.

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Normalenvektor

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Ebenen und Geraden im Raum – Grundlagenwissen

Ebenen im Raum

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