Oberflächeninhalt Prisma

Betrachte dieses fünfseitige Prisma:

Abbildung 3: fünfseitiges Prisma

Werden die Seitenflächen nach außen geklappt, entsteht das Netz des Prismas:

Abbildung 4: Netz des fünfseitigen Prismas

Aufgabe

Gegeben ist ein gerades Prisma, das ein Dreieck als Grundfläche hat. Das Prismas ist $h=5cm$ hoch. Die Seitenlängen des Dreiecks sind $a=4cm$, $b=3cm$ und $c=5cm$. Die Höhe des Dreiecks zur Grundlinie c beträgt $h_c=2,4cm$.

Abbildung 8: Gerades Prisma mit dreieckiger Grundfläche

Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.

Lösung

Berechnen der Grund- und Deckfläche

Da Grund- und Deckfläche Dreiecke sind, wird die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks $A_{Dreieck}=\frac{1}{2}·g·h$ verwendet:

$\begin{array}{rcl}{A}_{Grundfläche}& =& \frac{1}{2}·g·h\\ & =& \frac{1}{2}·c·h_c\\ & =& \frac{1}{2}·5cm·2,4cm\\ & =& 12c{m}^2\end{array}$

Berechnen der Mantelfläche

Die Mantelfläche setzt sich aus drei Rechtecken zusammen und kann mit der Formel $A_{Mantel}=U_{Grundfläche}·h$ berechnet werden:

$\begin{array}{rcl}{A}_{Mantel}& =& U_{Grundfläche}·h_P\\ & =& (a+b+c)·h_P\\ & =& (4cm+3cm+5cm)·6cm\\ & =& 72c{m}^2\end{array}$

Oberflächeninhalt des Prismas

Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem Du die berechneten Werte entsprechend der Formel addierst:

$\begin{array}{rcl}{O}_{Prisma}& =& 2·A_{Grundfläche}+A_{Mantel}\\ & =& 2·12c{m}^2+72c{m}^2\\ & =& 96c{m}^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt $O_{Prisma}=96c{m}^2$.

Aufgabe

Gegeben ist ein vierseitiges gerades Prisma. Gegeben sind die Seiten des Trapezes mit $a=5cm$, $b=3cm$, $c=2,2cm$ und $d=2,7cm$. Die Höhe des Trapezes ist $h_{Trapez}=2cm$.

Die Höhe des Prismas ist $h=9cm$.

Abbildung 9: Vierseitiges gerades Prisma

Berechne den Oberflächeninhalt des trapezförmigen Prismas.

Lösung

Berechnen der Grund- und Deckfläche

Da Grund- und Deckfläche Trapeze sind, wird für die Berechnung die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes $A_{Trapez}=\frac{(a+c)}{2}·h_{Trapez}$ verwendet:

$\begin{array}{rcl}{A}_{Grudnfläche}& =& \frac{(a+c)}{2}·h_{Trapez}\\ & =& \frac{7,2cm}{2}·2cm\\ & =& 7,2c{m}^2\end{array}$

Berechnen der Mantelfläche

Die Mantelfläche dieses geraden Prismas setzt sich aus vier Rechtecken zusammen und kann mit der Formel $A_{Mantel}=U_{Grundfläche}·h$ berechnet werden:

$$\begin{gathered} A_{Mantel}=U_{Grundfläche}·h \\ =(a+b+c+d)·h \\ =(5cm+3cm+2,2cm+2,7cm)·9cm \\ =12,9cm·9cm \\ =116,1c{m}^2 \end{gathered}$$

Oberflächeninhalt des Prismas

Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem Du die berechneten Werte entsprechend der Formel addierst:

$\begin{array}{rcl}{O}_{Prisma}& =& 2·A_{Grundfläche}+A_{Mantel}\\ & =& 2·7,2c{m}^2+116,1c{m}^2\\ & =& 14,4c{m}^2+116,1c{m}^2\\ & =& 130,5c{m}^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt $\begin{array}{rcl}{O}_{Prisma}& =& 130,5c{m}^2\end{array}$.

Aufgabe

Gegeben ist ein sechsseitiges reguläres Prisma. Die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks beträgt $a=2cm$. Die Höhe des Prismas ist $h=10cm$.

Abbildung 10: sechsseitiges reguläres Prisma

Berechne den Oberflächeninhalt dieses regulären, sechsseitigen Prismas.

Lösung

Berechnen der Grund- und Deckfläche

Um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks zu berechnen, gibt es eine Formel. Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks berechnet sich durch:

$\begin{array}{rcl}{A}_{Sechseck}& =& \frac{3·\sqrt{3}}{2}·a^2\\ & =& \frac{3·\sqrt{3}}{2}·{(2cm)}^2=6\sqrt{3}\approx 10,4c{m}^2\end{array}$

Berechnen der Mantelfläche

Da die Grundfläche dieses geraden Prismas ein regelmäßiges Sechseck ist, setzt sich die Mantelfläche aus sechs Rechtecken zusammen, die alle den gleichen Flächeninhalt besitzen:

$$\begin{gathered} A_{Mantel}=U_{Grundfläche}·h \\ =(6·a)·h \\ =(6·2cm)·10cm \\ =120c{m}^2 \end{gathered}$$

Oberflächeninhalt des Prismas

Du erhältst den Oberflächeninhalt des Prismas, indem Du das doppelte der Grundfläche mit der Mantelfläche addierst:

$\begin{array}{rcl}{O}_{Prisma}& =& 2·A_{Grundfläche}+A_{Mantel}\\ & =& 2·A_{Grundfläche}+U_{Grundfläche}·h_P\\ & =& 2·20,4c{m}^2+120c{m}^2\\ & =& 160,8c{m}^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt $\begin{array}{rcl}{O}_{Prisma}& =& 160,8c{m}^2\end{array}$.