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Ortskurve, Ortslinie, geometrischer Ort … all diese Begriffe hast Du vielleicht schon einmal gehört. Dabei haben Ortskurven nichts mit einem Ort zu tun, den Du auf einer Karte finden kannst. Sie beschreiben eine bestimmte Menge von Punkten in der Mathematik. Doch bevor Du lernen kannst, was für Punkte das genau sind, kannst Du Dir hier noch mal ein paar Grundlagen ansehen, die für das Thema wichtig sind.
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Team Ortskurve Lehrer
Ortskurven sind sowohl in der Geometrie als auch in der Analysis ein wichtiger Begriff. Deshalb werden hier Grundlagen aus beiden Bereichen, die für den Begriff der Ortskurve bedeutsam sind, kurz wiederholt.
Ein geometrischer Ort ist eine Teilmenge der Ebene oder des Raums, die gewisse Bedingungen erfüllt. Die Ebene beziehungsweise der Raum besteht aus mathematischer Sicht einfach aus ganz vielen Punkten.
Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine bestimmte geometrische Eigenschaft erfüllen.
Eine Eigenschaft kann dabei etwa sein, dass ein geometrischer Ort einen bestimmten Abstand zu etwas hat.
Neben dem Bereich der Geometrie tritt der Begriff Ortskurve auch in der Analysis auf, nämlich bei den Funktionsscharen. Eine Funktionsschar ist eine Funktion, die zusätzlich zur Funktionsvariablen (meist ist das x) noch einen weiteren Parameter enthält.
Ein Funktionsterm, der zusätzlich zur Funktionsvariablen noch mindestens einen weiteren Parameter (z. B. k) enthält, definiert mehrere Funktionen gleichzeitig. Die Menge dieser Funktionen wird als Funktionsschar, Kurvenschar oder Funktionenschar bezeichnet.
Alles Wichtige zu Funktionsscharen findest Du in der Erklärung Funktionsschar.
Was genau eine Ortskurve ist und welche Ortskurven oder Ortslinien es gibt, erfährst Du in diesem Kapitel.
Du weißt nun wieder, was ein geometrischer Ort ist. Eine Ortskurve ist eine spezielle Form des geometrischen Orts.
Wenn alle Punkte, die auf einer Kurve liegen, eine bestimmte Bedingung erfüllen, die alle anderen Punkte nicht erfüllen, so heißt die Kurve Ortskurve dieser Punkte. Sie wird oft auch Ortslinie genannt.
Wenn die Punkte eine Fläche bilden, wird der geometrische Ort Ortsbereich genannt.
Ortskurven können dabei verschiedene Formen haben. Ein paar wichtige Beispiele lernst Du in den folgenden Unterkapiteln kennen.
Ein geometrischer Ort kann zum Beispiel auch aus nur einem Punkt bestehen, während eine Ortskurve aus unendlich vielen Punkten besteht, die auf einer Linie liegen.
Die Kreislinie bildet eine Ortslinie bzw. Ortskurve. Doch welche Bedingung erfüllt die Kreislinie?
Die Kreislinie ist die Ortskurve aller Punkte, die von einem Punkt die gleiche Entfernung haben.
In der Mathematik wird es so ausgedrückt: .
Ist also ein Punkt M gegeben, so ist der Kreis k um den Mittelpunkt M mit Radius r die Ortskurve von M. Der Kreis besteht demnach aus allen Punkten P, bei denen die Strecke die Länge r besitzt.
Abbildung 1: Ortskurve Kreislinie
Zusätzlich zu der Kreislinie gibt es noch andere wichtige geometrische Ortskurven bzw. Ortslinien.
Das Parallelenpaar bildet die Ortskurve der Punkte, die den gleichen Abstand
zu einer Geraden m haben.
Abbildung 2: Ortskurve Parallelenpaar
Die Mittelsenkrechte m zur Strecke ist die Ortskurve aller Punkte, die von zwei Punkten A und B die gleiche Entfernung haben.
Abbildung 3: Ortskurve Mittelsenkrechte
Die Winkelhalbierende w bildet die Ortskurve aller Punkte, die von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand haben.
Abbildung 6: Ortskurve Winkelhalbierende
Die Mittelparallele m zweier paralleler Geraden g und h ist die Ortskurve aller Punkte, die denselben Abstand zu den beiden Geraden haben.
Abbildung 5: Ortskurve Mittelparallele
Außerdem ist die Mittelparallele m die Ortskurve aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallelen Geraden g und h berühren, sie aber nicht schneiden.
Abbildung 6: Ortskurve Mittelparallele
Alle diese Ortskurven besitzen eigene Erklärungen, die Du Dir ansehen kannst. Schau dazu unter den Erklärungen Parallelenpaar, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Mittelparallele.
Ja, es heißt tatsächlich „geometrische Örter“ im Plural. Doch welche davon sind keine Ortskurven?
Es gibt einige geometrische Örter, die keine Ortskurven sind. Ein paar davon lernst Du hier in Kurzform kennen.
Abbildung 7: Inkreis Dreieck
Abbildung 8: Umkreis Dreieck
Sieh Dir zum letzten Punkt gerne die Erklärung Parallelenpaar an.
Du kannst in der Analysis die Ortskurve von bestimmten Punkten einer Funktionsschar bestimmen. Diese Punkte können z. B. Extrempunkte, Scheitelpunkte, Wendepunkte oder Ähnliches sein. Dabei sollst Du meist eine Funktionsgleichung angeben. Wie das geht, erfährst Du hier.
Wie Du die Funktionsgleichung für eine Ortskurve einer gegebenen Funktionenschar aufstellst, erfährst Du in folgender Schritt-für-Schritt-Anleitung.
Gegeben ist also eine Funktionenschar in Abhängigkeit von einem Parameter. Dieser heißt hier k.
Damit Du Dir besser vorstellen kannst, wie das Ganze konkret funktioniert, findest Du nachfolgend ein Beispiel dazu.
Anhand der Ortskurve der Extrempunkte einer bestimmten Funktionenschar wird hier das Vorgehen am Beispiel erläutert.
Gesucht ist die Ortskurve der Extrempunkte der folgenden Funktionenschar:
.
In folgender Tabelle kannst Du das Vorgehen anhand des Beispiels verfolgen.
| Vorgehen | Beispiel |
| 1. Die gesuchten Punkte in Abhängigkeit vom Parameter k bestimmen. | Die Extrempunkte der Funktionenschar befinden sich in den Punkten . |
| 2. Mit den Koordinaten zwei Gleichungen für x und y aufstellen. | Du setzt jetzt |
| 3. Erste Gleichung nach k auflösen und diese in die zweite Gleichung für k einsetzen. | Du erhältst zunächst die Gleichungund setzt diese für k in y ein:. |
| 4. Die Gleichung gegebenenfalls vereinfachen. | Vereinfacht erhältst Du folgende Funktionsgleichung für die Ortskurve: |
Wie oben schon erwähnt, kannst Du die Ortskurve auch für Wendepunkte, Scheitelpunkte und ähnliche Punkte einer Funktionenschar bestimmen. Dies funktioniert exakt wie in der Tabelle beschrieben, nur dass Du in Punkt 1. entsprechend die gesuchten Punkte (z. B. die Wendepunkte) berechnest.
Ein weiteres Beispiel dazu findest Du in der Aufgabe 3. Dort kannst Du ausprobieren, ob Du das Prinzip verstanden hast und Dir dann die Lösungen dazu ansehen.
In manchen Aufgaben sollst Du Ortskurven zeichnen. Die Anleitungen für die Konstruktionen der hier genannten Ortskurven bzw. Ortslinien findest Du unter folgenden Erklärungen:
In Kurvendiskussionen von Funktionenscharen kann es ebenfalls vorkommen, dass Du die Ortskurve zeichnen sollst. Wenn Du eine Funktionsgleichung als Ortskurve gegeben oder berechnet hast, kannst Du in der Erklärung Graphen zeichnen nachsehen, wie Du diese Funktion einzeichnest. Nachfolgend findest Du die Ortskurve des obigen Beispiels.
Die Ortskurve der Extrempunkte der Funktionenschar
hat den Funktionsterm
.
Auf der folgenden Abbildung siehst Du beispielhaft drei Kurven der Funktionenschar (k=2, k=0, k=-3) sowie die Ortskurve der Extrempunkte eingezeichnet. Die Extrempunkte der jeweiligen Funktionenscharen liegen auf der Ortskurve.
Abbildung 9: Ortskurve der Extrema der Funktionenschar
Hier findest Du nun Aufgaben zum Zeichnen und Berechnen von Ortskurven, mit denen Du üben kannst.
Aufgabe 1
Zeichne zwei beliebige Punkte A und B in Dein Heft. Konstruiere die Ortskurve aller Punkte, die den gleichen Abstand zu beiden Punkten haben.
Lösung
Für die Konstruktion dieser Ortskurve konstruierst Du die Mittelsenkrechte m zur Strecke . Das könnte ungefähr so aussehen:
Abbildung 10: Lösung Aufgabe 1
Aufgabe 2
Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte für die Funktionenschar .
Lösung
Am besten gehst Du hier wie oben in der Tabelle vor.
Schritt 1
Zunächst bestimmst Du die Wendepunkte der Funktionenschar. Wie das allgemein geht, erfährst Du in der Erklärung Wendepunkt berechnen.
Zuerst werden dazu die erste bis dritte Ableitung bestimmt:
Dann wird das notwendige Kriterium geprüft:
Hier ergibt sich die Lösung .
Als Nächstes überprüfst Du die hinreichende Bedingung:
Das bedeutet, dass an der Stelle die Wendepunkte der Funktionenschar liegen.
Du setzt diesen Wert dann für x in ein und erhältst
.
Deine Wendepunkte sind also .
Schritt 2
Nun bildest Du die beiden Gleichungen
.
Schritt 3
Dann stellst Du die erste Gleichung nach k um und setzt diese in y ein:
Schritt 4
Am Ende vereinfachst Du die Gleichung noch zu
Das ist dann die fertige Funktionsgleichung zur Ortskurve aller Wendepunkte der Funktionenschar.
Aufgabe 3
Zeichne ein beliebiges Dreieck. Konstruiere einen Kreis, der alle drei Seiten berührt.
Lösung
Dieser Kreis bildet den Inkreis des Dreiecks. Der Mittelpunkt M des Kreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Zuerst zeichnest Du also die Winkelhalbierenden ein, dann fällst Du ein Lot auf eine der Seiten zum Mittelpunkt M. Die Länge des Lots ist dann Dein Radius, mit dem Du den Kreis um M zeichnen kannst. Das kann dann wie folgt aussehen:
Abbildung 11: Lösung Aufgabe 3
zu einer Geraden haben.
Die Mittelsenkrechte ist die Ortskurve aller Punkte, die von zwei Punkten die gleiche Entfernung haben.
Die Winkelhalbierende bildet die Ortskurve aller Punkte, die von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand haben.
Die Mittelparallele zweier paralleler Geraden ist die Ortskurve aller Punkte, die denselben Abstand zu den beiden Geraden haben. Zudem ist die Mittelparallele die Menge aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallele Gerade berühren, sie aber nicht schneiden.
Eine Ortskurve zu gegebener Funktionenschar berechnest Du wie folgt:
Gesuchte Punkte in Abhängigkeit von k bestimmen.
Zwei Gleichungen aufstellen, bei denen x gleich der x-Koordinate und y gleich der y-Koordinate der Punkte gesetzt wird.
Erste Gleichung nach k auflösen und in zweite Gleichung einsetzen.
Gleichung ggf. vereinfachen.
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Was ist eine Ortskurve in der Mathematik?
Eine Ortskurve ist eine Menge von Punkten, die auf einer Kurve liegen und eine bestimmte Bedingung erfüllen. Sie wird dabei auch oft Ortslinie genannt.
Was bringt die Ortskurve?
Die Ortskurve kann Dir Auskunft darüber geben, wo alle Extrempunkte, Wendepunkte, Scheitelpunkte etc. einer Funktionsschar liegen.
Welche Ortskurven gibt es?
Es gibt viele verschiedene Ortskurven. Die bekanntesten Ortskurven sind dabei die Ortskurven von bestimmten Punkten (Extrema, Wendepunkte etc.) einer Funktionsschar sowie die Kreislinie, das Parallelenpaar, die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende und die Mittelparallele.
Wie macht man eine Ortskurve?
Die Ortskurve bestimmter Punkte einer Funktionsschar kannst Du wie folgt aufstellen:
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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