Pyramidenstumpf

Aufgabe 1

Berechne die Mantelfläche des folgenden Pyramidenstumpfs:

Abbildung 4: Berechnung Mantelfläche

Lösung

1. Schritt:

Setzte als Erstes Deine gegebenen Werte in die Formel ein. Die Kantenlänge der Grundfläche misst 4 cm, die Kantenlänge der Schnittfläche 2 cm und die Länge der Höhe entspricht 5 cm.

Somit erhältst Du für die Formel:

$A_M=2·\left(4cm+2cm\right)·5cm$

2. Schritt:

Jetzt kannst Du den Wert Deines Terms berechnen:

$\begin{array}{rcl}{A}_M& =& 2·\left(4cm+2cm\right)·5cm\\ & =& 2·6cm·5cm\\ & =& 12cm·5cm\\ & =& 60c{m}^2\end{array}$

Der Pyramidenstumpf hat eine Mantelfläche von $60c{m}^2$.

Aufgabe 2

Berechne die Oberfläche des gleichen Pyramidenstumpfes aus Aufgabe 1:

Abbildung 5: Berechnung Oberfläche

Lösung

1. Schritt:

Setzte als Erstes wieder die Werte in die gegebene Formel ein:

$\begin{array}{rcl}{O}_{Pyramidenstumpf}& =& a^2+b^2+2·(a+b)·h_m\\ & =& {(4cm)}^2+{(2cm)}^2+2·\left(4cm+2cm\right)·5cm\end{array}$

2. Schritt:

Berechne aus diesem Term jetzt den Flächeninhalt.

$\begin{array}{rcl}{O}_{Pyramidenstumpf}& =& {(4cm)}^2+{(2cm)}^2+2·\left(4cm+2cm\right)·5cm\\ & =& {(4cm)}^2+{(2cm)}^2+60c{m}^2\\ & =& 16c{m}^2+4c{m}^2+60c{m}^2\\ & =& 80c{m}^2\end{array}$

Die Oberfläche des Pyramidenstumpfes beträgt also $80c{m}^2$.

Aufgabe 3

Berechne das Volumen von folgendem Pyramidenstumpf:

Abbildung 6: Volumenberechnung Pyramidenstumpf

Lösung:

1. Schritt:

Im ersten Schritt setzt Du Deine gegebenen Werte in die Formel ein:

$\begin{array}{rcl}{V}_{Pyramidenstumpf}& =& \frac{h}{3}·\left(a^2+a·b+b^2\right)\\ & =& \frac{4cm}{3}·\left({(4cm)}^2+4cm·2cm+{(2cm)}^2\right)\end{array}$

2. Schritt:

Jetzt brauchst Du nur noch den Term auszurechnen:

$\begin{array}{rcl}{V}_{Pyramidenstumpf}& =& \frac{4cm}{3}·\left({(4cm)}^2+4cm·2cm+{(2cm)}^2\right)\\ & =& \frac{4}{3}cm·(16c{m}^2+8c{m}^2+4c{m}^2)\\ & =& \frac{4}{3}cm·28c{m}^2\\ & \approx & 37,3c{m}^3\end{array}$

Das Volumen des Pyramidenstumpfes entspricht also $37,3c{m}^3$.

Aufgabe 4

Berechne die Höhe der Mantelfläche $h_m$ des folgenden Pyramidenstumpfes, der eine Mantelfläche von $152{cm}^2$:

Abbildung 8: Berechnung Mantelfläche

Lösung

1. Schritt:

Wähle als Erstes die richtige Formel aus. In diesem Fall suchst Du die Höhe $h_m$ und hast die Mantelfläche gegeben, Du kannst also die umgestellte Formel zur Berechnung der Mantelfläche verwenden:

$$\begin{array}{rl}{A}_M& =2\cdot (a+b)\cdot h_m\\ \Rightarrow h_m& =\frac{A_M}{2\cdot (a+b)}\end{array}$$

2. Schritt:

Setze als Nächstes Deine gegebenen Werte in Deine Formel ein:

$$\begin{array}{rl}152{\text{ cm}}^2& =2\cdot (\text{6 cm}+\text{3,5 cm})\cdot h_m\\ \Rightarrow h_m& =\frac{152{\text{ cm}}^2}{2\cdot (\text{6 cm}+\text{3,5 cm})}\end{array}$$

3. Schritt:

Jetzt fehlt Dir nur noch den Term zu berechnen:

$$\begin{array}{rl}{h}_m& =\frac{152{\text{ cm}}^2}{2\cdot (\text{6 cm}+\text{3,5 cm})}\\ & =\frac{152{\text{ cm}}^2}{2\cdot \text{9,5 cm}}\\ & =\frac{152{\text{ cm}}^2}{\text{19 cm}}\\ & =\text{8 cm}\end{array}$$

Und so ergibt sich für die Höhe der Mantelfläche $h_m=\text{8 cm}$.

Aufgabe 5

Berechne den Winkel $\gamma$ des folgenden Pyramidenstumpfes:

Abbildung 10: Winkelberechnung Pyramidenstumpf

Lösung

1. Schritt:

Wähle als Erstes die richtige Formel aus. Es handelt sich hier um den Winkel, der zwischen der Seitenkante und der kannte der Grundfläche aufgespannt wird. Für diesen Winkel gilt die Formel:

$$\begin{array}{rl}\sin \gamma & =\frac{\sin {90}^{\circ }}{s}\cdot h_m=\frac{h_m}{s}\end{array}$$

2. Schritt:

Setze jetzt Deine gegebenen Werte ein. Da die untere und obere Seite des Pyramidenstumpfes immer parallel sind, ist auch die Höhe $h_m$ an jeder Stelle gleich lang, deshalb gilt:

$$\begin{array}{rl}\sin \gamma & =\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}}\end{array}$$

3. Schritt:

Berechne nun Deinen Term:

$$\begin{array}{rl}\sin \gamma & =\frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}}\\ \gamma & =\arcsin \frac{\text{4 cm}}{\text{5 cm}}\\ \gamma & =\arcsin \frac{\text{4}}{\text{5}}\\ \gamma & ={53,13}^{\circ }\end{array}$$

Du erhältst somit für den gesuchten Winkel das Ergebnis: $\gamma ={53,13}^{\circ }$

Aufgabe 6

Für den folgenden Pyramidenstumpf sind die Werten $a=\text{6 cm, }b=\text{4 cm und }{h}_m=\text{2,2 cm}$ gegeben. Berechne die Mantelfläche des Pyramidenstumpfes.

Abbildung 11: Mantelfläche Pyramidenstumpf

Lösung

1. Schritt:

Setzte zunächst die Werte in die Formel der Mantelfläche ein:

$$\begin{array}{rl}{A}_m& =2\cdot (a+b)\cdot h_m\\ & =2\cdot (\text{6 cm}+\text{4 cm})\cdot \text{2,2 cm}\end{array}$$

2. Schritt:

Jetzt musst Du diesen Term nur noch ausrechnen:

$$\begin{array}{rl}{A}_m& =2\cdot \text{10 cm}\cdot \text{2,2 cm}\\ & =\text{20 cm}\cdot \text{2,2 cm}\\ & =44{\text{ cm}}^2\end{array}$$

Die Mantelfäche ergibt also $44{\text{ cm}}^2$.

Aufgabe 7

Für den folgenden Pyramidenstumpf sind die Werten $a=\text{6 cm, }b=\text{4 cm und }h=\text{2 cm}$ gegeben. Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Abbildung 12: Volumen Pyramidenstumpf

Lösung

1. Schritt:

Setzte wieder Deine gegebenen Werte in die Formel der Volumenberechnung ein:

$$\begin{array}{rl}{V}_{Pyramidenstumpf}& =\frac{h}{3}\cdot (a^2+a\cdot b+b^2)\\ & =\frac{2\text{ cm}}{3}\cdot ((6{\text{ cm})}^2+6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}+(4\text{ cm}{)}^2\end{array}$$

2. Schritt:

Jetzt brauchst Du nur noch das Ergebnis des Terms zu berechnen:

$$\begin{array}{rl}{V}_{Pyramidenstumpf}& =\frac{2\text{ cm}}{3}\cdot ((6{\text{ cm})}^2+6\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}+(4\text{ cm}{)}^2\\ & =\frac{2\text{ cm}}{3}\cdot (36{\text{ cm}}^2+24{\text{ cm}}^2+16{\text{ cm}}^2)\\ & =\frac{2\text{ cm}}{3}\cdot 76{\text{ cm}}^2\\ & \approx 50,67{\text{ cm}}^3\end{array}$$

Der Pyramidenstumpf hat demnach ein Volumen von $50,67{\text{ cm}}^3$.