Raute

Raute – Definition & Eigenschaften

Eine Raute ist eine spannende geometrische Figur aus der Familie der Vierecke. Damit Du eine Raute richtig verstehst, sind hier ihre wichtigsten Eigenschaften:

Um eine Raute geometrisch korrekt darzustellen, solltest Du Dich an ein bestimmtes Grundprinzip bei der Beschriftung halten. Denk daran, dass die Seiten mit gleichen Buchstaben und die Winkel mit gleichen griechischen Buchstaben beschriftet werden.

Raute – Beschriftung

Um die Raute richtig zu beschriften, solltest Du folgendes Schema beachten:

• Seitenbeschriftung: Verwende Kleinbuchstaben, und da alle vier Seiten gleich lang sind, beschrifte jede Seite mit "a".
• Eckpunkte: Beschrifte die Eckpunkte im Gegenuhrzeigersinn mit Großbuchstaben – A, B, C, D.
• Diagonalen: Zeichne gestrichelte Linien für die Diagonalen und beschrifte sie mit "e" und "f".
• Winkel: Verwende griechische Buchstaben zur Beschriftung der Winkel. Die gegenüberliegenden Winkel sind jeweils gleich groß, daher beschrifte die Winkel mit $\alpha$ und $\beta$.

Abb. 2 - Beschriftung einer Raute.

Raute – Seitenlängen, Winkel, Symmetrie

Im Folgenden werden einige Eigenschaften der Raute noch etwas genauer beleuchtet.

Alle Seiten der Raute sind gleich lang. Zudem sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.
Die Winkelinnensumme der Raute beträgt ${360}^{\circ }$. Die gegenüberliegenden Winkel sind jeweils gleich groß, benachbarte Winkel ergeben zusammen ${180}^{\circ }$. $$\to \alpha +\beta ={180}^{\circ }$$
Die Raute als geometrische Figur ist sowohl punktsymmetrisch als auch achsensymmetrisch. Jede Raute hat zwei Symmetrieachsen, welche hier in türkis dargestellt werden. Dabei handelt es sich um die Diagonalen e und f, die sich im Mittelpunkt M der Figur schneiden. Neben der Achsensymmetrie ist jedes Quadrat auch punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M.

Raute zeichnen

Du kannst eine Raute auf verschiedene Weisen zeichnen. Die Art und Weise des Zeichnens sind immer davon abhängig, welche Längen Du von der zu zeichnenden Raute kennst. Im nachfolgenden Beispiel findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Zeichnen einer Raute, wenn Du nur die Seitenlängen a vorgegeben hast.

Raute – Berechnungen und Formeln

Umfang berechnen

Bei einer Raute haben alle vier Seiten die gleiche Länge, sodass Du nur eine Seitenlänge benötigst, um den gesamten Umfang zu berechnen.

Möchtest Du nun den Umfang einer Raute berechnen, benötigst Du also nur die Länge einer einzigen Seite.

Flächeninhalt berechnen

Formel mit Diagonalen

Anders als beim Umfang benötigst Du für die Berechnung des Flächeninhaltes nicht unbedingt eine Seitenlänge.

Den Umfang Deines Gartens kennst Du nun bereits, wie sieht es mit der Fläche aus?

Formel mit Grundseite und Höhe

Da die gegenüberliegenden Seiten bei jeder Raute jeweils parallel zueinander sind, ist jede Raute auch immer gleichzeitig ein Parallelogramm.

Dies bedeutet folglich, dass die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms ebenso für den Flächeninhalt einer Raute gilt.

Die Höhe h_a steht dabei immer senkrecht zu den Seitenlängen a.

Abb. 4 - Raute mit eingezeichneter Höhe.

Wie ändert sich Deine vorige Rechnung für den Flächeninhalt des Gartens also, wenn Du anstatt der Diagonalen die Höhe und Seitenlänge der Raute kennst?

Diagonalen berechnen

Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und teilen die Raute in vier gleich große, rechtwinklige Teildreiecke.

Abb. 5 - Aufteilung der Raute in vier gleiche, rechtwinklige Dreiecke durch die Diagonalen.

Daraus lassen nun verschiedene Formeln zur Berechnung der einzelnen Längen der Diagonalen ableiten.

Formel mit Winkel

Wenn Dir die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sowie die Seitenlängen a von einer Raute bekannt sind, kannst Du damit die Länge der Diagonalen e und f berechnen.

Achte bei den Formeln genau darauf, wo die einzelnen Diagonalen und Winkel in der Raute liegen. Die Diagonale e muss hier den Winkel $\alpha$ schneiden, damit die oben genannten Formeln in der Form gelten.

Abb. 6 - Lage der Diagonalen in Bezug zu den Winkeln.

Formel mit der anderen Diagonalen

Wenn Du schon die Länge einer Diagonalen kennst, kannst Du damit auch die Länge der anderen Diagonalen berechnen.

Versuche nun die Länge der anderen Diagonalen aus Aufgabe 2 zu berechnen.