Satzgruppe des Pythagoras

Die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 cm lang. Die Höhe des Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte mit den Längen 4 und 6 cm.

Abbildung 5: Skizze des Dreiecks

Mit dem Kathetensatz kannst Du nun für dieses rechtwinklige Dreieck die Seitenlängen der Katheten berechnen.

Es ist

\begin{align} a^2 &= c\cdot p \\ b^2&=c\cdot q\end{align}

In die Formeln kannst Du jetzt Werte einsetzen und die Wurzel ziehen.\begin{align}a^2&=10\, cm\cdot 6\, cm\\ &\Rightarrow a= \sqrt{10\, cm\cdot 6\, cm} = 7{,}75\,cm\\b^2&=10\, cm\cdot 4\, cm\\ &\Rightarrow a= \sqrt{10\, cm\cdot 4\, cm} = 6{,}32\, cm\end{align}

Eine 3 Meter lange Leiter wird mit einer Entfernung auf dem Boden von einem Meter an eine Wand gestellt.

Abbildung 6: Skizze der Leiter

Mit dem Satz den Pythagoras kannst Du ausrechnen, wie hoch die Leiter an der Wand reicht.

Zwischen Boden und Wand ist ein rechter Winkel. Leiter, Bodenabschnitt und Wandabschnitt bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck. Die 3 Meter der Leiter sind die Länge der Hypotenuse. Der 1 Meter am Boden ist die Länge einer Kathete. Du kannst den Satz des Pythagoras umstellen und die Länge der zweiten Kathete berechnen.\begin{align} a^2+b^2 &= c^2\\\Rightarrow\quad b^2 &= c^2-a^2\\\Rightarrow \quad b &= \sqrt{c^2-a^2}\\b&=\sqrt{(3\,m)^2-(1\,m)^2}=2{,}83\, m\end{align}

Wenn eine 3 Meter lange Leiter in einem Abstand von 1 Meter an die Wand gelehnt wird, reicht sie 2,83 m hoch.

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Mit dem Satz des Pythagoras kannst Du nun überprüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(a^2+b^2=c^2\) gilt.

Es ist\begin{align} a^2+b^2&=3^2+4^2=9+16=25\\c^2&=5^2=25\end{align}

Der Satz des Pythagoras gilt in diesem Dreieck. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Aufgabe 1

Gegeben ist das Dreieck ABC mit c = 8 cm, p = 5 cm wie in Abbildung 7.

Berechne die fehlenden Längen a, b, h, q.

Abbildung 7: Skizze zu Aufgabe 1

Lösung

Als Erstes bietet es sich an, die Seitenlänge der Kathete a mit dem Kathetensatz zu berechnen.

Es ist:\begin{align} a&= \sqrt{c\cdot p}\\&=\sqrt{8\, cm\cdot 5\, cm}\\&=6{,}32\,cm\end{align}

Jetzt kennst Du die Seitenlängen a und c. Du kannst mit dem Satz des Pythagoras die Seitenlänge b berechnen.\begin{align}a^2+b^2&=c^2\\\Rightarrow b^2 &= c^2 - a^2\\\Rightarrow b&=\sqrt{c^2-a^2}\\b&=\sqrt{(8\,cm)^2-(6{,}32\,cm)^2}\\b&=4{,}9\,cm\end{align}

Die Länge q kannst Du berechnen mit\begin{align}p+q &= c\\\Rightarrow q&=c-p\\q&= 8\, cm - 5\, cm \\&=3\, cm\end{align}

Es fehlt nur noch die Höhe h. Dazu verwendest Du den Höhensatz.\begin{align}h^2 = p\cdot q\\h&=\sqrt{p\cdot q}\\h&=\sqrt{5\,cm\cdot 3\, cm}\\h&=3{,}82\,cm\end{align}

Die Reihenfolge, in der Du die fehlenden Seitenlängen bestimmst, ist nicht vorgegeben. Auch gibt es manchmal mehrere Rechenmöglichkeiten. So könntest Du zum Beispiel auch zuerst q berechnen und dann mit dem Kathetensatz die Kathete b.

Aufgabe 2

Auf einem Schiff steht ein Mast. Vom Deck des Schiffes sind zwei Seile gespannt, die sich am Mast in einem rechten Winkel treffen. Der Abstand am Boden des einen Seilendes zum Mast beträgt 3 Meter, der des anderen Seilendes ist 5 Meter (siehe Abbildung 8).

Abbildung 8: Skizze des Schiffes aus Aufgabe 2

Berechne die Höhe des Mastes.

Lösung

Der Boden des Schiffes und die beiden Seile bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der Mast entspricht der Höhe des Dreiecks. Du kennst die beiden Abschnitte der Hypotenuse. Deswegen kannst Du den Höhensatz anwenden, um die Höhe des Mastes zu berechnen. \begin{align}h^2&=p\cdot q \\ h&= \sqrt{5\,m\cdot 3\, m}\\h&= 3{,}87\,cm\end{align}

Der Mast ist 3,87 Zentimeter hoch.