Teilverhältnisse

Aufgabe 1

Eine Strecke $\overline{AB}$ hat den Anfangspunkt bei $A(1|4)$ und den Endpunkt bei $B(5|-3)$. Diese Strecke wird von einem Punkt $T(4|-1,25)$ geteilt. Berechne das Teilungsverhältnis und begründe anhand der Eigenschaften der Teilungsverhältnisse, wo $T$ auf der Strecke liegt.

Lösung

Schritt 1:

Stelle zuerst die Richtungsvektoren $\overrightarrow{AT}$ und $\overrightarrow{TB}$ auf.

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AT}& =\left(\begin{array}{c}4-1\\ -1,25-4\end{array}\right)\\ \overrightarrow{AT}& =\left(\begin{array}{c}3\\ -5,25\end{array}\right)\\ \\ \overrightarrow{TB}& =\left(\begin{array}{c}5-4\\ -3-(-1,25)\end{array}\right)\\ \overrightarrow{TB}& =\left(\begin{array}{c}1\\ -1,75\end{array}\right)\end{array}$$

Schritt 2:

Bestimme jetzt die beiden Streckenlängen $\overline{AT}$ und $\overline{TB}$. Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.

$$\begin{array}{rl}d(\overrightarrow{AT})& =\sqrt{3^2+(-5,25{)}^2}\\ d(\overrightarrow{AT})& =\sqrt{\mathrm{36,562}5}[LE]\approx \mathrm{6,047}[LE]\\ \\ d(\overrightarrow{TB})& =\sqrt{1^2+(-1,75{)}^2}\\ d(\overrightarrow{TB})& =\sqrt{\mathrm{4,062}5}[LE]\approx \mathrm{2,016}[LE]\end{array}$$

Schritt 3:

Jetzt setzt Du die beiden Strecken in ein Verhältnis.

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}\\ \lambda & =\frac{\mathrm{6,047}}{\mathrm{2,016}}\\ \lambda & =3\end{array}$$

Das Verhältnis der beiden Strecken liegt bei $3:1$. Damit liegt der Punkt $T$ näher an Punkt $B$ als an dem Punkt $A$.

Abb. 3 - Teilverhältnis berechnen.

Aufgabe 2

Beweise, dass der Schwerpunkt $S$ eines beliebigen Dreiecks $ABC$ die Seitenhalbierenden in dem Verhältnis $1:2$ teilt.

Abb. 4 - Skizze - vektorielle Beweise zu Teilverhältnissen.

Lösung

Der Skizze kannst Du folgende Voraussetzungen entnehmen.

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{t}& =\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\\ \overrightarrow{r}& =\frac{\overrightarrow{a}}{2}-\overrightarrow{b}\end{array}$$

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ sind linear unabhängig, also nicht parallel.

Nachdem die Voraussetzungen aufgestellt sind, kannst Du nun mithilfe dieser die Behauptung aufstellen.

$$S=\frac{2}{3}\overrightarrow{t}+\frac{1}{3}\overrightarrow{r}$$

Jetzt beginnst Du den Beweis. Dafür nimmst Du einen $x$ Teil des $\overrightarrow{t}$ Vektors plus einen $y$ Teil des $\overrightarrow{r}$ Vektors und kommst dann bei der Hälfte des $\overrightarrow{a}$ Vektors an.

$$x\cdot \overrightarrow{t}+y\cdot \overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a}}{2}$$

Nun ersetzt Du $\overrightarrow{t}$ und $\overrightarrow{r}$ und fasst danach so weit es geht zusammen.

$$\begin{array}{rl}x\cdot \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}+y\cdot (\frac{\overrightarrow{a}}{2}-\overrightarrow{b})& =\frac{\overrightarrow{a}}{2}\\ x\cdot \frac{\overrightarrow{a}}{2}+y\cdot \frac{\overrightarrow{a}}{2}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}+x\cdot \frac{\overrightarrow{b}}{2}-y\cdot \overrightarrow{b}& =\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{a}\cdot (\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{2})+\overrightarrow{b}\cdot (\frac{x}{2}-y)& =\overrightarrow{0}\end{array}$$

Um die Gleichung mit dem $\overrightarrow{0}$ zu erfüllen, müssen beide Klammerterme null werden. Also benötigst Du ein Gleichungssystem. Dieses löst Du und erhältst für $x$ und $y$ das Teilungsverhältnis.

$$\begin{array}{rlrlrl}\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{2}& =0& |& \cdot 2& |& +1\\ x+y& =1\\ \frac{x}{2}-y& =0& |& +y\\ y& =\frac{x}{2}\\ x+\frac{x}{2}& =1& |& \cdot 2& |& :3\\ x& =\frac{2}{3}\\ y& =\frac{1}{3}\end{array}$$

Du erhältst für $x=\frac{2}{3}$ und $y=\frac{1}{3}$. Damit wäre das Teilungsverhältnis der Behauptung bewiesen. Die Seitenhalbierenden werden in dem Verhältnis $1:2$ vom Schwerpunkt geteilt.

Aufgabe 3

Berechne das Teilverhältnis der Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $T(7|7)$. Die Strecke $\overline{AB}$ startet im Punkt $A(2|6)$ und endet im Punkt $B(12|8)$.

Lösung

Schritt 1:

Stelle zuerst die Richtungsvektoren $\overrightarrow{AT}$ und $\overrightarrow{TB}$ auf.

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AT}& =\left(\begin{array}{c}7-2\\ 7-6\end{array}\right)\\ \overrightarrow{AT}& =\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\\ \\ \overrightarrow{TB}& =\left(\begin{array}{c}12-7\\ 8-7\end{array}\right)\\ \overrightarrow{TB}& =\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

Schritt 2:

Bestimme jetzt die beiden Streckenlängen $\overline{AT}$ und $\overline{TB}$. Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.

$$\begin{array}{rl}d(\overrightarrow{AT})& =\sqrt{5^2+1^2}\\ d(\overrightarrow{AT})& =\sqrt{26}[LE]\approx \mathrm{5,099}[LE]\\ \\ d(\overrightarrow{TB})& =\sqrt{5^2+1^2}\\ d(\overrightarrow{TB})& =\sqrt{26}[LE]\approx \mathrm{5,099}[LE]\end{array}$$

Schritt 3:

Jetzt setzt Du die beiden Strecken in ein Verhältnis.

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}\\ \lambda & =\frac{\mathrm{5,099}}{\mathrm{5,099}}\\ \lambda & =1\end{array}$$

Das Verhältnis der beiden Strecken liegt bei $1:1$. Damit liegt der Punkt $T$ in der Mitte der Strecke $\overline{AB}$.

Aufgabe 4

Berechne das Doppelverhältnis der Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $T(4|6,8)$ und $S(14|2,8)$. Die Strecke $\overline{AB}$ startet im Punkt $A(10|-4)$ und endet im Punkt $B(16|2)$.

Lösung

Schritt 1:

Stelle zuerst die Richtungsvektoren $\overrightarrow{AT}$, $\overrightarrow{TB}$ und $\overrightarrow{AS}$, $\overrightarrow{SB}$ auf.

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AT}& =\left(\begin{array}{c}4-10\\ 6,8-(-4)\end{array}\right)\\ \overrightarrow{AT}& =\left(\begin{array}{c}-6\\ 10,8\end{array}\right)\\ \\ \overrightarrow{TB}& =\left(\begin{array}{c}16-4\\ 2-6,8\end{array}\right)\\ \overrightarrow{TB}& =\left(\begin{array}{c}12\\ -4,8\end{array}\right)\\ \\ \overrightarrow{AS}& =\left(\begin{array}{c}14-10\\ 2,8-(-4)\end{array}\right)\\ \overrightarrow{AS}& =\left(\begin{array}{c}4\\ 6,8\end{array}\right)\\ \\ \overrightarrow{SB}& =\left(\begin{array}{c}16-14\\ 2-2,8\end{array}\right)\\ \overrightarrow{SB}& =\left(\begin{array}{c}4\\ -0,8\end{array}\right)\end{array}$$

Schritt 2:

Bestimme jetzt die Streckenlängen $\overline{AT}$, $\overline{TB}$ und $\overline{AS}$, $\overline{SB}$. Dafür berechnest Du den Betrag der Richtungsvektoren aus Schritt 1.

$$\begin{array}{rl}d(\overrightarrow{AT})& =\sqrt{(-6{)}^2+10,8^2}\\ d(\overrightarrow{AT})& =\sqrt{152,64}[LE]\approx \mathrm{12,354}[LE]\\ \\ d(\overrightarrow{TB})& =\sqrt{{12}^2+(-4,8{)}^2}\\ d(\overrightarrow{TB})& =\sqrt{167,04}[LE]\approx \mathrm{12,924}[LE]\\ \\ d(\overrightarrow{AS})& =\sqrt{4^2+6,8^2}\\ d(\overrightarrow{AS})& =\sqrt{62,24}[LE]\approx \mathrm{7,889}[LE]\\ \\ d(\overrightarrow{SB})& =\sqrt{4^2+(-0,8{)}^2}\\ d(\overrightarrow{SB})& =\sqrt{16,64}[LE]\approx \mathrm{4,079}[LE]\end{array}$$

Schritt 3:

Jetzt setzt Du die Strecken in die Formel des Doppelverhältnisses ein.

$$\begin{array}{rl}\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}& :\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}}\\ \\ \frac{\mathrm{12,354}}{\mathrm{12,924}}& :\frac{\mathrm{7,889}}{\mathrm{4,079}}\\ \mathrm{0,956}& :\mathrm{1,934}\end{array}$$

Die Strecke wird von $T$ und $S$ im Verhältnis $\mathrm{0,956}:\mathrm{1,934}$ geteilt.