Trigonometrie

Aufgabe 1

Das Dreieck \(ABC\) ist die Seite \(c=6\,cm\) lang. Die anliegenden Winkel betragen \(\alpha=41{,}41\) und \(\beta=55{,}77\). Berechne den fehlenden Winkel und die fehlenden Seiten.

Lösung

Als Erstes zeichnest Du Dir eine Skizze des Dreiecks.

Abb. 7 - Dreieck

Zunächst berechnest Du den Winkel \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks.

\begin{align} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ &|&-\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ -\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ-41{,}41^\circ-55{,}77\circ \\ \gamma&=82{,}82^\circ \end{align}

Jetzt kannst Du über den Sinussatz die beiden fehlenden Seiten berechnen.

\begin{align} \frac{a}{\sin(\alpha)}&=\frac{c}{\sin(\gamma)} &|&\cdot \sin(\alpha) \\ a&=\frac{c\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} \\ a&=\frac{6\cdot \sin(41{,}41)}{\sin(82{,}82)} \\ a&=\frac{6\cdot 0{,}661}{0{,}992} \\ a&=4 \end{align}

\begin{align} \frac{b}{\sin(\beta)}&=\frac{c}{\sin(\gamma)} &|&\cdot \sin(\beta) \\ b&=\frac{c\cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} \\ a&=\frac{6\cdot \sin(55{,}77)}{\sin(82{,}82)} \\ b&=\frac{6\cdot 0{,}827}{0{,}992} \\ b&=5 \end{align}

Das Dreieck hat folgende Seitenlängen: \(a=4\,cm\), \(b=5\,cm\) und \(c=6\,cm\).

Der fehlende Winkel beträgt \(\gamma=90^\circ\).

Aufgabe 2

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck \(ABC\). Die Hypotenuse \(c\) ist \(5\,\mathrm{cm}\) lang und die Kathete \(a\) ist \(3\,\mathrm{cm}\) lang.

Berechne nun alle Winkel und die fehlende Kathete.

Lösung

Als Erstes solltest Du Dir eine Skizze über die gegebenen und fehlenden Werte machen.

Abb. 8 - rechtwinkliges Dreieck

Nachdem Du jetzt weißt, was fehlt, berechnest Du als erstes \(\alpha\).

\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \sin(\alpha)&= \frac{a}{c} \\[0.2cm] \sin(\alpha)&=\frac{3}{5} \\[0.2cm] \alpha&=\arcsin(0{,}6) \\[0.2cm] \alpha&=36{,}87^\circ \end{align}

Danach berechnest Du den Winkel \(\beta\). Du kannst den Winkel über den Innenwinkelsatz der Dreiecke oder den Kosinus berechnen.

\begin{align} \cos(\beta)&=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hyp}\text{otenuse}} \\[0.2cm] \cos(\beta)&= \frac{a}{c} \\[0.2cm] \cos(\beta)&=\frac{3}{5} \\[0.2cm] \beta&=\arccos(0{,}6) \\[0.2cm] \beta&=53{,}13^\circ \end{align}

Zum Schluss berechnest Du noch die fehlende Kathete \(b\). Dafür kannst Du den Pythagoras nutzen oder den Tangens von \(\beta\).

\begin{align} \tan(\beta)&=\frac{\text{Gegenkathete}} {\text{Ankathete}} \\[0.2cm] \tan(\beta)&=\frac{b}{a} &|&\cdot a \\[0.2cm] \tan(\beta)\cdot a&=b \\[0.2cm] \tan(53{,}13)\cdot 3&=b \\[0.2cm] 1{,}33 \cdot 3&=b \\[0.2cm] 4&=b \end{align}

Das Dreieck hat folgende Seitenlängen: \(a=3\,\mathrm{cm}\), \(b=4\,\mathrm{cm}\) und \(c=5\,\mathrm{cm}\).

Die Winkel betragen: \(\alpha=36{,}87^\circ\), \(\beta=53{,}13^\circ\) und \(\gamma=90^\circ\).

Aufgabe 3

Berechne die Seite \(c\) des Dreiecks \(ABC\), wenn es sich bei dem Dreieck um ein gleichschenkliges mit \(a=b=2\,\mathrm{cm}\). Die gegebenen Winkel sind \(\alpha=\beta=22{,}33^\circ\).

Lösung

Zu Beginn berechnest Du den Winkel \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme.

\begin{align} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ &|&-\alpha-\beta \\ \gamma&=180^\circ-alpha-beta \\ \gamma&=180^\circ-2\cdot 22{,}33^\circ \\ \gamma&=135{,}34 \end{align}

Jetzt wendest Du den Kosinussatz für die Seite \(c\) an.

\begin{align} c^2&=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) &|& \sqrt{} \\ c&=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)} \\ c&=\sqrt{2^2+2^2-2 \cdot 2\cdot 2\cdot \cos(135{,}34)} \\ c&=\sqrt{8-8\cdot\cos(135{,}35)} \\ c&=3{,}7 \end{align}

Die Seite \(c\) des Dreiecks ist \(3{,}7\,\mathrm{cm}\) lang.