Umfang Kreisring

Aufgabe 1

Berechne den Umfang U eines Kreisrings mit den Radien \(r_g = 5\, cm\) und \(r_k=2\, cm\).

Lösung:

Schreibe als Erstes die Formel auf. In diesen Fall ist der Radius gegeben, daher wählt man:

\[U=2\pi\cdot(r_{g}+r_{k})\]

Setze als Nächstes die Werte für r, in diesem Fall 5 cm und 2 cm, in die Formel ein:

\[U=2\pi\cdot(5\, cm+2\, cm)\]

Zuletzt berechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner:

\[U=2\pi\cdot7\, cm\approx 43{,}98\, cm\]

Der Kreisring hat also einen Umfang von rund \( 43{,}98\, cm\).

Aufgabe 2

Berechne den Umfang U eines Kreisrings mit den Durchmessern \(d_g=4\, cm\) und \(d_k=1\, cm\).

Lösung

Als Erstes wird die passende Formel ausgesucht. Da der Durchmesser gegeben ist, wählt man folgende Formel:

\[U=2\pi\cdot\frac{d_g}{2}+2\pi\cdot\frac{d_k}{2}\]

Im nächsten Schritt werden die gegebenen Werte, also \(d_g=4\, cm\) und\(d_k=1\, cm\), in die Formel eingesetzt:

\[U=2\pi\cdot\frac{4\, cm}{2}+2\pi\cdot\frac{1\, cm}{2}\]

Zum Schluss kannst Du jetzt das Ergebnis wieder mit dem Taschenrechner ausrechnen:

\[U=2\pi\cdot 2\, cm+2\pi \cdot 0{,}5\, cm\approx 15{,}71\, cm\]

Der Umfang U beträgt gerundet \(15{,}71\, cm\).

Aufgabe 3

Gegeben sind die Flächeninhalt \(A_g=30\, cm^2\) und \(A_k = 20\, cm^2\) eines Kreisrings. Du sollst jetzt daraus den Umfang U berechnen.

Lösung

Zuerst wird die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises aufgeschrieben:

\[A=\pi \cdot r^2\]

Als Nächstes stelle die Formel um, sodass der Radius r ausgerechnet werden kann:

\begin{align} A&=\pi \cdot r^2 \quad&&|:\pi\\r^2&=\frac{A}{\pi}&&|\sqrt{ }\\r&=\sqrt{\frac{A}{\pi}}\end{align}

Jetzt kannst Du die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreisrings mit dem Radius aufschreiben.

\[U=2\pi\cdot r_g + 2\pi\cdot r_k\]

Da die Formel des Flächeninhalts oben umgestellt wurde, setze nun die umgestellte Formel in die Formel des Umfangs ein:

\[U=2\pi\cdot\sqrt{\frac{A_g}{\pi}}+2\pi\cdot\sqrt{\frac{A_k}{\pi}}\]

Als Letztes kannst Du die gegebenen Werte von \(A_g=30\,cm^2\) und \(A_k=20\, cm^2\) für die Flächeninhalte A einsetzen und das Ergebnis ausrechnen:

\[U=2\pi\cdot\sqrt{\frac{30\,cm^2}{\pi}}+2\pi\cdot\sqrt{\frac{20\,cm^2}{\pi}}=35{,}27\,cm\]

Der Umfang des Kreisrings beträgt ungefähr \(35{,}27\).

Aufgabe 4

Wenn Du zurück an den Bordstein denkst, der auf beiden Seiten einer Verkehrskreisel-Fahrtbahn gebaut werden soll. Der Kreisel hat einen Innendurchmesser von \(d_k=68\, m\) und einen Außenradius von \(d_g=40\, m\).

Wie viele Steine werden gebraucht, um den Bordstein zu bauen, wenn ein Stein 10 cm lang ist?

Lösung

Als Erstes kannst du dir eine Zeichnung der Situation anlegen. Die 40 m sind der Außenradius, während die 68 m der Durchmesser des inneren Kreises sind. Du sollst die Länge der Bordsteine, also den Umfang des Kreisrings, berechnen.

Dann musst Du entweder die 40 m Radius in einen Durchmesser oder die 68 m Durchmesser in einen Radius umrechnen. In diesem Fall wird alles in einen Radius umgewandelt.

Du schreibst Dir also das Verhältnis zwischen dem Durchmesser und dem Radius auf, setzt die 68 m ein und berechnest das Ergebnis.

\begin{align}r&=\frac{d}{2}\\&=\frac{68\, m}{2}\\&=34\, m\end{align}

Als Nächstes kannst Du die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreisrings mit dem Radius aufschreiben. Dann kannst Du die Werte einsetzen und das Ergebnis berechnen.

\begin{align} U&=2\pi\cdot r_g+2\pi\cdot r_k\\&=2\pi \cdot 40\, m+2\pi\cdot 34\, m\\&\approx 465\, m\end{align}

Jetzt weißt Du, wie lang die Strecke ist, die mit Steinen ausgelegt werden soll. Jetzt musst Du nur noch herausfinden, wie viele Steine Du legen musst, um auf diese 465 m zu kommen. Um das zu berechnen, kannst Du genau diesen Sachverhalt einmal mathematisch aufschreiben und dann auflösen.

\begin{align} 0{,}1\cdot x&= 465\, m\quad | :0{,}1\, m \\ x&= 4650\end{align}

Es werden also genau 4650 Steine gebraucht, um den Bordstein zu bauen.

Aufgabe 5

Erinnerst du dich noch an die Einleitung? Du und ein Freund macht ein Wettrennen, aber er läuft auf der Innenbahn, während du auf der Außenbahn eines runden Sportfeldes läufst. Das Sportfeld ist auf einer Fläche von 12000 m². Die Grasfläche in der Mitte ist 4800 m² groß.

Wie viel mehr Weg als er musst du zurücklegen?

Lösung

Als Erstes musst du erkennen, welche Werte gesucht und welche Werte gegeben sind.

Gesucht ist der Wegunterschied zwischen dem Umfang des inneren Kreises und dem Umfang des äußeren Kreises. Gegeben ist der Flächeninhalt A des größeren Kreises und der Flächeninhalt A des kleinen Kreises.

Um das Ergebnis berechnen zu können, musst du also diesmal nicht, wie bisher, die Umfänge der beiden Kreise addieren, sondern du musst sie subtrahieren, um auf den Wegunterschied zu kommen.

\begin{align}\Delta U&=U_g-U_k\\&=2\pi \cdot r-g -2\pi \cdot r_k\end{align}

Da Du aber nicht den Radius r gegeben hast, sondern den Flächeninhalt A, musst Du erst die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises aufschreiben und diese nach r umstellen.

\begin{align} A&=\pi \cdot r^2 \quad |:\pi\\r^2&=\frac{A}{\pi}\\r&=\sqrt{\frac{A}{\pi}}\end{align}

Diese Formel musst Du jetzt in die Formel einsetzen, die Du als Erstes aufgestellt hast. Dann kannst Du die Werte einsetzen und das Ergebnis berechnen.

\begin{align} \Delta U &= 2\pi \cdot \sqrt{\frac{A_g}{\pi}}-2\pi \cdot \sqrt{\frac{A_k}{\pi}}\\&=2\pi \cdot \sqrt{\frac{12000\,m^2}{\pi}}-2\pi \cdot \sqrt{\frac{4800\,m^2}{\pi}}\\&\approx 143\, m\end{align}

Du musst also ungefähr 143 m mehr laufen als dein Freund.