Volumen Pyramide

Volumen Pyramide – Herleitung der Formel

Um das Volumen V_P einer Pyramide berechnen zu können benötigst Du eine Formel. Als erstes wirst du die Herleitung der Formel kennenlernen (in diesem Fall schaust du dir die Herleitung an einer quadratischen Pyramide an, die Formel gilt aber für alle Pyramiden):

Zunächst musst Du dir vorstellen, dass in einen Würfel mit der Kantenlänge a sechs quadratische Pyramiden, mit der Seitenlänge a, reinpassen.

Das heißt :

$6·V_P=V_W$

Abbildung 2: Würfel mit einer Pyramide Abbildung 3: Würfel gefüllt mit sechs Pyramiden

Sobald Du den Würfel halbierst, wird aus dem Würfel ein Quader. Dieser Quader hat die Höhe der Pyramide h und die Seitenlängen a. Das heißt es liegen sechs halbierte Pyramiden vor, welche sich vom Volumen zu drei ganzen Pyramiden ergänzen. Durch diese Halbierung passen nun nur noch drei Pyramiden in den halbierten Würfel.

Abbildung 4: Halbierter Würfel

Das heißt:

$3·V_P=\frac{1}{2}·V_W=V_Q$

Für die Berechnung des Volumens benötigst Du eine allgemeine Formel, welche lautet:

$V=\frac{1}{3}·G·h$

Nun kannst Du das Volumen des Quaders darstellen und anschließend nach dem Volumen der Pyramide umstellen.

$\begin{array}{rcl}{V}_{Quader}& =& a·a·h_{Pyramide}\end{array}$

Das heißt Du rechnest die Länge mal der Breite mal der Höhe.

$3·V_{Pyramide}=a^2·h_{Pyramide}$

Nun stellst Du die Gleichung um, indem Du durch 3 dividierst.

$V_{Pyramide}=\frac{1}{3}·a^2·h$

h stellt hier die Höhe der Pyramide dar und G die Grundfläche, welche $a^2$beträgt. Die Höhe h ist dabei $\frac{a}{2}$ groß.

Hier musst Du immer beachten wie deine Grundfläche zusammengesetzt ist. Wenn du ein Quadrat als Grundfläche hast, verwendest du die Seitenlängen a in deiner Formel:

Besondere Pyramiden

Da es verschiedene Arten von Pyramiden gibt, musst Du bei der Berechnung der Grundfläche verschiedene Formel verwenden. Dies ist der Fall, da es unter anderem quadratischen, dreiseitige oder auch vierseitige etc. Pyramiden gibt.

Wie Du nun genau das Volumen von besonderen Pyramiden berechnest und was Du dabei beachten musst, erfährst Du in den folgenden Abschnitten!

Quadratische Pyramide – Volumen berechnen

Nun lernst Du wie man das Volumen einer quadratische Pyramide berechnet.

Um die Grundfläche einer quadratischen Pyramide zu berechnen, verwendest Du folgende Formel, da es sich um ein Quadrat handelt:

$G=a·a=a^2$

Abbildung 5: quadratische Pyramide

Durch diese erhältst Du den Flächeninhalt im Quadrat, welcher benötigt wird für die Formel für die Berechnung des Volumens.

Dreiseitige Pyramide – Volumen berechnen

Nun wirst Du lernen wie man das Volumen von einer dreiseitigen Pyramide berechnet.

Zunächst klären wir was eine dreiseitige Pyramide ist.

Um die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide zu berechnen, verwendest Du folgende Formel:

Abbildung 6:dreiseitige Pyramide

$G=\frac{1}{2}·a·h_a$

Damit Du nun das Volumen berechnen kannst, gehst Du genau so vor wie bei der quadratischen Pyramide. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Du eine andere Formel für die Grundfläche zur Berechnung verwendest.

Vierseitige Pyramide – Volumen berechnen

Natürlich gibt es neben der dreiseitigen Pyramide noch viele weitere Arten von Pyramiden, da die Grundfläche variiert werden kann. Die vierseitige Pyramide ist eine von ihnen.

Ein Beispiel einer Grundfläche könnte das Parallelogramm sein.

Abbildung 7: Parallelogramm

Um die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide zu berechnen, in diesem Fall ein Parallelogramm, verwendest Du folgende Formel:

$G=a·h_a$

Das heißt Du verwendest die Seitenlänge a zur Berechnung, sowie die Höhe der Grundfläche.

Die Seite a stellt die Grundseite des Parallelogramms dar. Die Grundseite ist dabei immer die Seite, bei welcher die Höhe senkrecht steht.

Damit Du nun das Volumen berechnen kannst, gehst Du genau so vor wie bei den vorherigen Pyramiden. Jedoch verwendest Du eine andere Grundfläche G.

Volumen Pyramide – Vektoren

Eine weitere Methode, um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, stellt die Vektorrechnung dar.

$\begin{array}{rcl}V& =& \frac{1}{3}\left|\overrightarrow{AB}\circ (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})\right|\\ & =& \frac{1}{3}\left|det\overrightarrow{(AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\right|\end{array}$

Nun folgt ein Beispiel an dem Du dir Formel in der Anwendung siehst.

Volumen Pyramidenstumpf

Mit dem Wissen, welches Du jetzt über die Pyramide hast, kannst Du auch mit weiteren abgeleiteten Körpern umgehen.

Um das Volumen des Pyramidenstumpfes zu berechnen, musst Du zunächst die Grundfläche und Schnittfläche ermitteln.

Dafür benötigst Du die Seitenlängen a und b der Grundfläche G und die Seitenlängen c und d der Schnittfläche S.

$$\begin{gathered} G=a·b \\ S=c·d \end{gathered}$$

Volumen Pyramidenstumpf berechnen

Da Du nun weißt wie man die Grundfläche und die Schnittfläche berechnet, kannst Du nun mit der eigentlichen Berechnung des Volumens fortfahren.

Hierfür benötigst Du folgende Formel:

$V=\frac{h}{3}·\left(G+a·b+S\right)$

Nun wirst Du das ganze an einem Beispiel sehen.