Volumen Pyramide: Berechnen, Formel & Vektor

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Volumen einer Pyramide berechnen

Um das Volumen einer Pyramide berechnen zu können, solltest Du erst verstehen wie diese überhaupt aufgebaut ist.

Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer Dreiecke. Diese Dreiecke werden auch als Mantelfläche M bezeichnet und laufen zu einer Spitze zusammen. Die Grundfläche G der Pyramide kann aus verschiedenen Flächen bestehen (z.B einem Quadrat oder Dreieck). Wenn du die Höhe h einer Pyramide herausfinden möchtest, kannst du sie am Abstand zwischen der Spitze und Grundfläche G messen. Ebenso steht die Höhe h rechtwinklig auf der Grundfläche G.

Volumen Pyramide Pyramide StudySmarter Abbildung 1: Pyramide

Um die Mantelfläche M zu berechnen benötigst Du folgende Formel:

$M = (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}) \cdot A n z a h l d e r D r e i e c k e$

Um die Grundfläche G einer quadratischen Pyramide zu berechnen verwendest Du diese Formel:

$G = a \cdot a = a^{2}$

Um die gesamte Oberfläche O zu berechnen benötigst Du folgende Formel:

$O = G + M$

Wenn Du mehr über den Körper Pyramide erfahren möchtest, dann schau dir den dazugehörigen Artikel an.

Volumen Pyramide – Herleitung der Formel

Um das Volumen V_P einer Pyramide berechnen zu können benötigst Du eine Formel. Als erstes wirst du die Herleitung der Formel kennenlernen (in diesem Fall schaust du dir die Herleitung an einer quadratischen Pyramide an, die Formel gilt aber für alle Pyramiden):

Zunächst musst Du dir vorstellen, dass in einen Würfel mit der Kantenlänge a sechs quadratische Pyramiden, mit der Seitenlänge a, reinpassen.

Das heißt :

$6 \cdot V_{P} = V_{W}$

Volumen Pyramide Herleitung StudySmarter Abbildung 2: Würfel mit einer Pyramide Abbildung 3: Würfel gefüllt mit sechs Pyramiden

Sobald Du den Würfel halbierst, wird aus dem Würfel ein Quader. Dieser Quader hat die Höhe der Pyramide h und die Seitenlängen a. Das heißt es liegen sechs halbierte Pyramiden vor, welche sich vom Volumen zu drei ganzen Pyramiden ergänzen. Durch diese Halbierung passen nun nur noch drei Pyramiden in den halbierten Würfel.

Volumen Pyramide Herleitung StudySmarter Abbildung 4: Halbierter Würfel

Das heißt:

$3 \cdot V_{P} = \frac{1}{2} \cdot V_{W} = V_{Q}$

Für die Berechnung des Volumens benötigst Du eine allgemeine Formel, welche lautet:

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Nun kannst Du das Volumen des Quaders darstellen und anschließend nach dem Volumen der Pyramide umstellen.

$\begin{array}{rcl} V_{Q u a d e r} & = & a \cdot a \cdot h_{P y r a m i d e} \end{array}$

Das heißt Du rechnest die Länge mal der Breite mal der Höhe.

$3 \cdot V_{P y r a m i d e} = a^{2} \cdot h_{P y r a m i d e}$

Nun stellst Du die Gleichung um, indem Du durch 3 dividierst.

$V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

h stellt hier die Höhe der Pyramide dar und G die Grundfläche, welche $a^{2}$ beträgt. Die Höhe h ist dabei $\frac{a}{2}$ groß.

Hier musst Du immer beachten wie deine Grundfläche zusammengesetzt ist. Wenn du ein Quadrat als Grundfläche hast, verwendest du die Seitenlängen a in deiner Formel:

Die Formel für die Berechnung des Volumens einer quadratischen Pyramide lautet also wie folgt:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Dabei kannst Du einfach das $a^{2}$ durch das $G$ ersetzen, da es wie Du oben schon gelernt hast die Grundfläche einer quadratischen Pyramide darstellt.

Jedoch solltest Du beachten, dass je nach Art der Pyramide sich die Grundfläche, also auch die Bedeutung von $G$ verändert!

Das heißt die Grundfläche hängt von der Seitenanzahl der Pyramide ab. Allgemein gilt also:

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Besondere Pyramiden

Da es verschiedene Arten von Pyramiden gibt, musst Du bei der Berechnung der Grundfläche verschiedene Formel verwenden. Dies ist der Fall, da es unter anderem quadratischen, dreiseitige oder auch vierseitige etc. Pyramiden gibt.

Wie Du nun genau das Volumen von besonderen Pyramiden berechnest und was Du dabei beachten musst, erfährst Du in den folgenden Abschnitten!

Quadratische Pyramide – Volumen berechnen

Nun lernst Du wie man das Volumen einer quadratische Pyramide berechnet.

Eine quadratische Pyramide besitzt eine quadratische Grundfläche und die Seitenflächen laufen zu einer Spitze zusammen. Das heißt, es handelt sich um eine vierseitige Pyramide.

Um die Grundfläche einer quadratischen Pyramide zu berechnen, verwendest Du folgende Formel, da es sich um ein Quadrat handelt:

$G = a \cdot a = a^{2}$

Volumen Pyramide quadratische Pyramide StudySmarter Abbildung 5: quadratische Pyramide

Durch diese erhältst Du den Flächeninhalt im Quadrat, welcher benötigt wird für die Formel für die Berechnung des Volumens.

Aufgabe

Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge $a = 3 c m$ und der Höhe $h = 8 c m$ .

Lösung

Um nun das Volumen berechnen zu können verwendest Du die Formel für die Berechnung des Volumens von Pyramiden und fügst als Grundfläche a²ein:

1.Schritt

Formel aufstellen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\ = & \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h \end{array}$

2.Schritt

Werte in die Formel einsetzen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot 3^{2} \cdot 8 \\ = & 24 c m^{3} \end{array}$

Die Pyramide besitzt ein Volumen von $24 c m^{3}$ .

Dreiseitige Pyramide – Volumen berechnen

Nun wirst Du lernen wie man das Volumen von einer dreiseitigen Pyramide berechnet.

Zunächst klären wir was eine dreiseitige Pyramide ist.

Eine dreiseitige Pyramide besitzt ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche, wobei die Seitenflächen zu einer Spitze zusammenlaufen.

Um die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide zu berechnen, verwendest Du folgende Formel:

Volumen Pyramide dreiseitige Pyramide StudySmarter Abbildung 6:dreiseitige Pyramide

$G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}$

Damit Du nun das Volumen berechnen kannst, gehst Du genau so vor wie bei der quadratischen Pyramide. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Du eine andere Formel für die Grundfläche zur Berechnung verwendest.

Aufgabe

Berechne das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit der Seitenlänge $a = 4 c m$ , $h_{a} = 3, 4641$ und der Höhe $h = 8 c m$ .

Lösung

Um nun das Volumen berechnen zu können verwendest Du die allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens:

1.Schritt

Formel aufstellen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\ = & \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}) \cdot h \end{array}$

2.Schritt

Werte in die Formel einsetzen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3, 4641) \cdot 8 \\ \approx & 18, 48 c m^{3} \end{array}$

Die Pyramide besitzt ein Volumen von ungefähr $18, 48 c m^{3}$ .

Vierseitige Pyramide – Volumen berechnen

Natürlich gibt es neben der dreiseitigen Pyramide noch viele weitere Arten von Pyramiden, da die Grundfläche variiert werden kann. Die vierseitige Pyramide ist eine von ihnen.

Eine vierseitige Pyramide besitzt ein Viereck als Grundfläche. Die Seitenflächen dieser Pyramide laufen zu einer Spitze zusammen.

Ein Beispiel einer Grundfläche könnte das Parallelogramm sein.

Volumen Pyramide Parallelogramm StudySmarter Abbildung 7: Parallelogramm

Um die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide zu berechnen, in diesem Fall ein Parallelogramm, verwendest Du folgende Formel:

$G = a \cdot h_{a}$

Das heißt Du verwendest die Seitenlänge a zur Berechnung, sowie die Höhe der Grundfläche.

Die Seite a stellt die Grundseite des Parallelogramms dar. Die Grundseite ist dabei immer die Seite, bei welcher die Höhe senkrecht steht.

Damit Du nun das Volumen berechnen kannst, gehst Du genau so vor wie bei den vorherigen Pyramiden. Jedoch verwendest Du eine andere Grundfläche G.

Aufgabe

Berechne das Volumen der vierseitigen Pyramide mit der Seitenlänge $a = 5 c m$ und der Höhe $h = 6 c m$ . Sowie der Höhe der Grundfläche $h_{a} = 10 c m$ .

Lösung

1.Schritt

Stelle die Formel auf:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\ = & \frac{1}{3} \cdot (a \cdot h_{a}) \cdot h \end{array}$

2.Schritt

Setze die Werte ein:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot (5 \cdot 10) \cdot 6 \\ = & 100 c m^{3} \end{array}$

Das Volumen der Pyramide beträgt $100 c m^{3}$ .

Volumen Pyramide – Vektoren

Eine weitere Methode, um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, stellt die Vektorrechnung dar.

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} |\vec{A B} \circ (\vec{A C} \times \vec{A D})| \\ = & \frac{1}{3} |d e t \vec{(A B}, \vec{A C}, \vec{A D})| \end{array}$

Nun folgt ein Beispiel an dem Du dir Formel in der Anwendung siehst.

Aufgabe

Berechne das Volumen der Pyramide. Dabei sind dir die folgenden Eckpunkte gegeben:

$A (0 | 0 | 0) B (7 | 0 | 0) C (7 | 7 | 0) D (0 | 7 | 0)$

Dabei ist folgende Spitze gegeben:

$S (3 | 3 | 7)$

Lösung

1.Schritt

Dein erster Schritt besteht darin die Vektoren $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A S}$ zu berechnen:

$\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \vec{A D} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) \vec{A S} = \vec{S} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix})$

2.Schritt

Nun kannst Du deiner Vektoren in die Formel für das Volumen einer Pyramide einsetzen:

$V = \frac{1}{3} \cdot |d e t (\begin{matrix} 7 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix})|$

3.Schritt

Mit Hilfe der Determinanten der oberen Dreiecksmatrix lösen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot |d e t (\begin{matrix} 7 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix})| \\ = & \frac{1}{3} \cdot |7 \cdot 7 \cdot 7| \\ = & \frac{1}{3} \cdot |343| \\ \approx & 114, \bar{3} \end{array}$

Das Volumen der beträgt Pyramide beträgt $114, 3 c m^{3}$ .

Volumen Pyramide Pyramide mit Vektoren StudySmarter Abbildung 8: Pyramide aus der Aufgabenstellung

Das $|d e t|$ steht für Determinante. Darunter versteht man eine Zahl, welche einer quadratischen Matrix zugeordnet ist. Dabei sagt die Determinante etwas über die _"Größe" der Werte innerhalb der quadratischen Matrix aus.

Volumen Pyramidenstumpf

Mit dem Wissen, welches Du jetzt über die Pyramide hast, kannst Du auch mit weiteren abgeleiteten Körpern umgehen.

Unter einem Pyramidenstumpf versteht man eine Pyramide, bei welcher die Spitze nicht vorhanden ist. Daher hat diese Pyramide eine Grundfläche G als auch eine Schnittfläche S. Das heißt sie besitzt keine Spitze.

Dabei hat der Pyramidenstumpf vier Mantelflächen und die Höhe h, welche die Höhe zwischen der Grundfläche G und der Schnittfläche S darstellt.

Volumen Pyramide Pyramidenstumpf StudySmarter Abbildung 9: Pyramidenstumpf

Um das Volumen des Pyramidenstumpfes zu berechnen, musst Du zunächst die Grundfläche und Schnittfläche ermitteln.

Dafür benötigst Du die Seitenlängen a und b der Grundfläche G und die Seitenlängen c und d der Schnittfläche S.

$G = a \cdot b S = c \cdot d$

Wenn Du mehr über das Thema Pyramidenstumpf erfahren möchtest, kannst Du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Volumen Pyramidenstumpf berechnen

Da Du nun weißt wie man die Grundfläche und die Schnittfläche berechnet, kannst Du nun mit der eigentlichen Berechnung des Volumens fortfahren.

Hierfür benötigst Du folgende Formel:

$V = \frac{h}{3} \cdot (G + a \cdot b + S)$

Nun wirst Du das ganze an einem Beispiel sehen.

Aufgabe

Berechne das Volumen des quadratischen Pyramidenstumpfes

$a = 4 c m b = 5 c m h = 6 c m$

Lösung

1.Schritt

Grundfläche G und Schnittfläche S berechnen.

$G = 4^{2} = 16 S = 5^{2} = 25$

2.Schritt

Werte in die Formel einsetzen.

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{6}{3} \cdot (16 + 4 \cdot 5 + 25) \\ = & 122 c m^{3} \end{array}$

Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt $122 c m^{3}$ .

Volumen Pyramide – Das Wichtigste

Die allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .
Zu besonderen Pyramiden zählen unter anderem quadratische, vierseitige und dreiseitige Pyramiden etc.
Je nach Art der Pyramide gibt es unterschiedliche Formeln, um die Grundfläche G zu berechnen.
Die Grundfläche einer quadratische Pyramide lautet wie folgt: $G = a \cdot a = a^{2}$
Für die Berechnung der Mantelfläche einer Pyramide verwendest Du folgende Formel: $M = (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}) \cdot A n z a h l d e r D r e i e c k e$
Für die Berechnung des Volumens benötigst Du die Seitenlängen a und die Höhe h der Pyramide
Bei dem Pyramidenstumpf benötigst Du zusätlich noch die Schnittfläche zur Berechnung des Volumens: $V = \frac{h}{3} \cdot (G + a \cdot b + S)$
Um das Volumen einer Pyramide mit Hilfe der Vektorenrechnung zu berechnen, benötigst Du folgende Formel: $\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} |\vec{(A B}, \vec{A C}, \vec{A D})| \end{array}$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen Pyramide

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide?

Das Volumen einer Pyramide berechnest du, indem du zunächst die Grundfläche der Pyramide bestimmst. Hierfür gibt es je nach Art der Pyramide verschiedene Möglichkeiten, wobei du immer die Seitenflächen a benötigst. Anschließend multiplizierst du die Grundfläche mit der Höhe h der Pyramide und 1/3.

Wie berechnet man das Volumen einer rechteckigen Pyramide?

Das Volumen einer rechteckigen Pyramide berechnest di, indem du die Grundfläche G ermittelst und diese mit der Höhe h und 1/3 multiplizierst. Die Grundfläche G ermittelst dadurch, dass du die Seitenlänge a quadrierst.

Wie berechnet man das Volumen einer sechseckigen Pyramide?

Das Volumen einer sechseckigen Pyramide berechnest du, indem du zunächst die Grundfläche G ermittelst. Hier musst du zunächst die Höhe der Grundflächendreiecke h berechnen. Mit dieser Höhe kannst du nun die Grundfläche G ermitteln und anschließend in die allgemeine Formel einsetzen.

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide mit Trapez Grundfläche?

Um das Volumen einer Pyramide mit Trapez als Grundfläche zu berechnen, gehst du wie folgt vor. Zunächst musst du die Grundfläche mit der Formel G=0,5·(a+c)·h berechnen. Dabei sind die Flächen a und c parallel zueinander und h steht für die Höhe zwischen diesen Flächen. Danach kannst du die normale Formel zur Berechnung des Volumens anwenden.

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