Volumen Zylinder

Aufgabe

1. Berechne das Volumen V eines Zylinders mit der Höhe h = 3 cm und dem Radius r = 2 cm.

Abbildung 7: Beispiel Zylinder

Lösung

1. Zuerst schreibst du dir die Formel auf. Da der Radius r gegeben ist, benötigst du die entsprechende Formel.$$V=\pi \cdot r^2\cdot h$$Als Nächstes kannst du die bekannten Werte einsetzen.$$V=\pi \cdot (2cm{)}^2\cdot 3cm$$

Zum Schluss rechnest du das Ergebnis aus. Es gilt wie immer, erst die Potenzen und danach Punkt vor Strich. Das bedeutet, $4c{m}^2$ kannst du auch als $2cm\cdot 2cm$ schreiben. Dann musst du nur noch die Multiplikationen durchführen und zum Schluss in den Taschenrechner eingeben.$$\begin{array}{rl}V& =\pi \cdot 2cm\cdot 2cm\cdot 3cm\\ & =\pi \cdot 12c{m}^3\\ & \approx 37,7c{m}^3\end{array}$$ Der Zylinder hat ein Volumen von ca. 37,7 cm³.

Aufgabe

1. Ein Farbeimer hat eine Höhe von 30 cm und einen Radius von 15 cm. Berechne, wie viel Liter Farbe im Eimer enthalten sind.

2. Es werden 250 ml Wasser in ein Glas mit dem Innendurchmesser 10 cm gegossen. Wie hoch steht das Wasser?

Achte hier darauf: Der Innendurchmesser ist der Durchmesser, den du innerhalb des Glases messen würdest, das heißt ausgenommen der "Glaswand".

3. Berechne das Volumen einer Klopapierrolle mit der Höhe 8 cm, einem Innendurchmesser von 5 cm und einem Außenradius von 15 cm.

Lösung

1. Als Erstes kannst du dir überlegen, was für eine Formel in diesem Fall gebraucht wird. Da du sowohl die Höhe, als auch den Radius gegeben hast, kannst du die Formel mit dem Radius zur Berechnung des Volumens eines Zylinders verwenden.$$V=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Im nächsten Schritt kannst du die gegebenen Werte einsetzen.$$V=\pi \cdot (15cm{)}^2\cdot 30$$

Jetzt kannst du diese Formel in deinen Taschenrechner eingeben und ausrechnen.$$V=\pi \cdot 225c{m}^2\cdot 30cm=\pi \cdot 6750c{m}^3\approx 21205,75c{m}^3$$

Da du das Ergebnis aber in Litern angeben sollst, musst du es erst noch umrechnen. Du kannst zuerst die cm³ in m³ umrechnen. Dafür verwendest du am besten den Dreisatz.$$\begin{array}{rl}1c{m}^3& =\mathrm{0,000}001m^3\\ 21205,75c{m}^3& =\mathrm{0,021}20575m^3\\ & \approx \mathrm{0,021}{m}^3\end{array}$$

Als Nächstes kannst du die m³ noch in Liter umwandeln.$$\mathrm{0,021}{m}^3=21l$$

Abbildung 11: Zylinder mit dem Volumen 21 l

In dem Farbeimer sind 21 Liter Farbe enthalten.

2. In diesem Fall musst du aufpassen, da du nicht den Zylinder "Glas" berechnen sollst, sondern den Zylinder "Wasser". An sich ist das Vorgehen das Gleiche, wie bei jedem anderen Zylinder auch, du musst nur aufpassen, dass du die Werte des inneren Zylinders gegeben hast und nicht die, des Äußeren.

Zuerst stellst du die passende Formel mit dem Durchmesser zur Berechnung des Volumens eines Zylinders auf.$$V=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2\cdot h$$

Da du aber die Höhe und nicht das Volumen berechnen sollst, musst du die Formel nach h umstellen.$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2\cdot h|:(\pi \cdot {\left(\frac{d}{2}\right)}^2)\\ h& =\frac{V}{\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2}\end{array}$$

Bevor du die bekannten Werte einsetzen kannst, musst du das Volumen noch in cm² umwandeln.$$250ml=250c{m}^3$$

Jetzt bist du so weit, dass du die bekannten Werte in die Formel einsetzen kannst.$$h=\frac{250c{m}^3}{\pi \cdot {\left(\frac{10cm}{2}\right)}^2}$$

Als Letztes musst du nur noch das Ergebnis ausrechnen.$$\begin{array}{rl}h& =\frac{250c{m}^3}{\pi \cdot (5cm{)}^2}\\ h& =\frac{250c{m}^3}{\pi \cdot 25c{m}^2}\\ h& =3,18cm\end{array}$$

Der Wasserstand liegt also knapp über 3 cm.

3. In diesem Fall sollst du das Volumen eines Hohlzylinders ausrechnen. Dafür schreibst du zuerst die Formel auf.$$V=V_{groß}-V_{klein}$$

Da bei dem äußeren Zylinder der Radius gegeben ist, aber bei dem inneren Zylinder der Durchmesser, kannst du die Formeln dementsprechend aufstellen.$$V=\pi \cdot r^2\cdot h-\pi \cdot {\left(\frac{d}{2}\right)}^2\cdot h$$

Als Nächstes kannst du die Werte einsetzen.$$V=\pi \cdot (15cm{)}^2\cdot 8cm-\pi \cdot {\left(\frac{5cm}{2}\right)}^2\cdot 8cm$$

Zum Schluss kannst du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen.$$\begin{array}{rl}V& =\pi \cdot 225c{m}^2\cdot 8cm-\pi \cdot (2,5c{m}^2\cdot 8cm\\ V& =\pi \cdot 1800c{m}^3-\pi \cdot 6,25c{m}^2\cdot 8cm\\ V& =\pi \cdot 1800c{m}^3-\pi \cdot 50c{m}^3\\ V& \approx 5497,79c{m}^3\end{array}$$Das Volumen des Klopapiers beträgt ungefähr 5500 cm³.