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Zweiter Strahlensatz – Voraussetzungen
Für die Anwendung des zweiten Strahlensatzes gibt es zwei Voraussetzungen:
1. Voraussetzung
Zum einen müssen sich zwei Geraden oder zwei Strahlen an einem Punkt schneiden. Dieser Punkt wird meistens als Punkt Z bezeichnet, wobei Z für Zentrum steht.
Die Größe des Winkels, unter dem sich die beiden Strahlen bzw. Geraden am Punkt Z schneiden, ist für die Anwendung des zweiten Strahlensatz nicht von Bedeutung.
Zur Erinnerung: Bei einem Strahl ist nur ein fester Startpunkt gegeben, der Endpunkt hingegen ist bei einem Strahl nicht definiert. Ein Strahl ist deshalb unendlich lang. Eine andere Bezeichnung für einen Strahl lautet Halbgerade.
Eine zweite Voraussetzung um den zweiten Strahlensatz anwenden zu können ist die folgende:
2. Voraussetzung
Die beiden Strahlen bzw. Geraden werden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden geschnitten. Diese werden häufig als Geraden g und h bezeichnet. Dabei ist es wichtig, dass die Geraden g und h nicht durch den Punkt Z verlaufen.
Die Schnittpunkte der Parallelen g und h mit den Strahlen bzw. Geraden werden als Punkte A und A' sowie B und B' bezeichnet. Dabei liegt der Punkt A' auf demselben Strahl bzw. derselben Geraden wie der Punkt A. Der Punkt B' liegt auf demselben Strahl bzw. derselben Geraden wie der Punkt B.
Handelt es sich um zwei sich schneidende Strahlen, bei denen der zweite Strahlensatz angewendet werden soll, so sieht die Situation folgendermaßen aus:
Abbildung 1: Ausgangssituation bei sich schneidenden Strahlen
Bei zwei sich schneidenden Geraden hingegen ergibt sich zum Beispiel das folgende Bild:
2. Strahlensatz – Formel und Definition
Die beiden sich schneidenden Strahlen bzw. Geraden werden dadurch, dass sie von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h geschnitten werden, in Teilstrecken unterteilt. Außerdem entstehen zwei Strecken zwischen ihnen.
Die entstandenen Strecken werden im zweiten Strahlensatz miteinander ins Verhältnis gesetzt. Deshalb handelt es sich beim zweiten Strahlensatz, wie auch beim ersten Strahlensatz, um eine Verhältnisgleichung.
Die Strecken 
, 
, 
, 
, 
und 
bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen können auch folgendermaßen benannt werden. Das macht es einfacher nicht immer die Strecken Symbolik zu benutzen.
, 
, 
, 
, 
und 
Soll der zweite Strahlensatz bei zwei sich schneidenden Geraden angewandt werden, so gilt für die Strecken 
und 
stattdessen:
und 
Werden zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, so gilt für die Verhältnisse der Strecken a, a', b, b', x und y:
und 
In Worten ausgedrückt: Das Verhältnis zwischen der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke ist genauso groß wie das Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke.
Soll der zweite Strahlensatz bei zwei sich schneidenden Geraden angewandt werden, so lauten die dazugehörigen Formeln:
und 
Der zweite Strahlensatz kann auf beide der sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden angewendet werden. Wichtig ist jedoch, dass in der dazugehörigen Formel immer nur einer der beiden Strahlen bzw. eine der Geraden vorkommen darf.
Die Formel des zweiten Strahlensatzes kann auf verschiedenste Weisen umgestellt werden.
So gilt, nachdem die ursprüngliche Formel mit der Strecke y multipliziert und durch die Strecke a bzw. b dividiert wurde auch:
und 
bzw. für zwei sich schneidende Geraden:
und 
In Worten ausgedrückt bedeutet das: Das Verhältnis der längeren Parallelstrecke zur kürzeren Parallelstrecke ist genauso groß wie das Verhältnis der längeren Strahlstrecke zur kürzeren Strahlstrecke.
Zweiter Strahlensatz – Verwendung
Die Gleichung des zweiten Strahlensatzes kann zur Bestimmung der Länge einer Strecke genutzt werden. Dafür wird die Gleichung nach der Strecke aufgelöst, die gesucht wird. Um die Länge der gesuchten Strecke berechnen zu können, müssen alle anderen drei Streckenlängen bekannt sein.
Der zweite Strahlensatz kann nicht nur in der Geometrie verwendet werden, um die Länge von Streckenabschnitten zu bestimmen, sondern findet auch im Alltag Verwendung. Du kannst zum Beispiel durch Verwendung des zweiten Strahlensatzes die Höhe von Gebäuden oder Bäumen bestimmen.
Unterschied zwischen dem 1. und 2. Strahlensatz
Wie du bereits gelernt hast, sind die Voraussetzungen für die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes dieselben. Nun fragst du dich sicherlich, worin der Unterschied der beiden Strahlensätze liegt.
Die beiden Strahlensätze unterscheiden sich folgendermaßen:
Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle.
Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt.
Zweiter Strahlensatz – Formel umstellen
Wie du im letzten Abschnitt gelernt hast, lauten die Formeln für den zweiten Strahlensatz bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen wie folgt:
und 
Abhängig davon welche Strecken dir bekannt sind und welche Strecke du berechnen möchtest, kannst du die entsprechende Formel für den zweiten Strahlensatz umstellen. Wie das Umstellen der Formel funktioniert, lernst du in diesem Abschnitt.
Dafür wird das Umstellen des zweiten Strahlensatzes für die Formel 
im Detail erläutert.
Da das Umstellen der Formel 
auf die selbe Weise funktioniert, wird auf diese Formel nicht genauso detailliert eingegangen. Daher kannst du das Umstellen des zweiten Strahlensatzes an dieser Formel selbstständig üben. Die Lösung dafür findest du am Ende dieses Abschnittes.
Zweiten Strahlensatz nach a auflösen
Zuerst lernst du, wie man die Formel für den zweiten Strahlensatz nach der Strecke a auflöst.
Dafür wird die Formel 
mit der Strecke x multipliziert.
Daraus resultiert die Formel für den nach a aufgelösten zweiten Strahlensatz:
Zweiten Strahlensatz nach x auflösen
Nun wird die Formel für den zweiten Strahlensatz nach der Strecke x aufgelöst.
Dafür bildest du zunächst den Kehrwert der Formel 
.
Dieser lautet:
Anschließend multiplizierst du den Kehrwert der Formel mit der Strecke a.
Der nach der Strecke x aufgelöste zweite Strahlensatz lautet also:
Zweiten Strahlensatz nach a+a' auflösen
Als nächstes lernst du, wie man die Formel für den zweiten Strahlensatz nach der Strecke a+a' auflöst.
Dazu multiplizierst du die Formel 
mit der Strecke y.
Es resultiert die Formel für den nach der Strecke a+a' aufgelösten zweiten Strahlensatz:
Zweiten Strahlensatz nach y auflösen
Abschließend muss die Formel nur noch nach der Strecke y aufgelöst werden.
Auch hierzu kannst du dir wieder den Kehrwert der Formel 
zu Nutze machen.
Dieser lautet:
Den Kehrwert der Formel musst du nun nur noch mit der Strecke a+a' multiplizieren.
Daraus ergibt sich die nach der Strecke y aufgelöste Formel für den zweiten Strahlensatz:
Weitere umgestellte Formeln für den zweiten Strahlensatz
Wie bereits am Anfang dieses Abschnittes erwähnt wurde, kann auch die Formel 
nach allen beinhalteten Strecken aufgelöst werden.
An dieser Stelle kannst du üben, ob du verstanden hast, wie man die Formel nach den vier Strecken umstellt.
Zur Überprüfung:
Es gilt:
und
Zweiter Strahlensatz – Beweis
Der zweite Strahlensatz kann über das Prinzip der Ähnlichkeit bewiesen werden.
Zur Erinnerung: Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln – und daher in allen drei Winkeln – übereinstimmen.
Schau dir noch einmal die Ausgangssituation des zweiten Strahlensatzes an:
Wenn du dir die beiden Dreiecke ZAB und ZA'B' genauer anschaust, fällt dir sicher schnell auf, dass es sich um ähnliche Dreiecke handelt.
Das liegt daran, dass sie den Winkel am Punkt Z teilen, der im Folgenden mit 
bezeichnet wird.
Außerdem sind die Winkel, die jeweils am Punkt A bzw. A' liegen gleich groß, da es sich bei ihnen um Stufenwinkel handelt. Diese sind die Winkel 
und 
.
Da es sich bei den beiden Dreiecken ZAB und ZA'B' also um ähnliche Dreiecke handelt, stimmen auch die Seitenverhältnisse der beiden Dreiecke überein.
| Aus dieser Bedingung können zwei Gleichungen aufgestellt werden.: | |
| Die erste Gleichung lautet: |  |
| Diese Gleichung kann durch eine Division durch die Strecke a+a' und eine Multiplikation mit der Strecke b umgestellt werden: |    |
| Außerdem gilt für die zweite Gleichung: |  |
| Auch diese Gleichung kann mithilfe einer Multiplikation mit der Strecke b und einer Division durch die Strecke y wie folgt umgeformt werden: |    |
Wie du siehst, befindet sich in beiden umgeformten Gleichungen der Bruch Deshalb kannst du die beiden Brüche, die jeweils auf der anderen Seite der ersten und zweiten Gleichung stehen, miteinander gleichsetzen. | |
Setzt man also jeweils die linken Seiten der beiden Gleichungen und  gleich, so ergibt sich: |  |
| Wird diese Gleichung anschließend mit der Strecke a+a' multipliziert und durch die Strecke x dividiert, so ergibt sich die Formel für den zweiten Strahlensatz: |    |
Damit ist der zweite Strahlensatz bewiesen. q.e.d. | |
.q. e. d. ist eine Abkürzung für den lateinischen Satz "Quod erat demonstrandum". Das bedeutet so viel wie "Was zu beweisen war" und steht in der Regel am Ende eines Beweises.
Zweiter Strahlensatz – Umkehrung
In diesem Abschnitt soll überprüft werden, ob der zweite Strahlensatz so wie der erste Strahlensatz umgekehrt werden kann.
Unter der Annahme, dass der zweite Strahlensatz umgekehrt werden kann, müsste für die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gelten:
Wenn gilt 
und 
,
dann verlaufen die beiden Geraden g und h, die die zwei sich im Punkt Z schneidende
Strahlen bzw. Geraden in den Punkten A, A', B und B' schneiden, parallel zueinander.
Um zu zeigen, dass die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes nicht gilt, würde es reichen, ein einziges Beispiel zu finden, in dem die Umkehrung nicht gültig ist.
Zeichne zunächst zwei Strahlen, die sich im Punkt Z schneiden.
Auf dem einen Strahl positionierst du die Punkte A und A', auf dem anderen Strahl soll der Punkt B' liegen. Zudem sollen die Punkte A' und B' auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
Die Ausgangssituation sieht folgendermaßen aus:
Da du die Längen der Strecken a, a' und b+b' abmessen kannst, kannst du die Länge für die Strecke x berechnen, wenn der Punkt B auf dem gleichen Strahl wie Punkt B' liegt und die Strecken x und y parallel verlaufen sollen.
Für die Formel der Strecke x gilt:
Im nächsten Schritt nimmst du einen Zirkel zur Hand und stellst seinen Radius auf die gerade ermittelte Länge der Strecke x. Anschließend zeichnest du einen Kreis mit dem Mittelpunkt A und dem gerade eingestellten Radius.
Das könnte dann folgendermaßen aussehen:
Wie du siehst, kann es passieren, dass der Kreis den Strahl, auf dem der Punkt B' liegt, an zwei Punkten schneidet. Benenne diese Punkte B und C.
Es lassen sich die beiden Strecken b und c einzeichnen:
Wenn man die beiden Strecken b und c separat in die oben aufgeführte Formel des zweiten Strahlensatzes einsetzt, ergibt sich mit beiden Strecken das festgelegte Verhältnis, da sie die gleiche Länge x haben.
Bereits auf den ersten Blick ist ersichtlich, dass die Strecke c nicht parallel zur Strecke y verläuft. Lediglich die Strecke b liegt parallel zur Strecke y.
Bei der Konstruktion ergibt sich also kein eindeutiger Punkt, der auf der Strecke b+b' liegt und das vorgegebene Streckenverhältnis einhält. Beide Punkte B und C erfüllen diese Kriterien.
Damit ist die allgemeine Gültigkeit der Umkehrung des zweiten Strahlensatzes widerlegt.
Merke: Beim zweiten Strahlensatz gilt die Umkehrung nicht uneingeschränkt. Allein mit der Formel des zweiten Strahlensatzes lässt sich also nicht nachweisen, dass zwei Geraden parallel zueinander verlaufen.
Zweiter Strahlensatz – Aufgaben
Super gemacht! Du hast im bisherigen Verlauf des Artikels einiges über die Theorie des zweiten Strahlensatzes gelernt. Zum Abschluss dieses Artikels kannst du nun die praktische Anwendung des zweiten Strahlensatzes anhand von drei Beispielaufgaben üben.
Aufgabe 1
Zwei sich im Punkt Z schneidende Strahlen werden von zwei parallel verlaufenden Geraden g und h geschnitten. Eine Skizze dieser Situation sieht folgendermaßen aus:
Berechne die Länge der türkis hervorgehobenen Strecke y, wenn für die Strecken x, a und a+a' gilt:
, 
und 
Lösung
Zuerst muss die Formel 
nach der Strecke y aufgelöst werden. Dazu wird zunächst der Kehrwert der Gleichung gebildet und dieser anschließend mit der Strecke a+a' multipliziert. Es ergibt sich für die Strecke y:
In diese Gleichung werden als nächstes die Werte der drei bekannten Strecken eingesetzt:
Die Strecke y ist demnach 6cm lang.
Aufgabe 2
Zwei sich im Punkt Z schneidende Geraden werden wiederum von zwei parallel verlaufenden Geraden g und h geschnitten. Die dazugehörige Skizze sieht so aus:
Berechne die Länge der türkis hervorgehobenen Strecke b , wenn für die Strecken x, y und b' gilt:
, 
und 
Lösung
Als erstes muss die Formel 
nach der Strecke b aufgelöst werden. Dafür wird die Gleichung mit der Strecke x multipliziert.
Es resultiert:
Im nächsten Schritt werden die Werte der Längen für die drei bekannten Strecken in die Gleichung eingesetzt:
Die Strecke b ist genau 7,5cm lang.
Aufgabe 3
Tom möchte wissen, wie hoch das Haus ist, in dem er wohnt. Dazu misst er die Länge des Schattens, den das Haus zur Mittagszeit wirft. Der Schatten ist zu diesem Zeitpunkt genau 10m lang. Tom selbst ist 1,80m groß.
Um die Höhe des Hauses mithilfe des zweiten Strahlensatzes zu berechnen, stellt sich Tom genau so hin, dass das Ende des Schattens, den er selbst wirft, und das Ende des Hausschattens übereinstimmen.
Die Entfernung zwischen Tom und dem Haus beträgt 8m, da der Schatten von Tom 2m lang ist.
Bestimme die Höhe des Hauses, in dem Tom wohnt.
Lösung
Zunächst ist es sinnvoll, eine Skizze der Situation anzufertigen:
Die Strecke y stellt die Höhe des Hauses dar, die gesucht ist. Bei der Strecke x handelt es sich um die Körpergröße von Tom.
Die Strecke a ist die Länge des Schattens von Tom, die Strecke a' stellt die Entfernung zwischen Tom und dem Haus dar. Deshalb ist die Strecke a+a' die Länge des Hausschattens.
Um die Höhe des Hauses zu bestimmen, muss zunächst die Formel des zweiten Strahlensatzes 
nach der Strecke y aufgelöst werden.
Dazu wird zunächst der Kehrwert der Gleichung gebildet und dieser anschließend mit der Strecke a+a' multipliziert. Es ergibt sich für die Strecke y:
Anschließend werden die bekannten Längen in die Gleichung eingesetzt:
Das Haus, in dem Tom wohnt, ist 9m hoch.
2. Strahlensatz - Das Wichtigste auf einen Blick
- Bei dem zweiten Strahlensatz handelt es sich um eine Verhältnisgleichung.
- Die Formeln für den zweiten Strahlensatz lauten:
und 
- Abhängig davon welche Strecke gesucht wird, können die beiden Formeln nach der entsprechenden Strecke umgestellt werden.
- Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gilt – im Gegensatz zur Umkehrung des ersten Strahlensatzes – nicht immer.
- Voraussetzung für die Anwendung des zweiten Strahlensatz ist, dass sich zwei Strahlen bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden. Außerdem müssen sie von zwei weiteren, parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Zweiter Strahlensatz
Wie lauten die beiden Strahlensätze?
Der erste Strahlensatz lautet: Das Verhältnis zwischen den beiden kurzen Strahlstrecken ist genauso groß wie das Verhältnis zwischen den beiden langen Strahlstrecken.
Der zweite Strahlensatz lautet: Das Verhältnis zwischen der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke ist genauso groß wie das Verhältnis der langen Strahlstrecke desselben Strahls und der langen Parallelstrecke.
Wann benutzt man den zweiten Strahlensatz?
Man benutzt den zweiten Strahlensatz, wenn zwei sich schneidende Strahlen bzw. Geraden von zwei weiteren Geraden geschnitten werden.
Man kann testen, ob es sich bei den beiden weiteren Geraden um parallele Geraden handelt.
Wenn man schon weiß, dass es sich um parallele Geraden handelt, kann man unbekannte Streckenlängen berechnen. Der zweite Strahlensatz schließt – im Gegensatz zum ersten Strahlensatz – die Längen der Parallelstrecke in die Berechnung mit ein.
Kann man den 2. Strahlensatz umkehren?
Nein, der zweite Strahlensatz lässt sich nicht unbedingt umkehren. Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes kann gelten, sie gilt aber nicht immer.
Wie berechnet man einen Strahlensatz?
Den zweiten Strahlensatz berechnet man folgendermaßen:
Die beiden sich schneidenden Strahlen bzw. Geraden werden dadurch, dass sie von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden geschnitten werden, in Teilstrecken unterteilt. Außerdem entstehen zwei Strecken zwischen ihnen.
Die entstandenen Strecken werden im zweiten Strahlensatz miteinander ins Verhältnis gesetzt.
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