Additionssatz

Additionssatz – Einfach Erklärung

Hier lernst du, wie du den Additionssatz mithilfe einer Vierfeldertafel herleitest und wie du ihn beweist.

Herleitung mit der Vierfeldertafel

Du kannst eine Vierfeldertafel erstellen, um herauszufinden, wie wahrscheinlich es ist, dass es an mindestens einem der beiden Tage regnet.

Zuerst werden die Bezeichnungen für die Ereignisse definiert:

$\begin{array}{rcl}R& =& Regen\overline{R}=keinRegen\\ S& =& Samstag\overline{S}=nichtSamstag(alsoSonntag)\end{array}$

Um nun auszurechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es am Samstag oder Sonntag regnet, benötigst du die Wahrscheinlichkeit für alle Felder, außer $P(\overline{S}\cap \overline{R})$:

$EsregentanmindestenseinemderbeidenTage=P\left(S\right)+P\left(R\right)=0,5+0,4$

Dafür ergibt sich Folgendes in der Vierfeldertafel.

Abbildung 1: Vierfeldertafel zur Herleitung des Additionssatzes

Da bei dieser Rechnung P(S∩R) doppelt vorhanden ist, musst du es nur einmal abziehen. Demnach sieht deine Formel wie folgt aus:

$\begin{array}{rcl}P(S\cup R)& =& P\left(S\right)+P\left(R\right)-P(S\cap R)\\ P(S\cup R)& =& 0,5+0,4-0,15=0,75=75\%\end{array}$

Damit hast du die Formel für den Additionssatz.

Additionssatz – Beweis

Ob die Rechnung zu dem Wochenende stimmt, kannst du beweisen, indem du die drei Felder, die in der Vierfeldertafel markiert sind, einfach manuell zusammenrechnest. Genauer gesagt rechnest du alle Ereignisse zusammen, in denen entweder Regen oder Samstag vorkommt, also alle außer $P(\overline{R}\cap \overline{S})$:

$P(R\cup S)=P(R\cap S)+P(R\cap \overline{S})+P(\overline{R}\cap S)=0,15+0,25+0,35=0,75=75\%$

Es kommt dasselbe raus, also richtig! Damit hast du gleichzeitig auch bewiesen, dass der Additionssatz stimmt.

Additionssatz für 3 Ereignisse

Kannst du diese Formel auch für 3 Ereignisse anwenden?

Sarah leidet von Zeit zu Zeit unter Migräne. Die Wahrscheinlichkeit für einen Migräneanfall liegt bei 20 %.

Wie wahrscheinlich ist es, dass es an mindestens einem Tag regnet oder Sarah Migräne hat?

Eine Vierfeldertafel hilft hier leider nicht mehr weiter, weil du es jetzt nicht mehr mit 2, sondern mit 3 Ereignissen zu tun hast. Es würden also 9 Felder entstehen. Sinnvoller ist ein Venn-Diagramm.

Zeichne dir ein Venn-Diagramm mit den Elementen S, R und M (für Migräne). Die Kreise müssen einander so überlappen, dass sie in der Mitte eine gemeinsame Menge haben.

Abbildung 2: Das Venn-Diagramm

Du kannst wieder ganz einfach beginnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten von M, R und S addierst:

$P(M\cup R\cup S)=P\left(M\right)+P\left(R\right)+P\left(S\right)$

Ein Blick auf das Venn-Diagramm zeigt dir, dass du die Schnittmengen aus jeweils zwei Elementen immer doppelt hast und somit einmal abziehen musst:

$P(M\cup R\cup S)=P\left(M\right)+P\left(R\right)+P\left(S\right)-P(M\cap R)-P(M\cap S)-P(R\cap S)$

Bisher ist das nichts Ungewöhnliches. Aber Achtung! Wie oft hast du die Schnittmenge aus allen drei Elementen (in der Mitte) addiert und wieder abgezogen?

Du hast sie 3-mal addiert und auch 3-mal wieder abgezogen, das heißt, die Schnittmenge fehlt jetzt und du musst sie ergänzen:

$P(M\cup R\cup S)=P\left(M\right)+P\left(R\right)+P\left(S\right)-P(M\cap R)-P(M\cap S)-P(R\cap S)+P(M\cap R\cap S)$

Da gerade in Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten der Produktsatz genannt wurde, gibt es hier eine kurze Erklärung dazu.

Additionssatz – Aufgaben

Hier findest du einige Aufgaben, um das Gelernte zum Additionssatz zu üben.