Fehler Hypothesentest

Die Nullhypothese $$H_0:90\,\%\text{ der Weltbevölkerung haben braune Augen}$$ soll überprüft werden. Es wird eine Stichprobe in einer Stadt in Deutschland durchgeführt. Die Alternativhypothese des Hypothesentests ist: $$H_1:\text{weniger als }90\,\%\text{ der Weltbevölkerung haben braune Augen}$$

Das Ergebnis der Stichprobe liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

Jetzt ist es aber so, dass tatsächlich 90 Prozent der Weltbevölkerung braune Augen haben. In Deutschland selber ist die Verteilung anders. Dort ist zwar auch braun die häufigste Augenfarbe, aber der Prozentsatz ist deutlich geringer.

In diesem Beispiel entsteht ein Fehler 1. Art, da die Stichprobe nicht passend zur Grundgesamtheit ist.

Ein Losverkäufer behauptet, dass 50 Prozent seiner Lose Gewinne sind. Du vermutest weniger Gewinne und möchtest dies mit einem Hypothesentest überprüfen. Die Nullhypothese lautet $$H_0:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt }50\,\%$$

Die Alternativhypothese ist

$$H_1:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist kleiner als }50\,\%$$

Du ziehst 10 Lose und bestimmst den Annahme- und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese mit dem Signifikanzniveau \(\alpha=0,05\). Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest. Der Annahmebereich ist \( A=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) und der Ablehnungsbereich \( \overline{A}=\{0,1\}\). Von deinen gezogenen 10 Losen sind genau 3 Gewinne.

Du nimmst die Nullhypothese an.

Der Losverkäufer weiß aber, dass seine Aussage falsch ist. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt wirklich weniger als 50 Prozent.

Ein möglicher Grund für diesen Fehler 2. Art kann die geringe Stichprobengröße sein.

Aufgabe 1

Eine große Studie hat ergeben, dass 60 Prozent der Schülerinnen und Schüler Englisch mögen. Frau Schmidt möchte herausfinden, ob diese Hypothese auch für ihre Schule zutrifft und befragt 100 Schülerinnen und Schüler der Schule.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

Lösung

Zuerst werden die Nullhypothese und die Alternativhypothese aufgestellt.

\begin{align}H_0:\,p=0,6\\H_1:\,p\neq0,6\end{align}

Die angegebene Wahrscheinlichkeit in der Hypothese ist die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein* zufällig ausgewählte*r Schüler*in Englisch mag. Das Signifikanzniveau ist \(\alpha=0,05\).

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl wirklich 60 Prozent der Schülerinnen und Schüler Englisch mögen.

Du bestimmt den Ablehnungsbereich. Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest.

Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) ist $$\overline{A}=\{0,\dots,49,70,\dots,100\}$$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Element aus dem Ablehnungsbereich eintritt. Du kannst jetzt die Wahrscheinlichkeit für jedes Element aus dem Ablehnungsbereich berechnen und dann addieren. Der Ablehnungsbereich ist allerdings groß. Hier bietet es sich auf jeden Fall an, die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu verwenden. Es ist

$$P(Fehler\,1.\,Art)=P(X\leq49)+P(X\geq70)$$

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq49)\) kannst Du direkt aus der Tabelle ablesen. Es ist

$$P(X\leq49)=0,01676$$

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq70)\) formst Du um, um aus der Tabelle ablesen zu können.

\begin{align}P(X\geq70)&=1-P(X<70) \\ &=1-P(X\leq69)\\&=1-0,97522 \\ &=0,02478\end{align}

Jetzt addierst Du diese beiden Wahrscheinlichkeiten und erhältst:

\begin{align} P(Fehler\,1.\,Art)&=0,01676+0,02478\\&=0,26456 \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen, also anzunehmen, dass nicht 60 Prozent der Schülerinnen und Schüler Englisch mögen, obwohl dies so ist, ist 0,26456.

Schau Dir noch einmal das Beispiel von eben an. Ein Fehler 2. Art entsteht, wenn das Ergebnis der Stichprobe im Annahmebereich der Nullhypothese liegt, obwohl sie falsch ist.

Um die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers zu berechnen, müsstet Du wissen, wie viele Schüler*innen wirklich Englisch mögen. Du bräuchtest also eine Alternativwahrscheinlichkeit in der Alternativhypothese.

Aufgabe 2

Eine Druckerei gibt an, dass bei einem Prozent der Drucke Fehler entstehen. Ein Kunde ist unzufrieden und meint, dass er mehr Fehldrucke erhalten hat. Deswegen soll seine Bestellung mit einer Stichprobe überprüft werden.

a) Stelle die Nullhypothese und die Alternativhypothese des Hypothesentests auf.

b) Beschreibe, wann ein Fehler 1. Art und wann ein Fehler 2. Art auftritt.

Lösung

a)

Die Nullhypothese lautet:

$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit eines Fehldrucks ist }p=0,01$$

Die Alternativhypothese ist:

$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit eines Fehldrucks ist }p>0,01$$

Du kannst die Hypothesen auch auf andere Art formulieren. Inhaltlich sollten sie aber dies aussagen.

b)

Ein Fehler 1. Art entsteht, wenn aufgrund der Ergebnisse der Stichprobe davon ausgegangen wird, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehldruck größer als 0,01 ist, sie aber wie von der Druckerei angegeben genau 0,01 ist. Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.

Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Fehldruck aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe weiterhin mit 0,01 angegeben wird, obwohl sie größer als 0,01 ist. Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist.

Aufgabe 3

Eine Jugendzeitschrift schreibt: "30 Prozent der Schüler*innen haben Sport als Lieblingsfach." Dies soll mit einer Stichprobe und Hypothesentest mit Signifikanzniveau \(\alpha=0,05\) überprüft werden.

Die Hypothesen lauten:

\begin{align}H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit für Sport als Lieblingsfach ist }p=0,3\\H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für Sport als Lieblingsfach ist }p\neq0,3\end{align}

Es werden 1000 Schülerinnen und Schüler nach ihrem Lieblingsfach befragt.

a) Bestimme den Annahme- sowie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

Lösung

a)

Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest. Gesucht sind die kritischen Werte \(k_1,k_2\), sodass gilt:

\begin{align}P(X\leq k_1)\leq0,025\\ P(X\geq k_2)\leq0,025\end{align}

Es ist

\begin{align}P(X\geq k_2)\leq0,025\\ \Leftrightarrow 1-P(X\leq k_2-1)\leq0,025\\\Leftrightarrow P(X\leq k_2-1)\geq 0,975 \end{align}

Ablesen aus der Tabelle ergibt

\begin{align}k_1=271\\k_2=330\end{align}

Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) ist

$$\overline{A}=\{0,\dots,271,330,\dots,1000\}$$

Der Annahmebereich \(A\) ist

$$A=\{272,\dots,329\}$$

b)

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art setzt sich zusammen aus \( P(X\leq271\) und \( P(X\geq330)\). Hier ist wieder

\begin{align} P(X\geq300)&=1-P(X<330)\\&=1-P(X\leq329) \end{align}

Ablesen aus der Tabelle ergibt

\begin{align}P(X\leq271)=0,02381\\P(X\leq329)=0,97842\end{align}

Daraus folgt

\begin{align}P(X\geq330)&=1-0,97842\\&=0,02158\end{align}

Schließlich ist

\begin{align}P(Fehler\,1.\,Art)&=P(X\leq271)+P(X\geq330)\\&=0,02381+0,02158\\&=0,04539\end{align}

Die Wahrscheinlichkeit bei diesem Hypothesentest einen Fehler 1. Art zu begehen beträgt 0,04539.

Hier bietet es sich zum Schluss immer an einmal zu überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art kleiner als das Signifikanzniveau ist. Nur dann kann die Berechnung stimmen.