Multiplikationssatz

Multiplikationssatz – Erklärung

Bei dem Szenario von Sarah, die einen Wochenendurlaub machen will, handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, weil die Regenwahrscheinlichkeiten für beide Tage unterschiedlich sind. Das heißt, sie hängen davon ab, ob es Samstag oder Sonntag ist.

Wiederholung zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Genaueres zur bedingten Wahrscheinlichkeit findest du im gleichnamigen Artikel. Kurz gesagt ist die bedingte Wahrscheinlichkeit folgendes:

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass es am Samstag regnet, liegt – wie oben erwähnt – bei 30 %. Du schreibst also:

$P_S\left(R\right)=0,3$

Ausgesprochen heißt das: "Es regnet zu 30 % unter der Bedingung, dass es Samstag ist."

Möchtest du die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, gibt es dafür eine Formel.

Angenommen, du weißt nicht, dass es am Samstag zu 30 % regnet. Dafür weißt du aber, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Samstag und Regen 15 % beträgt.

Multiplikationssatz – Herleitung

Zuerst benötigst du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit, die bereits oben besprochen wurde:

$P_B\left(A\right)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$

Wenn du sie umstellst, erhältst du Folgendes:

$\begin{array}{rcl}{P}_B\left(A\right)& =& \frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}\overline{)·P\left(B\right)}\\ & & \\ P(A\cap B)& =& P_B\left(A\right)·P\left(B\right)\end{array}$

Damit hast du den Multiplikationssatz.

Hier handelt es sich um den speziellen Multiplikationssatz. Den wendest du an, wenn die Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängig sind.

Hast du hingegen stochastisch unabhängige Wahrscheinlichkeiten, wie zum Beispiel, dass es an beiden Tagen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 regnet, dann kannst du die Formel vereinfachen:

$P(A\cap B)=P\left(A\right)·P\left(B\right)$

Im Prinzip unterscheiden sich die Formeln kaum. Daher wird dieser Unterschied auch meist nicht erwähnt und der spezielle Produktsatz in der Regel angewendet. Die grundlegende Vorgehensweise ist immer dieselbe:

Zum besseren Verständnis siehst du hier noch eine Gegenüberstellung der beiden Formeln:

Der Produktsatz im Laplace-Experiment

Für ein Laplace-Experiment gilt diese Formel gleichermaßen. Hier kannst du sogar den einfachen Multiplikationssatz anwenden.

Kannst du aus dem oben genannten Beispiel mit dem Wetter ein Laplace-Experiment machen?

Multiplikationssatz – Beweis

Die Formeln für den Multiplikationssatz und die bedingte Wahrscheinlichkeit kennst du jetzt. Doch warum werden die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert?

Baumdiagramm

Um die Gültigkeit der Formel zu beweisen, kannst du mit einem Baumdiagramm anfangen. Als Grundlage kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der oben gestellten Aufgabe nehmen.

Abbildung 1: Baumdiagramm

Der Additionssatz sagt dir, dass du Wahrscheinlichkeiten, die du mit "oder" verknüpfen kannst, miteinander addieren darfst. In diesem Fall ist es Samstag oder Sonntag. Beides gleichzeitig geht nicht. Also kannst du die zugehörigen Pfade miteinander addieren. Zusätzlich weißt du schon, dass alle Wahrscheinlichkeiten einer hierarchischen Ebene zusammen immer 1 ergeben müssen, also

$$\begin{gathered} P\left(S\right)+P\left(\overline{S}\right)=1 \\ {P}_S\left(R\right)+P_S\left(\overline{R}\right)+P_{\overline{S}}\left(R\right)+P_{\overline{S}}\left(\overline{R}\right)=1 \end{gathered}$$

Demnach rechnest du erst die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten mithilfe des Produktsatzes aus:

$$\begin{gathered} P(S\cap R)=P\left(S\right)·P_S\left(R\right)=0,5·0,3=0,15 \\ P(S\cap \overline{R})=P\left(S\right)·P_S\left(\overline{R}\right)=0,5·0,7=0,35 \\ P(\overline{S}\cap R)=P\left(\overline{S}\right)·P_{\overline{S}}\left(R\right)=0,5·0,5=0,25 \\ P(\overline{S}\cap \overline{R})=P\left(\overline{S}\right)·P_{\overline{S}}\left(\overline{R}\right)=0,5·0,5=0,25 \end{gathered}$$

Wenn du jetzt die Ergebnisse addierst, müsste die Summe 1 ergeben:

${P}_S\left(R\right)+P_S\left(\overline{R}\right)+P_{\overline{S}}\left(R\right)+P_{\overline{S}}\left(\overline{R}\right)=10,15+0,35+0,25+0,25=1$

Das Ergebnis entspricht der Erwartung. Also ist der Multiplikationssatz korrekt.

Im folgenden Baumdiagramm kannst du den gerade besprochenen Rechenweg noch einmal visuell nachvollziehen.

Abbildung 2: Baumdiagramm zum Beweis des Multiplikationssatzes

Für die Herleitung des Multiplikationssatzes hast du noch eine andere Rechenregel benötigt, nämlich den Additionssatz:

Vierfeldertafel

Anstelle des Baumdiagramms, kannst du den Multiplikationssatz auch mit einer Vierfeldertafel beweisen.

Eine Vierfeldertafel ist in jeweils zwei Spalten für die Ereignisse und zwei Zeilen für deren Ausprägungen aufgeteilt. In den vier Feldern multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse. Demnach schreibst du in die rechte Spalte und untere Zeile die Wahrscheinlichkeit aus der jeweiligen Zeile oder Spalte. Ganz unten rechts kommt dann noch die Summe aus allen Ereignissen dazu, die immer 1 ergeben muss.

Nun rechnest du die Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Multiplikationssatzes aus und trägst sie in die entsprechenden Felder ein. Geht die Rechnung am Ende der Tabelle auf, ist der Multiplikationssatz richtig.

Multiplikationssatz – Aufgaben

Hier folgen einige Aufgaben, um das Gelernte zu üben.