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Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es Samstag ist und es regnet, kannst du mit dem Multiplikationssatz, auch Produktsatz genannt, berechnen.
Multiplikationssatz – Erklärung
Bei dem Szenario von Sarah, die einen Wochenendurlaub machen will, handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, weil die Regenwahrscheinlichkeiten für beide Tage unterschiedlich sind. Das heißt, sie hängen davon ab, ob es Samstag oder Sonntag ist.
Wiederholung zur bedingten Wahrscheinlichkeit
Genaueres zur bedingten Wahrscheinlichkeit findest du im gleichnamigen Artikel. Kurz gesagt ist die bedingte Wahrscheinlichkeit folgendes:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben. Also bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass es am Samstag regnet, liegt – wie oben erwähnt – bei 30 %. Du schreibst also:
Ausgesprochen heißt das: "Es regnet zu 30 % unter der Bedingung, dass es Samstag ist."
Möchtest du die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, gibt es dafür eine Formel.
Um die bedingte Wahrscheinlichkeit auszurechnen, benötigst du die totale Wahrscheinlichkeit der Bedingung B und die gemeinsame Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse A∩B.
Angenommen, du weißt nicht, dass es am Samstag zu 30 % regnet. Dafür weißt du aber, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Samstag und Regen 15 % beträgt.
In diesem Fall kannst du die bedingte Wahrscheinlichkeit für Regen am Samstag – also Ps(R) – einfach ausrechnen.
Du hast gegeben:
- Die Wahrscheinlichkeit für Samstag: P(S)=0,5
- Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit für Samstag und Regen: P(S∩R)=0,15
Da in diesem Beispiel zwei Tage vorkommen, die jeweils (theoretisch) gleich lang sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit pro Tag 0,5 (also 50 %).
Diese Werte kannst du nun einfach in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen:
Es kommen die bereits bekannten 30 % raus, also richtig gerechnet!
Multiplikationssatz – Herleitung
Zuerst benötigst du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit, die bereits oben besprochen wurde:
Wenn du sie umstellst, erhältst du Folgendes:
Damit hast du den Multiplikationssatz.
Der Multiplikationssatz sagt aus, dass zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse multipliziert werden müssen.
Hier handelt es sich um den speziellen Multiplikationssatz. Den wendest du an, wenn die Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängig sind.
Dass es am Samstag mit der Wahrscheinlichkeit 30 % regnet, ist stochastisch abhängig. Die Regenwahrscheinlichkeit ist abhängig davon, dass es Samstag ist, also , weil am Sonntag eine andere Wahrscheinlichkeit für Regen gilt.
Hast du hingegen stochastisch unabhängige Wahrscheinlichkeiten, wie zum Beispiel, dass es an beiden Tagen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 regnet, dann kannst du die Formel vereinfachen:
Im Prinzip unterscheiden sich die Formeln kaum. Daher wird dieser Unterschied auch meist nicht erwähnt und der spezielle Produktsatz in der Regel angewendet. Die grundlegende Vorgehensweise ist immer dieselbe:
Multipliziere Wahrscheinlichkeit A mit Wahrscheinlichkeit B (oder eben PA(B), je nachdem ob B bedingt ist oder nicht).
Zum besseren Verständnis siehst du hier noch eine Gegenüberstellung der beiden Formeln:
Einfacher Multiplikationssatz | Spezieller Multiplikationssatz | |
Formel | ||
Wann? | Bei einfachen Wahrscheinlichkeiten | Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten |
Der Produktsatz im Laplace-Experiment
Für ein Laplace-Experiment gilt diese Formel gleichermaßen. Hier kannst du sogar den einfachen Multiplikationssatz anwenden.
Ein Laplace Experiment ist ein (mehrstufiges) Zufallsexperiment, bei dem alle elementaren Ereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.
Kannst du aus dem oben genannten Beispiel mit dem Wetter ein Laplace-Experiment machen?
Wie bereits erwähnt, sind bei einem Laplace-Experiment alle Wahrscheinlichkeiten gleich groß. Bei den Tagen ist das bereits der Fall, da sie beide die gleiche Wahrscheinlichkeit von 0,5 haben. Würde es also an beiden Tagen ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 regnen, dann wäre das ein Laplace-Experiment.
Du könntest es aber auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 regnen lassen. Hauptsache, die Wahrscheinlichkeiten sind an beiden Tagen gleich.
Multiplikationssatz – Beweis
Die Formeln für den Multiplikationssatz und die bedingte Wahrscheinlichkeit kennst du jetzt. Doch warum werden die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert?
Baumdiagramm
Um die Gültigkeit der Formel zu beweisen, kannst du mit einem Baumdiagramm anfangen. Als Grundlage kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der oben gestellten Aufgabe nehmen.
Der Additionssatz sagt dir, dass du Wahrscheinlichkeiten, die du mit "oder" verknüpfen kannst, miteinander addieren darfst. In diesem Fall ist es Samstag oder Sonntag. Beides gleichzeitig geht nicht. Also kannst du die zugehörigen Pfade miteinander addieren. Zusätzlich weißt du schon, dass alle Wahrscheinlichkeiten einer hierarchischen Ebene zusammen immer 1 ergeben müssen, also
Demnach rechnest du erst die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten mithilfe des Produktsatzes aus:
Wenn du jetzt die Ergebnisse addierst, müsste die Summe 1 ergeben:
Das Ergebnis entspricht der Erwartung. Also ist der Multiplikationssatz korrekt.
Im folgenden Baumdiagramm kannst du den gerade besprochenen Rechenweg noch einmal visuell nachvollziehen.
Nun kannst du die Frage beantworten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es Samstag ist und es regnet.
Du hast 2 mögliche Tage, also ist die Wahrscheinlichkeit für Samstag 0,5. Die Regenwahrscheinlichkeit am Samstag beträgt 0,3. Diese Wahrscheinlichkeit ist stochastisch vom Ereignis Samstag abhängig, also benötigst du den speziellen Multiplikationssatz. Die Formel dazu steht weiter oben.
Jetzt kannst du die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es am Samstag regnet, also PS(R) und die Wahrscheinlichkeit, dass es Samstag ist, also P(S) einsetzen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass es Samstag ist und regnet, liegt also bei 15 %.
Für die Herleitung des Multiplikationssatzes hast du noch eine andere Rechenregel benötigt, nämlich den Additionssatz:
Der Additionssatz
Der Additionssatz besagt, dass du Wahrscheinlichkeiten, die du mit "oder" verknüpfen kannst, miteinander addieren darfst. Allerdings musst du beachten, dass du die Schnittmenge aus diesen Wahrscheinlichkeiten einmal wieder abziehen musst, da sie sonst doppelt vorkommen. Die Formel sieht so aus:
Eine detaillierte Erklärung zum "Additionssatz" findest du im entsprechenden Artikel.
Somit könntest du den Additionssatz anwenden, wenn du wissen willst, mit welcher Wahrscheinlichkeit es am Samstag oder Sonntag (oder an beiden Tagen) regnet. Der Einfachheit halber kannst du davon ausgehen, dass es an beiden Tagen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 regnet.
Du setzt also die Werte in die Formel für den Additionssatz ein
und erhältst als Ergebnis, dass es mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % an mindestens einem der Tage regnet.
Vierfeldertafel
Anstelle des Baumdiagramms, kannst du den Multiplikationssatz auch mit einer Vierfeldertafel beweisen.
Genaueres zur "Vierfeldertafel" findest du im entsprechenden Artikel.
Eine Vierfeldertafel ist in jeweils zwei Spalten für die Ereignisse und zwei Zeilen für deren Ausprägungen aufgeteilt. In den vier Feldern multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse. Demnach schreibst du in die rechte Spalte und untere Zeile die Wahrscheinlichkeit aus der jeweiligen Zeile oder Spalte. Ganz unten rechts kommt dann noch die Summe aus allen Ereignissen dazu, die immer 1 ergeben muss.
Nun rechnest du die Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Multiplikationssatzes aus und trägst sie in die entsprechenden Felder ein. Geht die Rechnung am Ende der Tabelle auf, ist der Multiplikationssatz richtig.
Der Multiplikationssatz findet sich auch in der linearen Algebra. Die Bezeichnung ist die gleiche, aber der Multiplikationssatz zur Berechnung der Determinante beinhaltet eine völlig andere Formel. Gerne kannst du dich im Artikel "Determinante" dazu reinlesen. Auch zu "Matrizen" gibt es einen entsprechenden Artikel.
Multiplikationssatz – Aufgaben
Hier folgen einige Aufgaben, um das Gelernte zu üben.
Aufgabe 1
In einem Secondhandladen bestehen 60 % des Sortiments aus Markenware. Davon werden im Schnitt 30 % verkauft. Berechne, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Kunde einen Markenartikel kauft.
Lösung
Aus dieser Aufgabe kannst du zwei Wahrscheinlichkeiten herauslesen. Die Wahrscheinlich für einen Markenartikel und die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Markenartikel verkauft wird .
Auf diese Werte kannst du den Multiplikationssatz anwenden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Markenartikel kauft, liegt also bei 18 %.
Der Multiplikationssatz findet sich auch in der linearen Algebra. Die Bezeichnung ist die Gleiche, aber der Multiplikationssatz zur Berechnung der Determinante beinhaltet eine völlig andere Formel. Gerne kannst du dich im Artikel "Determinante" dazu reinlesen. Auch zu "Matrizen" gibt es einen entsprechenden Artikel.
Aufgabe 2
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen No-Name-Artikel kauft, liegt bei 32 %. Wie viele der No-Name-Artikel werden im Durchschnitt verkauft?
Lösung
Gegeben hast du hier die Wahrscheinlichkeit und aus der vorherigen Aufgabe weißt du, dass 60 % des Sortiments aus Markenartikeln bestehen, also ist .
Setzt du diese Werte in den Multiplikationssatz ein und formst ihn um, erhältst du auf folgende Lösung:
Es werden also 80 % der No-Name-Artikel verkauft.
Aufgabe 3
Wie viel des gesamten Sortiments wird nicht verkauft?
Laut dem Additionssatz darfst du voneinander unabhängige Wahrscheinlichkeiten addieren.
Lösung
Von den Markenartikeln bleiben 70 % liegen und von den No-Name-Artikeln 20 %. Das sind beides bedingte Wahrscheinlichkeiten. Du kannst hier also nicht einfach 70 % + 20 % rechnen.
Der richtige Rechenweg sieht so aus:
Es werden also 50 % des gesamten Sortiments verkauft.
Multiplikationssatz - Das Wichtigste
- Laut dem Multiplikationssatz darfst du voneinander abhängige Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auszurechnen. Die Formel lautet:
- Für stochastisch unabhängige Ereignisse und Laplace-Experimente kannst du die Formel vereinfachen:
- Die Gültigkeit des Multiplikationssatzes kannst du entweder mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel beweisen.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Multiplikationssatz
Wann wendet man den Multiplikationssatz an?
Den Multiplikationssatz kannst du in mehrstufigen Zufallsexperimenten anwenden, wenn du die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses wissen möchtest. Dazu multiplizierst du die einfachen oder bedingten Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse miteinander.
Wann wendet man den Additionssatz an und wann den Multiplikationssatz?
Den Multiplikationssatz wendest du an, wenn du 2 oder mehr Ereignisse mit "und" beziehungsweise dem Schnittmengenzeichen verbinden kannst. Der Additionssatz hilft dir, wenn du 2 oder mehr Ereignisse mit "oder" oder dem Vereinigungszeichen verbindest.
Wie multipliziert man Wahrscheinlichkeiten?
Der Multiplikationssatz sagt aus, dass du Wahrscheinlichkeiten, die du mit einem "und" verbinden kannst, miteinander multiplizieren darfst, um zur Endwahrscheinlichkeit zu gelangen.
Warum werden Wahrscheinlichkeiten multipliziert?
Wahrscheinlichkeiten, die unter einer Bedingung stehen, kannst du nicht addieren, weil du sonst die ganze Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses erhalten würdest und nicht nur die gesuchte Schnittmenge aus 2 oder mehr Ereignissen.
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