Permutation mit Wiederholung: Erklärung

Q: Wann wird von einer Permutation mit Wiederholung gesprochen?

Es handelt sich um eine Permutation mit Wiederholung , wenn nicht alle angeordneten Elemente einer Menge voneinander unterscheidbar sind.

Q: Wie wird eine Permutation mit Wiederholung berechnet?

Die Fakultät aller vorhandenen Elemente n! wird durch das Produkt der Fakultäten der unterschiedlichen Elemente k! geteilt.

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Permutation mit Wiederholung Flaticon Urne mit Kugeln StudySmarter

Kombinatorik Grundlagenwissen – Permutationen

Was genau verbirgt sich denn hinter dem Wort "Permutation“ eigentlich? Es ist einer von vielen Begriffen, die in der Kombinatorik zu tun auftauchen.

Permutationen – Definition

Der Begriff "Permutation" ist abgeleitet von dem lateinischen Wort "permutare", was so viel wie "vertauschen", "umtauschen" oder "wechseln" heißt. Somit kann die Permutation als mögliche Anordnung verschiedener Elemente, wie etwa Kugeln, verstanden werden.

Als Permutation wird jede mögliche Anordnung von n verschiedenen Elementen aus einer Menge von Elementen bezeichnet.

In der Kombinatorik werden dabei zwei mögliche Permutationen unterschieden. Eine Übersicht im Gesamtkontext der Abzählmethoden siehst Du in der folgenden Abbildung 1.

Noch mehr Inhalte zu den Themenbereichen Kombinatorik, Variation, Kombination und Permutation ohne Wiederholung findest Du in den entsprechenden Erklärungen auf StudySmarter.

Es gibt demnach zwei verschiedene Permutationen:

Permutation ohne Wiederholung
Permutation mit Wiederholung

Was unterscheidet diese beiden Formen von Permutationen?

Permutationen – Unterscheidung

Ausschlaggebend dafür, in welche Kategorie beispielsweise Anordnung von Urnenkugeln eingeteilt werden können, ist die Frage danach, ob Elemente mehrfach vorkommen oder nicht. Je nachdem, ob alle n Elemente einer Menge von n Elementen voneinander unterscheidbar, oder einige Elemente gleich sind, wird in die jeweilige Kategorie eingeteilt.

Für einen schnellen Überblick der Unterschiede zwischen Permutation mit Wiederholung und Permutation ohne Wiederholung siehst Du hier eine kurze Übersicht:

Permutation mit Wiederholung	Permutation ohne Wiederholung
Objekte können mehrfach vorkommen, bzw. sind nicht alle voneinander zu unterscheiden	Objekte sind jeweils nur einmal vorhanden, also alle voneinander unterscheidbar
Menge von 3 Kugeln. Abbildung 2: Doppelte blaue Kugeln	Menge von 3 Kugeln. Abbildung 3: Verschiedenfarbige Kugeln

Mehr Informationen und Inhalte zum Thema Permutation ohne Wiederholung findest Du in einer eigenen Erklärung.

Permutation mit Wiederholung – Erklärung

Wie Du bereits in der Definition von Permutationen und in der Tabelle gesehen hast, werden bei der Frage nach den Anordnungen immer alle verfügbaren Elemente (z. B. Kugeln in einer Urne) genutzt. Lediglich die Anzahl der mehrfach vorkommenden Elemente unterscheidet sich.

Eine Permutation mit Wiederholung ist eine mögliche Anordnung von n Elementen einer Menge n, die auch eine Anzahl von k identischen Elementen aufweist. Eine Vertauschung der k identischen Elementen untereinander führt zu keiner neuen Permutation.

Mehrfach vorkommende Elemente, wie z. B. Kugeln, können also vertauscht werden, ohne dass eine neue Anordnungsmöglichkeit entsteht. Wie lässt sich das in der Praxis veranschaulichen?

Es geht dabei also um das Vertauschen bzw. das mehrfache Vorkommen mancher Elemente. Verdeutlicht an einem Beispiel sieht das so aus:

Angenommen, es liegen 3 Kugeln vor Dir. Eine orange Kugel und zwei nicht voneinander unterscheidbare blaue Kugeln. Welche Anordnungsmöglichkeiten gibt es für diese 3 Kugeln?

Permutation mit Wiederholung Beispiel mit 3 Kugeln StudySmarter Abbildung 4: Beispiel mit Kugeln

Zum besseren Verständnis werden die Kugeln hier durchnummeriert. Die Kugeln lassen sich wie folgt anordnen und vertauschen:

Permutation mit Wiederholung Anordnungen 3 Kugeln StudySmarter Abbildung 5: Angeordnete Kugeln

Für die Anzahl der Permutationen ist es aber unerheblich, ob identische Kugeln vertauscht werden, wie hier in der Abbildung 5. Sie lassen sich zwar vertauschen, eine neue Anordnung entsteht damit aber nicht. Damit können die jeweils gleichen Anordnungspaare zusammengefasst werden.

Permutation mit Wiederholung Permutationen 3 Kugeln StudySmarter Abbildung 6: Permutationen

Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die blauen Kugeln angeordnet werden – es ergibt sich wieder dasselbe Bild bzw. dieselbe Permutation.In diesem Beispiel mit

n = 3

Kugeln und

k = 2

identischen Kugeln sind 3 Permutationen möglich.

Ein weiteres Hilfsmittel zur Veranschaulichung der Anzahl von Anordnungen ist das sogenannte Baumdiagramm.

Permutation mit Wiederholung – Baumdiagramm

Als Ereignisbaum oder Baumdiagramm wird die graphische Darstellung eines mehrstufigen Zufallsexperiment bezeichnet. Dieser Zufallsprozess lässt sich durch Zweige mit den verschiedenen Ereignissen verbinden. Die Zweige bzw. Äste sind namensgebend für diese Art Diagramm. Am folgenden Beispiel zeigt sich, wie eine Darstellung mittels Baumdiagramm aussehen würde.

Das Zufallsexperiment des Ziehens von Kugeln aus einer Urne lässt sich anhand des Ereignisbaums darstellen. Es gibt wieder eine Gesamtmenge von 3 Kugeln, wobei 2 identische blaue Kugeln vorhanden sind und eine orange Kugel.

Permutation mit Wiederholung Beispiel mit 3 Kugeln StudySmarter Abbildung 7: Beispiel mit Kugeln

In der 1. Stufe des Zufallsexperiments wird eine Kugel gezogen. Diese kann entweder blau oder orange sein. Daher müssen an der Wurzel des Baumdiagramms zwei Zweige eingezeichnet werden.

Permutation mit Wiederholung Baumdiagramm Stufe 1 StudySmarter Abbildung 8: Stufe 1 Baumdiagramm

Wurde beim 1. Zug eine blaue Kugel gezogen, so ist beim 2. Zug einer Kugel (Stufe 2) wieder das Ziehen einer blauen oder einer orangen Kugel möglich. War die erste gezogene Kugel bereits eine orange Kugel, dann können nur noch blaue Kugeln gezogen werden.

Permutation mit Wiederholung Baumdiagramm Stufe 2 StudySmarter Abbildung 9: Stufe 2 Baumdiagramm

In der 3. Stufe des Zufallsexperiments wird die letzte verbleibende Kugel aus der Urne gezogen. Das kann, je nach Zweig, entweder die orange Kugel sein oder die blaue Kugel sein. Damit ergibt sich das folgende Baumdiagramm mit allen 3 Ziehungen.

Permutation mit Wiederholung Baumdiagramm Stufe 3 StudySmarter Abbildung 10: Stufe 3 Baumdiagramm

Nun kannst Du aus dem fertigen Baumdiagramm auch die möglichen Permutationen auslesen. Dies ist möglich, indem der Pfad entlang des Ereignisbaums verfolgt wird, wie beispielhaft in Abbildung 11 die türkise Markierung zeigt.

Permutation mit Wiederholung Baumdiagramm Pfad StudySmarter Abbildung 11: Pfad entlang des Baumdiagramms

Verfolgst Du nun alle Pfade, erhältst Du folgende Anordnungsmöglichkeiten:

Permutation mit Wiederholung Permutationen 3 Kugeln StudySmarter Abbildung 12: Permutationen

Sieh Dir im Vergleich dazu einmal die Anordnungsmöglichkeiten aus Abbildung 6 des obigen Beispiels an. Es ist dasselbe Bild. Entlang der Pfade eines Baumdiagramms können demnach ebenfalls die Permutationen bestimmt werden.

Mithilfe des Baumdiagramms und sogenannter Pfadregeln lassen sich auch Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten treffen. Dazu findest Du weitere Inhalte in einer eigenen Erklärung zum Thema Baumdiagramm.

Permutation mit Wiederholung – Regeln

Die bisherigen Erkenntnisse zur Permutation mit Wiederholung können kurz zusammengefasst werden. Hier siehst Du noch mal, wann es sich um eine Permutation mit Wiederholung handelt.

Permutation mit Wiederholung Flaticon Wichtiges StudySmarter

Anordnung von allen n Elementen einer Menge aus n Elementen
Anzahl von k identischen Elementen, die nicht unterscheidbar sind
Vertauschen identischer Elemente ist keine neue Permutation
Reihenfolge unterschiedlicher Elemente ist wichtig

Bei einer kleinen Menge, wie hier im gezeigten Beispiel, können die Permutationen noch anhand eines Baumdiagramms oder dem bloßen Zeichnen der Anordnungen ermittelt werden. Was aber, wenn du 10 oder mehr Elemente gegeben hast? Hier besteht die Möglichkeit, dies rechnerisch herauszufinden.

Permutation mit Wiederholung – Formel

Berechnen lässt sich die Anzahl an Permutationen mit k wiederholten Elementen durch die Fakultät der verschiedenen Elemente.

Die Fakultät ist das Produkt einer Reihe von natürlichen Zahlen von 1 bis n. Die abgekürzte Schreibweise ist: $n!$ .

Wie Du das Ganze mathematisch ausdrückst bzw. wie die dazugehörige Formel aussieht, siehst Du in der folgenden Definition:

Die Anzahl der Permutationen $P (n; k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r})$ bei einer Permutation mit Wiederholung, mit einer Menge von $n$ Elementen und $k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}$ identischen Elementen, berechnet sich aus:

$P (n; k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot . . . \cdot k_{r}!}$

Dabei gilt: $n = k_{1} + k_{2} + . . . + k_{r} und k \leq n$ .

Um die Formel für die Permutation mit Wiederholung verstehen und anwenden zu können, werden die einzelnen Segmente schrittweise erklärt.

Permutation mit Wiederholung – Erklärung und Herleitung Formel

Zuerst geht es um den oberen Teil der Formel:

$P (n; k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot . . . \cdot k_{r}!}$

Du berechnest hier die Fakultät $n!$ aus n Elementen. Damit wird die Anzahl der Permutationen berechnet, wenn alle Elemente unterschiedlich wären.

$P (n) = n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot . . \cdot 1$

Da es sich bei der Permutation mit Wiederholung aber nicht nur um unterscheidbare Elemente handelt, müssen mehrfach vorkommende Elemente ebenfalls berücksichtigt werden. Sind beispielsweise $k_{1}$ identische Elemente vorhanden, so gibt es dementsprechend $P (k_{1})$ verschiedene Möglichkeiten, die Elemente zu vertauschen.

$P (k_{1}) = k_{1}!$

Bei der Suche nach der Anzahl an Permutationen sollen Vertauschungen von identischen Elementen aber nicht berücksichtigt werden, da sie zu keiner neuen Permutation führen. Demnach müssen die gleichen Anordnungen jedes mehrfach vorkommende Elementes zu einer einzigen Anordnung zusammengeführt werden. Dies gelingt durch die Berechnung der Fakultät der gleichen Elemente $k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}$ .

$P (n; k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot . . . \cdot k_{r}!}$

Du rechnest also die Anzahl der möglichen Anordnungen, wenn alle Elemente unterschiedlich wären, durch das Produkt der Anzahl der möglichen Anordnungen für die einzelnen Elementgruppen.

Die Berechnung erfolgt hier mit dem Multinomialkoeffizient (eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten), der bei mehr als zwei Auswahlmöglichkeiten zum Einsatz kommt.

Die Formel zur Berechnung der Anzahl an Permutationen bei einer Permutation mit Wiederholung kann anhand eines Beispiels bewiesen und nachvollzogen werden.

Permutation mit Wiederholung – Anwendung und Beweis der Formel

Kennst Du diese kleinen bunten Kaugummi-Kugeln aus dem Kiosk oder dem Automaten?

Permutation mit Wiederholung Flaticon Kaugummiautomat StudySmarter

Damit Du Dir die Zusammensetzung der Formel vorstellen kannst, findest Du hier ein Beispiel, bei dem es sich um eine Permutation mit Wiederholung handelt.

Stell Dir vor, Du hast von diesen Kaugummi-Kugeln 8 Stück vor dir liegen. Nach Zufall erhältst Du verschiedenfarbige Kaugummis. Zum Beispiel 4 blaue, 3 türkise und 1 orange Kaugummi-Kugel.

Wie viele Möglichkeiten hast Du, diese aneinanderzulegen? Beachte, dass manche Elemente mehrfach vorkommen und daher nicht unterscheidbar sind.

Permutation mit Wiederholung Beispiel mit 8 Kugeln StudySmarter Abbildung 13: Beispiel Kaugummi-Kugeln

Um die Anzahl der Permutationen zu ermitteln, kannst Du auch alle Anordnungsmöglichkeiten aufzeichnen. Das könnte aber unter Umständen sehr viel Platz benötigen. Als Alternative kann die Anzahl auch über die Formel berechnet werden.

$P (n; k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot . . . \cdot k_{r}!}$

Zunächst sind die einzelnen Komponenten aus der Aufgabe zu definieren. Da es insgesamt 8 Kaugummi-Kugeln gibt, gilt für die Menge $n = 8$ . Sowohl die blauen als auch die türkisen Kaugummis sind mehrfach vorhanden, der orange Kaugummi nur einmal. Insgesamt gibt es $r = 3$ unterschiedliche Elemente.

$k_{1} = 4 (b l a u) k_{2} = 3 (t ü r k i s) k_{3} = 1 (o r a n g e)$

Demnach können sowohl für alle Kugeln als auch für die identischen Kugeln jeweils die Anzahl an Permutationen einzeln ermittelt werden.

P (n) = n! = 8! = 40 320 P (k_{1}) = k_{1}! = 4! = 24 P (k_{2}) = k_{2}! = 3! = 6 P (k_{3}) = k_{3}! = 1! = 1

Von den $40 320$ Permutationen, die es bei 8 unterschiedlichen Elementen gibt, müssen die identischen Anordnungen herausgenommen werden, indem sie dividiert werden.

$P (n; k_{1}, k_{2}, k_{3}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot k_{3}!}$

Durch Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich für die Anzahl der Permutationen in diesem Beispiel:

$P (n; k_{1}, k_{2}, k_{3}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot k_{3}!} P (8; 4, 3, 1) = \frac{8!}{4! \cdot 3! \cdot 1!} P (8; 4, 3, 1) = \frac{40 320}{24 \cdot 6 \cdot 1} P (8; 4, 3, 1) = \frac{40 320}{144} P (8; 4, 3, 1) = 280$

Es gibt also 280 Möglichkeiten, die 8 Kaugummi-Kugeln zu platzieren.

Möchtest Du noch eine weitere Anwendung für die Berechnung der Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten sehen? Dann sieh Dir das nachfolgende Beispiel an. Bist Du bereits fit in der Anwendung der Formel? Dann springe gerne direkt zu den Übungsaufgaben.

Permutation mit Wiederholung – Beispiel

Bevor Du direkt mit der Berechnung der Anzahl der Permutationen beginnst, vergewissere Dich, welche Art von Permutation vorliegt und ob alle erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind.

Aufgabe 1

Stell Dir vor, Deine Schwester (oder Dein Bruder) feiert den 10. Geburtstag und fragt Dich, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 10 Luftballons nebeneinander an der Wand aufzureihen.

Permutation mit Wiederholung Flaticon Luftballons StudySmarter

Wie viele Anordnungsmöglichkeiten ergeben sich, wenn es 3 blaue Ballons, 3 rosa gestreifte Ballons, 2 gelbe Ballons mit rosa Punkten und 2 lila Ballons mit weißen Herzen gibt?
Wie viele Anordnungsmöglichkeiten ergeben sich, wenn von den 10 Ballons nur die blauen und rosa Ballons betrachtet werden?
Wie viele Anordnungsmöglichkeiten ergeben sich, wenn alle 10 Ballons unterschiedlich wären?

Lösung

a) Da es mehrfach identische Ballons in dieser Aufgabe gibt und alle 10 Elemente betrachtet werden, handelt es sich um eine Permutation mit Wiederholung. Du benötigst demnach die folgende Formel:

$P (n; k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot . . . \cdot k_{r}!}$

Aus der Aufgabenstellung ist Folgendes bekannt:

$n_{c} = 10 k_{1} = 3 (b l a u) k_{2} = 3 (r o s a) k_{3} = 2 (g e l b) k_{4} = 2 (l i l a)$

Demnach muss die Formel für $r = 4$ ausgelegt werden, da es 4 unterschiedliche Ballonfarben gibt. Durch Einsetzen der Zahlenwerte in die Formel ergibt sich:

$P (n; k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot k_{3}! \cdot k_{4}!} P (10; 3, 3, 2, 2) = \frac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2!} P (10; 3, 3, 2, 2) = \frac{3 628 800}{6 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 2} P (10; 3, 3, 2, 2) = \frac{3 628 800}{144} P (10; 3, 3, 2, 2) = 25 200$

Du kannst die 10 Luftballons also auf $25 200$ verschiedene Möglichkeiten nebeneinander an der Wand aufreihen.

b) Bei der Aufgabenstellung b) werden zwei Ballonfarben betrachtet, die jeweils mehrfach vorkommen. Es wird hier lediglich eine Auswahl der 10 Luftballons getroffen. Bei Permutationen sind alle Elemente zu betrachten.

c) Die Frage nach der Anzahl von Permutationen, wenn alle 10 Luftballons verschieden wären, entspricht der Aufgabenstellung einer Permutation ohne Wiederholung. Wie Du in der Formel sehen konntest, wird über dem Bruchstrich die Anzahl der Anordnungen berechnet, die sich bei unterschiedlichen Elementen ergibt. Diese wurde bereits bei Aufgabenteil a) berechnet und kann demnach direkt entnommen werden.

$P (n) = n! P (10) = 10! = 3 628 800$

Nach den ausführlichen Beispielen kannst Du Dein Wissen direkt in den Übungsaufgaben testen.

Permutation mit Wiederholung – Übungsaufgaben zum Lösen

Bei jeder Teilaufgabe findest Du darunter eine ausführliche Lösung. Rechne gerne zunächst selbstständig und vergleiche dann Dein Ergebnis mit der Lösung.

Aufgabe 2

a) Jan wartet an der Bushaltestelle auf den Bus. Wegen der roten Ampel staut sich der Verkehr. Es reihen sich 4 grüne, 2 blaue, 2 graue, 3 schwarze, 1 rotes und 1 gelbes Auto aneinander. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wie diese Autos hintereinander an der Ampel stehen könnten?

Permutation mit Wiederholung Flaticon Autos StudySmarter

b) Anna und ihre Eltern spielen ein verbreitetes Brettspiel, bei dem es darum geht, zuerst alle Spielfiguren in einem Haus unterzubringen. Beim Aufstellen der Figuren überlegt Anna folgendes: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 4 blauen, 4 gelben und 4 roten Figuren nebeneinander an der Tischkante aufzustellen?

Permutation mit Wiederholung Flaticon Spielfiguren StudySmarter

Lösung

a) Zunächst werden die einzelnen Komponenten zur Berechnung definiert.

$n = 4 + 2 + 2 + 3 + 1 + 1 = 13 k_{1} = 4 k_{2} = 2 k_{3} = 2 k_{4} = 3 k_{5} = 1 k_{6} = 1$

Durch Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich:

$P (n; k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}, k_{5}, k_{6}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot k_{3}! \cdot k_{4}! \cdot k_{5}! \cdot k_{6}!} P (13; 4, 2, 2, 3, 1, 1) = \frac{13!}{4! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 1!} P (13; 4, 2, 2, 3, 1, 1) = \frac{6 227 020 800}{24 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 1} P (13; 4, 2, 2, 3, 1, 1) = \frac{6 227 020 800}{576} P (13; 4, 2, 2, 3, 1, 1) = 10 810 800$

Es gibt also $10 810 800$ Möglichkeiten der Reihenfolge, wie die Autos vor der Ampel stehen können.

b) Auch hier können zunächst alle Komponenten der Formel definiert werden:

$n_{x} = 4 + 4 + 4 = 12 k_{1} = k_{2} = k_{3} = 4$

Diese Zahlenwerte werden entsprechend in die Formel zur Berechnung der Anzahl der Permutationen bei einer Permutation mit Wiederholung eingesetzt.

$P (n; k_{1}, k_{2}, k_{3}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot k_{3}!} P (12; 4, 4, 4) = \frac{12!}{4! \cdot 4! \cdot 4!} P (12; 4, 4, 4) = \frac{479 001 600}{24 \cdot 24 \cdot 24} P (12; 4, 4, 4) = \frac{479 001 600}{13 824} P (12; 4, 4, 4) = 34 650$

Anna hat also 34650 mögliche Reihenfolgen, die Spielfiguren an der Tischkante aufzureihen.

Möchtest Du Dein Wissen zum Thema Permutation mit Wiederholung noch weiter testen? In den Karteikarten und Übungen kannst Du Dich noch weiter mit dem Themenbereich beschäftigen. Eine kurze Zusammenfassung gibt Dir noch einmal der nachfolgende Überblick.

Permutation mit Wiederholung – Das Wichtigste

Bei Permutationen kann zwischen Permutation mit Wiederholung und Permutation ohne Wiederholung unterschieden werden.
In beiden Fällen werden alle n Elemente aus einer Menge von n Elementen betrachtet. Sie unterscheiden sich nur danach, ob Elemente mehrfach vorhanden sind.
Eine Permutation mit Wiederholung ist eine mögliche Anordnung von n Elementen einer Menge n, die auch eine Anzahl von k identischen Elementen aufweist.
Eine Vertauschung der k identischen Elementen untereinander, führt zu keiner neuen Permutation.
Die Berechnung erfolgt mittels Multinomialkoeffizienten.
Formel: $P (n; k_{1}, k_{2}, . . ., k_{r}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot . . . \cdot k_{r}!}$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Permutation mit Wiederholung

Wann wird von einer Permutation mit Wiederholung gesprochen?

Es handelt sich um eine Permutation mit Wiederholung, wenn nicht alle angeordneten Elemente einer Menge voneinander unterscheidbar sind.

Wie wird eine Permutation mit Wiederholung berechnet?

Die Fakultät aller vorhandenen Elemente n! wird durch das Produkt der Fakultäten der unterschiedlichen Elemente k! geteilt.

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