Produktregel Kombinatorik

In einer Eisdiele werden zwölf Eissorten, vier Saucen und vier Garnierungen angeboten. Allgemein lassen sich mehrstufige Prozesse anhand eines Baumdiagramms optisch darstellen. Wie kann so etwas in diesem Fall aussehen?

\(1.\) Stufe: \(12\) Eissorten (z. B. Vanille)

\(2.\) Stufe: \(4\) Saucen (z. B. Karamell)

\(3.\) Stufe: \(4\) Garnituren (z. B. Nüsse)

In der ersten Stufe befinden sich \(12\) Eissorten und daher beginnt das Baumdiagramm schon mit \(12\) Verzweigungen. Auch in der zweiten Stufe werden jedem der \(12\) Eissorten wiederum \(4\) Saucen zugeteilt. In der dritten Stufe kommen noch einmal jeweils für jede Sauce die \(4\) Garnituren dazu.

Verfolgst Du einen Pfad (grün), so kannst Du Dir zum Beispiel aus all diesen Möglichkeiten ein Vanilleeis mit Karamellsauce und Nüssen aussuchen.

\begin{align}3-Tupel:\, (Vanille,\,Karamell,\,Nüsse)\end{align}

Wie kannst Du aber herausfinden, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, die Speisen in der Eisdiele zu kombinieren?

In einem Baumdiagramm müsstest Du dazu die Anzahl aller Pfade bestimmen. Aber so viele Pfade einzeichnen? Gibt es denn eine Alternative dazu? Ja, mit der Produktregel der Kombinatorik.

Die Anzahl der Möglichkeiten (\(k\)-Tupel) über das allgemeine Zählprinzip bzw. die Produktregel der Kombinatorik kannst Du berechnen, indem die Anzahlen der Elemente in jeder Stufe bestimmt und anschließend multipliziert werden:

\begin{align}{\color{#1478C8}Eis}\cdot{\color{#00DCB4}Sauce}\cdot{\color{#FA3273}Garnitur}&=Anzahl\,Kombinationen \\ \\{\color{#1478C8}12}\cdot{\color{#00DCB4}4}\cdot{\color{#FA3273}4}&=192\end{align}

Die Berechnung liefert \(192\) Ergebnismöglichkeiten.

Aufgabe 1

Auf einem Jahrmarkt werden verschiedene Glücksspiele angeboten, darunter ein Glücksrad und ein Würfelwurf. Zunächst wird am Glücksrad mit vier Sektoren \(({\color{#1478C8}blau},\,{\color{#00DCB4}grün},\,{\color{#FA3273}rot},\,{\color{#FFCD00}gelb})\) gedreht, dann zweimal mit einem sechsseitigen Würfel \((1\,-\,6)\) gewürfelt.

a) Gib ein beliebiges \(k\)-Tupel für diesen mehrstufigen Prozess an.

b) Berechne die Anzahl an Ergebnismöglichkeiten in diesem mehrstufigen Prozess.

Lösung

a) Es handelt sich hierbei um einen \(3\)-stufigen Prozess, wodurch ein \(3\)-Tupel als Ergebnismöglichkeit entsteht. Dies kann beispielsweise sein:

\begin{align}3-Tupel:\, ({\color{#00DCB4}grün},\,4,\,3)\end{align}

b) Für jede Stufe wird zunächst die Anzahl der Elemente in der Stufe ermittelt.

\(1.\) Stufe: \(n_1=4\)

\(2.\) Stufe: \(n_2=6\)

\(3.\) Stufe: \(n_3=6\)

Mithilfe der Produktregel der Kombinatorik ergibt sich:

\begin{align}n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 &= \\[0.1cm]4 \cdot 6 \cdot 6 &=144\end{align}

In diesem \(3\)-stufigen Prozess gibt es \(144\) Ergebnismöglichkeiten.

Aufgabe 2

In einem mehrstufigen Prozess ist für die erste Stufe eine Menge \(M_1=\{2;\,4;\,7;\,8\}\) gegeben. Die Mächtigkeit der Menge \(M_2\) beträgt \(|M_2|=5\). In der \(3.\) und \(4.\) Stufe wird eine Münze mit \(Kopf\) oder \(Zahl\) geworfen. Die letzte und \(5.\) Stufe ist zunächst unbekannt, jedoch ist die Gesamtanzahl der Ergebnismöglichkeiten mit \(560\) angegeben.

Ermittle die Anzahl der Elemente in der \(5.\) Stufe.

Lösung

Zunächst werden die einzelnen Stufen noch einmal kurz zusammengefasst und die Mächtigkeiten bestimmt.

\begin{align}M_1&=\{2;\,4;\,7;\,8\} &|M_1|&=4 \\[0.1cm]&&|M_2|&=5 \\[0.1cm]M_3&=\{Kopf;\,Zahl\} &|M_3|&=2 \\[0.1cm]M_4&=\{Kopf;\,Zahl\} &|M_4|&=2 \\[0.1cm]&&|M_5| &=\,? \end{align}

Für die Berechnung der Gesamtanzahl an Möglichkeiten gilt:

\begin{align}|M_1| \cdot |M_2| \cdot |M_3| \cdot |M_4| \cdot |M_5| &= 560 \\[0.1cm]4 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot |M_5| &=560 \\[0.1cm]80 \cdot |M_5| &=560 \hspace{1cm} |\,:80 \\[0.1cm]|M_5|&=7\end{align}

Die \(5.\) Stufe hat demnach \(7\) Elemente.