Satz von Bayes

In einer Klasse befinden sich 30 Kinder. Alle Lernenden werden vor einer Klausur von einer unabhängigen Gruppe gefragt, ob sie für die Klausur gelernt haben. Zur Auswahl stehen nur die Antworten „Ja“ und „Nein“.

Nachdem die Klausur geschrieben wurde und die Noten feststehen, werden die Noten den Aussagen der Kinder zugeordnet. Es zeigt sich, dass von 30 Kindern 9 nicht gelernt haben. Insgesamt haben zehn Kinder nicht bestanden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind nicht gelernt hat, wenn es die Klausur nicht bestanden hat, beträgt \(75\,\%\).

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig ausgewähltes Kind nicht bestanden hat, wenn bekannt ist, dass es nicht gelernt hat?

Notiere Dir zunächst die möglichen Ereignisse und alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

• Ereignis \(A\): nicht gelernt, Ereignis \(B\): nicht bestanden
• \(P(A)=\frac{9}{30}=\text{0,3}\)
• \(P(B)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\approx \text{0,33}\)
• \(P_B(A)=\text{0,75}\)

Da Du nun \(P_B(A)\) gegeben hast und \(P_A(B)\) suchst, muss die Formel entsprechend angepasst werden. Du darfst hier einfach jeweils \(A\) und \(B\) vertauschen und erhältst \[P_A(B)=\frac{P(B)\cdot P_B(A)}{P(A)}.\]

Jetzt setzt Du alle bekannten Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein:

\begin{align}P_A(B)&=\frac{\frac{1}{3}\cdot \text{0,75}}{\text{0,3}} \\[0.1cm] &=\frac{5}{6}\\[0.2cm]&\approx\text{0,83}.\end{align}

Wenn Du aus allen Kindern, die nicht gelernt haben, zufällig eines auswählst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht bestanden hat, \(\text{83,3}\%\).

Aufgabe 1

Eine Person fährt an \(75\,\%\) ihrer Arbeitstage mit dem Zug zur Arbeit. In \(80\,\%\) dieser Fälle erreicht sie pünktlich ihren Arbeitsplatz, im Durchschnitt kommt sie aber nur an \(70\,\%\) der gesamten Arbeitstage pünktlich an.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person den Zug genommen hat, unter der Bedingung, dass die pünktlich ankommt?

Lösung

Hier notierst Du zuerst wieder alle Ereignisse und gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

• Ereignis \(A\): Person benutzt den Zug, Ereignis \(B\): Person erscheint pünktlich
• \(P(A)=\text{0,75}\)
• \(P_A(B)=\text{0,8}\)
• \(P(B)=\text{0,7}\)

Gesucht ist hier \(P_B(A)\). Hier kannst Du die gegebenen Wahrscheinlichkeiten also direkt in die Formel des Satzes von Bayes einsetzen und erhältst:

\[P_B(A)=\frac{\text{0,75}\cdot\text{0,8}}{\text{0,7}}\approx\text{0,8571}\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person den Zug genommen hat, unter der Bedingung, dass die pünktlich ankommt, beträgt also ca. \(\text{85,71}\,\%\).

Aufgabe 2

Stell Dir vor, Du gehst zum Arzt und wirst auf eine Krankheit getestet. Von zehn Leuten erkranken durchschnittlich zwei an der Krankheit. Bei Personen, die tatsächlich krank sind, zeigt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von \(99\,\%\) ein positives Ergebnis. Allerdings zeigt er in \(2\,\%\) der Fälle ein falsch positives Ergebnis an.

Wie wahrscheinlich ist es, dass Du wirklich krank bist, unter der Bedingung, dass der Test positiv ausfällt?

Lösung

Zuerst notierst Du alle Ereignisse und gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

• Ereignis \(A\): Du bist krank, Ereignis \(B\): Der Test ist positiv
• \(P(A)=\frac{2}{10}\approx\text{0,2}\)
• \(P_A(B)=\text{0,99}\)
• \(P_{\overline{A}}(B)=\text{0,02}\)

Gesucht ist hier \(P_B(A)\).

Für die Berechnung fehlt noch die totale Wahrscheinlichkeit \(P(B)\), also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt. Diese kannst Du mithilfe der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen:

\begin{align}P(B)&=P(B \cap A)+P(B \cap \overline{A})\\\\ &=P(A) \cdot P_A(B)+P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B).\end{align}

Dafür fehlt Dir noch die Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{A})\). Diese ist:\[P(\overline{A})=1-P(A)=1-\text{0,2}=\text{0,8}\]

Du setzt dann also die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein und erhältst

\[P(B)=\text{0,2} \cdot \text{0,99}+\text{0,8} \cdot \text{0,02}= \text{0,214}\]

Jetzt kannst Du alle bekannten Werte in den Satz von Bayes einsetzen:

\begin{align}P_B(A)&=\frac{P(A)\cdot P_A(B)}{P(B)}\\\\P_B(A)&=\frac{\text{0,2}\cdot \text{0,99}}{\text{0,214}} \approx \text{0,9252}\end{align}

Wenn der Test positiv ausfällt, bist Du also mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\text{92,52}\,\%\) krank.

Aufgabe 3

Eine Handballmannschaft hat bei ihren Spielen eine Siegeschance von \(65\\%\), falls der Torhüter in guter Form ist. Wenn ihr Torhüter allerdings nicht in guter Form ist, dann liegt ihre Siegeschance nur bei \(35\,\%\). Bei \(75\,\%\) aller Spiele seiner Mannschaft ist der Torhüter in guter Form.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Torhüter in guter Form ist, obwohl das Spiel verloren wird?

Lösung

Auch hier notierst Du wieder alle Ereignisse und gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

• Ereignis \(A\): Mannschaft gewinnt das Spiel, Ereignis \(B\): Torhüter ist in guter Form
• \(P(B)=\text{0,75}\)
• \(P_B(A)=\text{0,65}\)
• \(P_{\overline{B}}(A)=\text{0,35}\)

Gesucht ist hier \(P_{\overline{A}}(B)\). Der Satz von Bayes wäre hier also wie folgt

\[P_{\overline{A}}(B)=\frac{P(B)\cdot P_{B}(\overline{A})}{P(\overline{A})}.\]

Hier müssen also noch \(P_{B}(\overline{A})\) und \(P(\overline{A})\) berechnet werden. Dabei können die Gegenereignisse und der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit genutzt werden:

\begin{align}P_{B}(\overline{A})&=1-P_{B}(A)\\&=1-\text{0,65}\\ &=\text{0,35}\end{align}

und

\begin{align}P(\overline{A})&=1-(P(B) \cdot P_B(A)+P(\overline{B}) \cdot P_{\overline{B}}(A))\\&=1-\text{0,75} \cdot \text{0,65}+\text{0,25}\cdot \text{0,35}\\ &=\text{0,575}. \end{align}

Jetzt sind die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bekannt und Du kannst sie in den Satz von Bayes einsetzen:

\begin{align}P_{\overline{A}}(B)&=\frac{\text{0,75}\cdot \text{0,35}}{\text{0,575}}\approx\text{0,4565}\end{align}

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Torhüter in guter Form ist, obwohl das Spiel verloren wird, liegt also bei ca. \(\text{45,65}\,\%\).