Eventuell kennst Du dieses Problem: Du hast bei Deinem Handy eine PIN vergeben, Dein Fahrrad mit einem Zahlenschloss abgesichert und auch für Deinen Account bei einer Lernplattform ein Passwort hinterlegt. Doch Du hast vergessen, die Passwörter zu ordnen oder sie aufzuschreiben. Wie kommst Du dann wieder auf das richtige Kennwort? Du versuchst Dich daran zu erinnern, doch es mag Dir nicht einfallen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es etwa für die vierstellige PIN Deines Handys die Zahlen anzuordnen? Da bist Du schon auf das Thema der Variation mit Wiederholung oder besser bekannt als das Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge und mit Zurücklegen gestoßen. Die Variation als Spezialfall aus der Kombinatorik wird hier nun näher erläutert.
Kombinatorik Wiederholung
Nach einer kurzen allgemeinen Wiederholung aus dem Gebiet der Kombinatorik erfährst Du mehr über die Variation mit Wiederholung. Grundsätzlich ist die Kombinatorik eine Hilfestellung, die Anordnung von verschiedenen Objekten zu ermöglichen und dabei die Anzahl der Kombinationen zu bestimmen.
Du kannst ganz klassisch Kugeln aus einer Urne ordnen – manchmal mit Zurücklegen, manchmal ohne. Ebenso ist die Reihenfolge entscheidend oder auch nicht. Dabei kannst Du die Permutationen, Variationen und Kombinationen unterscheiden.
Kombinatorik – Unterscheidungen
Für den Fall, dass k = n gilt, also die Menge von n und die Menge von k Objekten identisch sind, benutzt Du die sogenannten Permutationen. Demnach verwendest Du alle Elemente aus Deiner Grundmenge n. Wenn n Elemente auf n Plätze verteilt werden sollen, also z. B. Schülerinnen und Schüler auf Sitzbänke oder Kugeln ohne Zurücklegen, handelt es sich um eine Permutation ohne Wiederholung.
Selbstverständlich kann auch eine Permutation mit Wiederholung aus dem Beispiel mit den Kugeln gebildet werden. Allerdings würden in diesem Beispiel mehrere Schüler auf einem Platz sitzen können, was keinen Sinn ergibt.
Wenn nur ein Ausschnitt verwendet wird, also k < n gilt, kannst Du die Kombinationen und Variationen unterscheiden. Dabei spielt bei einer Kombination die Reihenfolge keine Rolle. Ist die Reihenfolge, wie für Dich bei Deiner PIN, sehr wohl entscheidend, nutzt Du die Variationen.
Wiederholungen können für alle drei Fälle von Bedeutung sein, aber auch nicht. Dabei ist die Wiederholung eine Angabe dafür, ob Du Elemente, wie Kugeln zurücklegen sollst, bzw. ob die Elemente unterscheidbar sind. So sind etwa fünf grüne Kugeln nicht unterscheidbar, Kugeln in Regenbogenfarben allerdings schon.
Kombinatorik – Urnenmodell
Ein Klassiker im Bereich der Kombinatorik ist das Urnenmodell. Die Anzahl der Möglichkeiten, k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen, ist dabei abhängig von:
- der Beachtung der Reihenfolge (mit oder ohne)
- dem Zurücklegen (mit oder ohne)
Die nachfolgende Tabelle gibt Dir dabei einen groben Überblick:
| mit Beachtung der Reihenfolge | ohne Beachtung der Reihenfolge |
| mit Zurücklegen | | |
| ohne Zurücklegen | | |
Die Tabelle soll nur einen kleinen Überblick darstellen. Detaillierteres findest Du bei den entsprechenden Erklärungen:
Variation mit Wiederholung – Eigenschaften
Wie ist eine Variation definiert und wie kann sie mathematisch formuliert werden?
Variation mit Wiederholung – Definition
Die Variation unter dem Begriff der Kombinatorik ist – wie bereits eingangs in der Wiederholung erwähnt – eines der drei unterscheidbaren Fälle, um bei bestimmter Reihenfolge eine Vielzahl an Möglichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen.
Als Variation wird in der Kombinatorik eine geordnete Stichprobe für die Auswahl von Objekten in einer festen Reihenfolge bezeichnet.
Somit werden bei einer Variation mit Wiederholung k aus n Objekten unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt. Die Objekte können hierbei mehrmals ausgewählt werden.
Du kannst diese Bedingungen bei Deinem Zufallsexperiment gerne prüfen, um herauszufinden, ob das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gilt:
- Alle Elemente n aus der angegebenen Menge sind unterscheidbar. So haben Kugeln unterschiedliche Zahlen oder verschiedene Schülerinnen oder Schüler sind im Experiment gegeben.
- k Elemente werden ausgewählt.
- Die Reihenfolge ist entscheidend. Für eine vierstellige PIN ist unbedingt die Reihenfolge der Zahlen ausschlaggebend.
- Elemente sind mehrfach wählbar. Deine PIN am Smartphone oder am Fahrradschloss darf 0000 heißen.
Variation mit Wiederholung – Formel und Herleitung
Zur Berechnung von Aufgaben mit einer Variation mit Wiederholung benötigst Du die folgende Formel:
Viel mehr ist dafür nicht zu berücksichtigen. Mathematisch noch konkreter lässt sich das formulieren als:
,
wobei n für die Anzahl der Ausgangsmenge steht und k für die ausgewählten Elemente.
Erklären lässt sich dieser Zusammenhang wieder sehr anschaulich mit den Kugeln aus dem Urnenmodell. Überlege Dir dabei, welche Bedingungen gelten: Du möchtest aus n Objekten k auswählen, wobei die Reihenfolge wichtig ist und mit Wiederholung (also mit Zurücklegen).
Für das erste Objekt hast Du n Möglichkeiten. Da Objekte wieder mehrfach gewählt werden dürfen, bzw. Du Kugeln in die Urne zurücklegen darfst, hast Du für das zweite Objekt auch n Möglichkeiten und für das k-te Objekt ebenso.
Wenn Dich die Variation ohne Wiederholung interessiert, ist es für jedes nachfolgende Objekt nicht mehr möglich, ebenso n Elemente auszuwählen. Dieser Fall tritt ein, wenn zwar die Reihenfolge weiterhin eine Rolle spielt, Du allerdings die Kugeln nicht wieder in die Urne zurücklegen kannst. Dabei gilt die Formel . Für einen tieferen Einblick in diese Materie kannst Du Dir den Artikel "Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge ohne Zurücklegen/ Variation mit Wiederholung"ansehen.
Variation mit Wiederholung – Beispiel
Du betrachtest eine Urne mit 6 verschiedenen Kugeln. Nun möchtest Du zwei dieser Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen ziehen.
Damit Du ganz sicher gehen kannst, dass Du wirklich die Variation mit Wiederholung nutzen solltest, kannst Du die vorher beschriebene Checkliste durchgehen.
| Punkte aus der Checkliste | Konkret in der Aufgabe |
| Alle Elemente n aus der angegebenen Menge sind unterscheidbar | 6 verschiedenfarbige Kugeln |
| k Elemente werden ausgewählt | 2 Kugeln sollen gewählt werden; nicht alle, also keine Permutation |
| Die Reihenfolge ist entscheidend | Ja; also handelt es sich um eine Variation, keine Kombination |
| Elemente sind mehrfach wählbar | Ja; in der Aufgabe ist mit Zurücklegen gegeben |
Als Formel für die Variation mit Wiederholung nutzt Du:
Es gibt also 36 Möglichkeiten, zwei aus fünf Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen zu ziehen.
In einer Schulaufgabe hast Du 6 Multiple-Choice-Aufgaben, bei denen es jeweils immer 4 Antwortmöglichkeiten (a, b, c, d) gibt.
Einmal angenommen, Du würdest ohne Nachzudenken jeweils bei jeder Aufgabe ein Kreuz setzen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (Du kannst davon ausgehen, dass Du auch mehrmals denselben Buchstaben ankreuzen darfst.)
Um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, kannst Du die oben stehende Formel nk nutzen:
Möglichkeiten.
Wie kommst Du nun zu dieser Lösung? Du hast n Möglichkeiten, in diesem Fall 4, eine der Aufgaben zu beantworten (a, b, c, d). Du hast k Aufgaben, also 6. Da Du auch sechsmal a) ankreuzen kannst, kann eine Antwort wiederholt werden (Du kannst die Kugeln also zurücklegen).
Variation mit Wiederholung – Übungen & Aufgaben
Mit den nachfolgenden Aufgaben kannst Du das eben Gelernte noch etwas üben.
Aufgabe 1
Die meisten Computer (Quantencomputer ausgeschlossen) operieren im sogenannten Dualsystem, also zwischen 0 und 1 oder an und aus. Wie viele Kombinationen gibt es, eine 9-stellige Dualzahl darzustellen?
Lösung
Für jede Stelle kannst Du zwischen 0 und 1 wählen, Dein n ist also 2 und Du benötigst 9 Stellen, also k = 9.
Aufgabe 2
Du sollst für Dein Handy eine vierstellige PIN eingeben. Dafür darfst Du keine Buchstaben verwenden, sondern lediglich Zahlen. Dabei macht die Reihenfolge der Zahlen einen Unterschied, denn die PIN 1456 und 6541 sind verschieden.
a) Erkläre kurz, weshalb Du die Variation mit Wiederholung benötigst.
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine PIN einzugeben?
c) Du benötigst 2 Sekunden für die Eingabe einer PIN. Wie viel Zeit benötigst Du, um alle PINs auszuprobieren?
Lösung
a) Es werden k Elemente aus n ausgewählt, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt und jede Zahl auch mehrfach vorkommen kann (0000 ist zulässig). Deshalb handelt es sich um eine Variation mit Wiederholung bzw. das Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge mit Wiederholung.
b) Für jede Stelle hast Du 10 Möglichkeiten (Zahlen 0–9), diese sind Dein n. Du wählst 4 Stellen, also k = 4.
c) Bei 10.000 Versuchen benötigst Du insgesamt 20.000 Sekunden für jeweils 2 Sekunden, die Du mit der Eingabe einer PIN beschäftigt bist. Um von einer Sekunde auf eine Stunde zu kommen, benötigst Du den Umrechnungsfaktor 3.600. Du teilst durch 60 für die Angabe in Minuten und noch einmal für eine Stunde oder Du teilst sofort durch 3600.
5, 56 Stunden
Variation mit Wiederholung – Das Wichtigste
- Als Variation wird in der Kombinatorik eine geordnete Stichprobe für die Auswahl von Objekten in einer festen Reihenfolge bezeichnet.
- Für Zufallsexperimente ist immer entscheidend, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt und ob es ein Zurücklegen, bzw. eine Wiederholung gibt.
- In der Kombinatorik unterscheidet man zwischen Permutation, Kombination und Variation.
- Für die Variation mit Wiederholung gilt:
- k Objekte aus n ausgewählt
- Objekte sind unterscheidbar
- mit Reihenfolge
- mit Zurücklegen
- Die Formel zählt für die Variation mit Wiederholung, da für jeden Schritt jeweils alle Objekte aus n gewählt werden können. Sie werden nämlich zurückgelegt.
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