Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung StudySmarter

Das Kapitel Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unterteilt in vier größere Themenblöcke, die du alle auf unserer Plattform finden kannst!

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Formal: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Formal StudySmarter

Zunächst wirst du im Kapitel Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung den Abschnitt Zufallsgröße finden. Dort wird dir erklärt, was eine Zufallsgröße bzw. Zufallsvariable ist und der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen erläutert. Außerdem wirst du lernen, was der Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsgröße ist, und was du dir unter einem Histogramm vorstellen kannst. Es wird auch das Thema Konfidenzintervall bzw. Konfidenzniveau behandelt sowie die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.

Formal:

Zunächst wird dir diese Definition im Artikel Wahrscheinlichkeitsverteilung noch einmal genauer erklärt. Außerdem lernst du die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion kennen, sowie die Axiome von Kolmogorov, einem sowjetischen Mathematiker, der viele Ideen und Beweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie leistete. Zuletzt wird der Begriff Wahrscheinlichkeitsraum definiert.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Es gibt zwei verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In diesem Abschnitt wirst du erfahren, was sogenannte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind und die Bedeutendsten davon kennenlernen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Binomialverteilung

Die Binomialverteilung nach Jakob Bernoulli beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette. Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsexperiment, bei dem ein Bernoulli-Experiment n-mal nacheinander ausgeführt wird. Ein Bernoulli-Experiment kennzeichnet sich dadurch, dass es nur die Ausgänge "Erfolg" und "Misserfolg" hat.

Zwei gängige Bernoulli-Experimente sind:

das Werfen einer Münze mit den Ergebnissen "Kopf" oder "Zahl".
das Werfen eines Würfels mit den Ergebnissen "Sechs" oder "keine Sechs".

In einer Bernoulli-Kette hat der Ausgang eines einzelnen Versuchs keine Folgen für die nächsten Versuche. Jeder Versuch ist also unabhängig von allen anderen Versuchen.

Nimmt eine Zufallsgröße X die Werte k=0, 1, 2, ..., n mit den Wahrscheinlichkeiten Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung StudySmarter an, so nennt man sie binomialverteilt.

Im Abschnitt Binomialverteilung wird diese Definition vertieft. Zudem kannst du genauer nachlesen, was ein Bernoulli-Experiment und eine Bernoulli-Kette sind. Außerdem wirst du auf sogenannte Dreimal-mindestens-Aufgaben und das Kugel-Fächer-Modell stoßen, sowie die Näherungsformeln von Laplace kennenlernen.

Poisson-Verteilung

Eine Zufallsgröße X heißt poissonverteilt, wenn für k=0, 1, 2, ... gilt: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Poisson-Verteilung StudySmarter mit .

Die Poisson-Verteilung hat eine hohe Bedeutung, da sie unter bestimmten Voraussetzungen zur Annäherung der Binomialverteilung eingesetzt werden kann.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung wird ebenso wie die Binomialverteilung für Zufallsereignisse verwendet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt. Der Unterschied besteht darin, dass sie schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt, die von Versuch zu Versuch entstehen können.

Eine Zufallsgröße X heißt hypergeometrisch verteilt, wenn gilt: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Hypergeometrische Verteilung StudySmarter

In einer Urne sind 10 Kugeln enthalten, davon 4 weiße und 6 schwarze. Die Wahrscheinlichkeit, genau 2 weiße Kugeln zu ziehen, wenn insgesamt 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, ist gegeben durch:

Die Ergebnisse eines Lotto-Spiels sind hypergeometrisch verteilt. Daher lernst du in diesem Abschnitt auch die Lotto-Formel kennen, mit der du die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns berechnen kannst!

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die zweite Art von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Hier wirst du drei Verteilungen kennenlernen:

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Normalverteilung

Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsgröße X gegeben durch Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte StudySmarter mit Erwartungswert und Standardabweichung , so heißt sie normalverteilt.

Der Graph der Dichtefunktion wird auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Nimmt der Erwartungswert den Wert 0 und die Standardabweichung den Wert 1 an, so spricht man von der Standardnormalverteilung.

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Standardnormalverteilung StudySmarter

Abbildung 1: Standardnormalverteilung

Im Abschnitt Normalverteilung werden dir zudem die Gauß-Funktion, die nach dem bedeutenden Mathematiker Gauß benannt ist, und die Sigma-Regeln erläutert.

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Gleichverteilung

Eine Zufallsgröße X heißt gleichverteilt, wenn jedes mögliche Ereignis mit derselben Wahrscheinlichkeit eintritt. Ein Beispiel hierfür ist das Werfen eines Würfels. Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 treten alle mit der Wahrscheinlichkeit auf.

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Exponentialverteilung

Eine Zufallsgröße X, für die gilt Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Exponentialverteilung StudySmarter , ist exponentialverteilt. Dabei ist ein Parameter.

Die Exponentialverteilung tritt beispielsweise bei der Lebensdauer von elektrischen Geräten auf. Bei einem solchen Gerät, bei dem die mittlere Lebensdauer bekannt ist, kannst du dann berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es schon früher oder erst später kaputtgeht.

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung - Das Wichtigste

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.
Nimmt eine Zufallsgröße X die Werte k=0, 1, 2, ..., n mit den Wahrscheinlichkeiten $P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ an, so nennt man sie binomialverteilt.
Eine Zufallsgröße X heißt poissonverteilt, wenn für k=0, 1, 2, ... gilt: $P (X = k) = \frac{μ^{k}}{k! \cdot e^{μ}} m i t μ > 0$
Eine Zufallsgröße X heißt hypergeometrisch verteilt, wenn gilt: $P (X = k) = \frac{(\begin{matrix} w \\ k \end{matrix}) (\begin{matrix} n - w \\ m - k \end{matrix})}{(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix})} m i t k = 0, 1, . . ., m$
Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsgröße X gegeben durch $φ (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ mit Erwartungswert $μ$ und Standardabweichung $σ$ so heißt sie normalverteilt.
Eine Zufallsgröße X, für die gilt $P (X \leq t) = \{\begin{cases} 1 - \frac{1}{e^{λ t}} f ü r t \geq 0 \\ 0 f ü r t \leq 0 \end{cases} m i t λ > 0$ ist exponentialverteilt.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.

Was ist eine binomialverteilte Zufallsgröße?

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Ist die Zufallsgröße binomialverteilt, so ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung.

Was ist die Zufallsgröße?

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Wie erstellt man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann man durch ein Stabdiagramm oder ein Histogramm darstellen.

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