Wie kann man quadratische Gleichungen lösen?

Das Lösungsverfahren wird ausgewählt, je nachdem in welcher Form die Gleichung gegeben ist und um welche Art es sich handelt. Zu den Lösungswegen zählen Wurzelziehen, Ausklammern, Mitternachtsformel, pq-Formel, Satz von Vieta und quadratische Ergänzung.

Wann ist eine quadratische Gleichung nicht lösbar?

Wenn beim Wurzelziehen oder in der Mitternachtsformel und pq-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht, dann ist eine quadratische Gleichung nicht lösbar.

Wann wird die pq-Formel angewendet?

Die pq-Formel wird bei gemischtquadratischen Gleichungen mit absolutem Glied in der Normalform x 2 +px+q=0 verwendet.

Was ist eine gemischtquadratische Gleichung?

Eine gemischtquadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung mit linearem Glied bx.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine Gleichung mit einem linearen Glied

Quadratische Gleichungen lösen: Einfach erklärt & Beispiele

quadratische Gleichungen lösen Nullstellen StudySmarter Abbildung 1: quadratische Gleichung - Wurfparabel

Wie das Lösen von quadratischen Gleichungen funktioniert, lernst Du in diesem Artikel. Das Lösen von quadratischen Gleichungen ist Teil der Algebra in der Mathematik.

Quadratische Gleichungen – Wiederholung der Basics

Die Voraussetzung zum Lösen von quadratischen Gleichungen ist die Kenntnis von quadratischen Gleichungen an sich, ihren Arten und ihren Darstellungsformen. Eine kurze Wiederholung dieser Basics findest Du in den nachfolgenden Abschnitten.

Quadratische Gleichungen – Erklärung und Definition

Quadratische Gleichungen haben, wie auch andere Arten von Gleichungen, bestimmte Eigenschaften.

Eine quadratische Gleichung hat den Grad 2, das heißt der höchste Exponent der Variable x ist die 2. Somit enthalten quadratische Gleichungen immer ein quadratisches Glied $x^{2}$ .

Die Variable x kann auch anders bezeichnet werden, zum Beispiel mit u, v, oder weiteren Buchstaben.

Bei der Darstellung von quadratischen Gleichungen gibt es jedoch Unterschiede. Zwei mögliche Darstellungsformen von quadratischen Gleichungen sind die allgemeine Form und die Normalenform. Diese zwei Darstellungsformen lernst Du im Folgenden kennen.

Allgemeine Form

Eine Art der Darstellung ist die allgemeine Form.

Der Koeffizient a der Variable x ist in der allgemeinen Form ungleich 1:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Dabei wird $a x^{2}$ als quadratisches Glied, $b x$ als lineares Glied und c als absolutes Glied bezeichnet und a, b, c sind die Koeffizienten der Glieder. Zudem gilt immer für den Koeffizienten $a \neq 0$ , sonst entfällt das quadratische Glied, das die quadratische Gleichung auszeichnet.

Zur Erinnerung: Der Koeffizient ist eine Konstante, mit der eine Variable x multipliziert wird.

Durch Äquivalentumformung lässt sich jede quadratische Gleichung in die allgemeine Form bringen. Äquivalentumformung heißt die Umformung einer Gleichung in eine neue Gleichung mit der gleichen Lösungsmenge $L$ wie die ursprüngliche Gleichung. Die Lösungsmengen sind also äquivalent.

Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung in der Allgemeinform siehst Du nachfolgend:

$2 x^{2} + x - 1 = 0$

Normalform

Eine weitere Art der Darstellung von quadratischen Gleichungen ist die Normalform.

Die Variable x hat in der Normalform den Koeffizienten 1. Dieser wird nicht extra aufgeschrieben:

$x^{2} + p x + q = 0$

Dabei wird $x^{2}$ als quadratisches Glied, $p x$ als lineares Glied und q als absolutes Glied bezeichnet und p, q sind die Koeffizienten der Glieder.

Durch Äquivalentumformung lässt sich jede quadratische Gleichung ebenfalls in die Normalenform bringen.

Beispielsweise handelt es sich bei der folgenden Gleichung um eine quadratische Gleichungen in der Normalenform:

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Arten von quadratischen Gleichungen

Neben den Darstellungsformen werden auch generell unterschiedliche Arten von quadratischen Gleichungen unterschieden. Es gibt beispielsweise reinquadratische Gleichungen und gemischtquadratische Gleichungen. Diese Arten lernst Du im Folgenden kennen.

Gemischtquadratische Gleichungen

Gemischtquadratische Gleichungen hast Du gerade quasi schon kennengelernt.

Gemischtquadratische Gleichungen beinhalten neben dem quadratischen Glied $a x^{2}$ oder $x^{2}$ und gegebenenfalls dem absoluten Glied c oder q ein lineares Glied $b x$ oder $q x$ . Sie lassen sich durch Äquivalentumformung in die allgemeine Form

$a x^{2} + b x + c = 0 (a, b, c \in ℝ; a, b \neq 0)$

oder in die Normalenform

$x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in ℝ; p, q \neq 0)$

bringen.

Bei gemischtquadratischen Gleichungen kann das absolute Glied vorhanden sein, oder fehlen.

Gemischtquadratische Gleichung ohne absolutem Glied in der Normalenform:

$x^{2} + 4 x = 0$

Gemischtquadratische Gleichung mit absolutem Glied in der allgemeinen Form:

$56 x^{2} + 9 x - 1 = 0$

Reinquadratische Gleichungen

Im Namen "reinquadratischen Gleichung" steckt ihre beschreibende Bedingung bereits drin.

Reinquadratische Gleichungen beinhalten kein lineares Glied $b x$ oder $q x$ , sondern nur das quadratische Glied $a x^{2}$ oder $x^{2}$ und gegebenenfalls das absolute Glied c oder q. Sie lassen sich durch Äquivalentumformung in die allgemeine Form

$a x^{2} + c = 0 (a, c \in ℝ; a \neq 0)$

oder in die Normalenform

$x^{2} + q = 0 (q \in ℝ)$

bringen.

Bei reinquadratische Gleichungen kommt somit die Variable x ausschließlich im Quadrat vor, während das restliche, absolute Glied nur noch eine Zahl ist. Das absolute Glied kann vorhanden sein, muss aber nicht.

Beispiel für eine reinquadratische Gleichung mit absolutem Glied c in der allgemeinen Form:
$17 x^{2} + 1 = 0$
Beispiel für eine reinquadratische Gleichung ohne absolutem Glied q in der Normalenform:
$x^{2} = 0$

Quadratische Gleichungen – Nullstellen

Quadratische Gleichungen werden zum Beispiel gebraucht, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion $f (x)$ zu berechnen. Sie sind somit ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussionen.

Für die Ermittlung von Nullstellen einer quadratischen Funktion $f (x)$ wird diese gleich 0 gesetzt, denn an den Nullstellen gilt $f (x) = 0$ . Somit erhältst Du eine quadratische Gleichung. Um die Nullstellen der Funktion $f (x)$ zu erhalten ist die Lösung der quadratischen Gleichung erforderlich.

Zur Erinnerung: An den Nullstellen einer Funktion $f (x)$ schneidet der Funktionsgraph die x-Achse.

Wie das Lösen von quadratischen Gleichungen funktioniert, lernst Du in den weiteren Abschnitten kennen.

Quadratische Gleichungen lösen

Um quadratische Gleichungen zu lösen, müssen diese nach der Variable x aufgelöst werden.

Alle Werte, die in die quadratische Gleichung für die Variable x eingesetzt eine wahres Ergebnis liefern, heißen Lösung L der quadratischen Gleichung. Diese können zu einer Lösungsmenge $L$ zusammengefasst werden. Quadratische Gleichungen haben maximal zwei Lösungen, können jedoch auch keine oder eine Lösung besitzen.

Um quadratische Gleichungen zu lösen gibt es verschiedene Verfahren, je nachdem in welcher Form die quadratischen Gleichungen gegeben sind. Die Verfahren, die für die unterschiedlichen Arten und je nach Darstellungsform angewendet werden, kannst Du in der nachfolgenden Tabelle nachlesen.

Art	Form	Lösungsverfahren
Reinquadratische Gleichungen ohne absolutem Glied	allgemeine oder Normalform: $a x^{2} = 0$ oder $x^{2} = 0$	Einzige Lösung $x = 0$ , da $0^{2} = 0$
Reinquadratische Gleichungen mit absolutem Glied	allgemeine oder Normalform: $a x^{2} + c = 0$ oder $x^{2} + c = 0$	Nach $x^{2}$ auflösen Wurzel ziehen
Gemischtquadratische Gleichungen ohne absolutem Glied	allgemeine oder Normalform: $a x^{2} + b x = 0$ oder $x^{2} + p x = 0$	x Ausklammern Faktoren gleich 0 setzen nach x auflösen
Gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied	allgemeine Form: $a x^{2} + b x + c = 0$	Mitternachtsformel
Gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied	Normalform: $x^{2} + p x + q = 0$	p-q-Formel Satz von Vieta quadratische Ergänzung

In den nachfolgenden Abschnitten lernst Du die verschieden Lösungsverfahren anhand einiger Beispiele kennen. Wenn ein Lösungsverfahren einer bestimmten Art von quadratischen Gleichungen für beide Darstellungsformen angewendet werden kann, wird im weiteren Verlauf des Artikels die allgemeine Form verwendet.

Reinquadratische Gleichungen lösen

Bei den Lösungsverfahren für reinquadratische Gleichungen, also quadratische Gleichungen ohne linearem Glied $b x$ kommt es darauf an, ob ein absolutes Glied c in der Gleichung vorhanden ist oder nicht.

Reinquadratische Gleichungen ohne absolutes Glied lösen

Wenn in den reinquadratischen Gleichungen kein absolutes Glied c enthalten ist, dann kann die Lösungsmenge $L$ der Gleichung ohne Rechnen bestimmt werden.

Reinquadratische Gleichungen ohne absolutem Glied c der Form $a x^{2} = 0$ besitzen nur eine Lösung $x = 0$ . Die Lösungsmenge ist $L = {0}$ .

In der Gleichung ist nur das quadratische Glied $a x^{2}$ vorhanden, das 0 ergeben muss. Der Koeffizient a ist konstant und nur x ist variabel. Der Koeffizient muss mit der Variable $x^{2}$ multipliziert 0 ergeben. Da eine Konstante multipliziert nur 0 ergibt, wenn der Multiplikator, also der zweite Faktor 0 ist, ist die einzige Lösung $x = 0$ , denn nur $0^{2}$ ergibt wieder 0.

Gesucht ist die Lösung der Gleichung:

$3 x^{2} = 0$

Die einzige Lösung ist $x = 0$ , da gilt:

$3 \cdot 0^{2} = 3 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

Das Produkt aus der Konstante 3 und der Variable x im Quadrat ergibt nur 0, wenn der Multiplikator 0 ist. Der Multiplikator ist in diesem Fall $x^{2}$ . Nur 0 gibt quadriert wieder 0, weswegen $x = 0$ die einzige Lösung der gegebenen Gleichung ist.

Die Lösungsmenge ist somit:

$L = {0}$

Reinquadratische Gleichungen mit absolutem Glied lösen

Willst Du reinquadratische Gleichungen lösen, die ein absolutes Glied enthalten, gibt es ein paar Schritte, die Du anwenden kannst.

Reinquadratische Gleichungen mit absolutes Glied c der Form $a x^{2} + c = 0$ können wie folgt gelöst werden:

Gleichung nach $x^{2}$ auflösen
Wurzel ziehen

Zum Schluss muss die Lösungsmenge $L$ angegeben werden.

Als Beispiel kannst Du Dir die Wurfparabel aus der Einleitung des Artikels ansehen. Hierbei handelt es sich nämlich um eine reinquadratische Gleichung.

Du hast ja Deinen Ball geworfen und willst nun wissen, wie weit Du geworfen hast. Dafür musst Du die quadratische Gleichung lösen.

quadratische Gleichungen lösen Wurfparabel StudySmarter Abbildung 2: quadratische Gleichung - Wurfparabel

Dafür befolgst Du die Schritte, die Du gerade gelernt hast:

1. Gleichung nach $x^{2}$ auflösen

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} - \frac{1}{2} x^{2} + 4 & = & 0 & - 4 \\ - \frac{1}{2} x^{2} & = & - 4 & \cdot (- 2) \\ x^{2} & = & 8 \end{matrix} \end{array}$

2. Quadratwurzel ziehen

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x^{2} & = & 8 & \pm \\ x_{1 / 2} & = & \pm \sqrt{8} \\ \to x_{1} & = & - \sqrt{8} & \begin{matrix} = & - 2 \sqrt{2} \end{matrix} \begin{matrix} \approx & - 2, 83 \end{matrix} \\ \to x_{2} & = & \sqrt{8} & = 2 \sqrt{2} \begin{matrix} \approx & 2, 83 \end{matrix} \end{matrix} \end{array}$

Nun kannst Du die beiden Lösungen aufschreiben

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 2 \sqrt{2}; x_{2} = 2 \sqrt{2} \end{array}$

und die Lösungsmenge angeben

$L = \{- 2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{2}\}$

Dein $x_{1}$ ist die Position, wo Du im Koordinatensystem auf der x-Achse stehst. Die Differenz zwischen $x_{2}$ und $x_{1}$ ist Deine Wurfweite.

$x_{2} - x_{1} = 2 \sqrt{2} - (- 2 \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} \approx 5, 66$

Du hast also $5, 66 m$ weit geworfen.

Gemischtquadratische Gleichungen lösen

Für die Lösung von gemischtquadratischen Gleichungen, also quadratische Gleichungen mit einem linearen Glied $b x$ oder $q x$ , unterscheiden sich die Lösungsverfahren, je nachdem, ob ein lineares Glied c oder q vorhanden ist oder ob die Gleichung in der allgemeinen oder Normalform gegeben ist.

Als erstes lernst Du das Lösungsverfahren für gemischtquadratische Gleichungen ohne absolutem Glied c kennen, das Ausklammern. Der Übersichtlichkeit halber werden in den folgenden drei Abschnitten gemischtquadratische Gleichungen vereinfacht als quadratische Gleichungen bezeichnet.

Quadratische Gleichungen lösen – Ausklammern

Quadratische Gleichungen ohne absolutem Glied c besitzen nur Glieder, welche die Variable x beinhalten. Somit ist es möglich diese auszuklammern, um zwei Faktoren auf der linken Seite der Gleichung zu erhalten. Damit die Gleichung 0 ergibt, muss einer dieser Faktoren 0 sein, wodurch Du die Lösungen Deiner Gleichungen berechnen kannst.

Quadratische Gleichungen der Form $a x^{2} + b x = 0$ können mithilfe des Ausklammerns gelöst werden. Dabei kannst Du folgende Schritte anwenden:

1. Variable x ausklammern

$x \cdot (a x + b) = 0$

2. Beide Faktoren gleich 0 setzen

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} Ⅰ & x & = & 0 \\ Ⅱ & a x + b & = & 0 \end{matrix} \end{array}$

3. Gleichungen nach der Variable x auflösen

Hast Du die Gleichungen gelöst, so kannst Du wieder die Lösungsmenge $L$ angeben.

Durch das Ausklammern der Variable x erhältst Du, wie gerade kennengelernt, zwei Faktoren. Ein Faktor ist dabei die Variable x, somit ist eine Lösung immer $x = 0$ .

Im Folgenden hast Du ein Beispiel zur Lösung von quadratischen Gleichungen ohne absolutem Glied.

Gesucht ist die Lösung der quadratischen Gleichung:

$3 x^{2} - 9 x = 0$

1. Variable x ausklammern:

$x \cdot (3 x - 9) = 0$

2. Beide Faktoren gleich 0 setzen:

$\begin{matrix} Ⅰ & x & = & 0 \\ Ⅱ & 3 x - 9 & = & 0 \end{matrix}$

Hast Du mehrere Gleichungen, so werden diese in der Mathematik mit römischen Zahlen gekennzeichnet.

3. Gleichungen nach der Variable x auflösen:

Aus Gleichung I:

$x_{1} = 0$

Aus Gleichung II:

$\begin{matrix} 3 x - 9 & = & 0 & + 9 \\ 3 x & = & 9 & : 3 \\ x_{2} & = & 3 \end{matrix}$

Die Lösungsmenge ist damit:

$L = {0, 3}$

Damit hast Du nun kennengelernt, wie Du quadratische Gleichungen ohne absolutem Glied c löst. Manche Gleichungen enthalten nun aber absolute Glieder. Zum Lösen von quadratischen Gleichungen mit absolutem Glied c oder q gibt es deshalb weitere Lösungsverfahren, die Du anwenden kannst, je nachdem in welcher Form Deine Gleichungen gegeben sind.

Quadratische Gleichungen lösen – pq-Formel

Die pq-Formel ist eine Lösungsformel, die Du für die Lösung von gemischtquadratischen Gleichungen anwenden kannst, die in der Normalform gegeben sind. Die Normalform $x^{2} + p x + q = 0$ von quadratischen Gleichungen hast Du bereits kennengelernt. Wie der Name der Formel, pq-Formel, bereits erkennen lässt, werden zur Berechnung der x-Werte, die zu einer wahren Aussage führen, die Koeffizienten p und q herangezogen.

Die pq-Formel wird zur Lösung von quadratischen Gleichungen in der Normalform

$x^{2} + p x + q = 0$

mit absolutem Glied q verwendet.

Die pq-Formel lautet:

$x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Die einzelnen Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ kannst Du durch Fallunterscheidung berechnen:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - \frac{p}{2} - \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{2} & = & - \frac{p}{2} + \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \end{array}$

Anschließend kann wieder die Lösungsmenge $L$ angegeben werden.

Die Anwendung der pq-Formel kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen:

Gesucht ist die Lösung der in der Normalform gegebenen quadratischen Gleichung:

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Hier gilt:

$p = 3, q = - 4$

Nun kann die pq-Formel angewendet werden:

$x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Für die gegeben Gleichung werden die p und q-Werte eingesetzt:

$x_{1 / 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)}$

Die einzelnen Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ kannst Du nun durch Fallunterscheidung berechnen. Die erste Lösung $x_{1}$ lautet:

\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - \frac{3}{2} - \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)} \\ = & - \frac{3}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} \\ = & - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \\ = & - 4 \end{array}

Die zweite Lösung $x_{2}$ lautet:

$\begin{array}{rcl} x_{2} & = & - \frac{3}{2} + \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)} \\ = & - \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} \\ = & - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \\ = & 1 \end{array}$

Die Lösungsmenge ist somit:

L = {- 4, 1}

Auch wenn eine quadratische Gleichung in einer anderen Form gegeben ist, kannst Du diese durch Umformen in die Normalform bringen und anschließend zum Lösen die pq-Formel verwenden. Ist die quadratische Gleichung jedoch in der allgemeinen Form gegeben, so gibt es eine weitere Formel, die Du anwenden kannst, die Mitternachtsformel. Diese lernst Du im nächsten Abschnitt kennen.

Quadratische Gleichungen lösen – Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel oder quadratische Formel genannt, ist eine weitere Formel zum Lösen von quadratischen Gleichungen.

Die Mitternachtsformel wird vor allem für das Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen in der allgemeinen Form $a x^{2} + b x + c = 0$ mit absolutem Glied c verwendet.

Die Mitternachtsformel lautet:

$x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Die einzelnen Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ kannst Du durch Fallunterscheidung berechnen:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Anschließend kann wieder die Lösungsmenge $L$ angegeben werden.

Der Name "Mitternachtsformel" kommt wirklich von der Vorstellung, dass jeder Schüler, wenn er um Mitternacht geweckt wird, in der Lage sein sollte, diese Formel aufzusagen.

Nun kannst Du die Mitternachtsformel für das Lösen beliebiger quadratischer Gleichungen in der allgemeinen Form anwenden.

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der allgemeinen Form:

$2 x^{2} + 10 x + 5 = 0$

Löse diese mithilfe der Mitternachtsformel:

$x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Für die gegebene Gleichung gilt:

$a = 2, b = 10, c = 5$

Nun kannst Du die Werte in die Mitternachtsformel einsetzen:

$x_{1 / 2} = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Die einzelnen Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ kannst Du nun wieder durch Fallunterscheidung berechnen. Die erste Lösung $x_{1}$ lautet:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- 10 - \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} \\ = & \frac{- 10 - \sqrt{60}}{4} \\ = & \frac{- 5 - \sqrt{15}}{2} \\ \approx & - 4, 44 \end{array}$

Die zweite Lösung $x_{2}$ lautet:

$\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- 10 + \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} \\ = & \frac{- 5 + \sqrt{15}}{2} \\ \approx & - 0, 56 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet somit:

$L = \{\frac{- 5 - \sqrt{15}}{2}, \frac{- 5 + \sqrt{15}}{2}\}$

Im Artikel "Mitternachtsformel" kannst Du Dein Wissen zu dem Thema vertiefen.

Quadratische Gleichungen lösen – Weitere Verfahren

Neben der Mitternachtsformel und der pq-Formel gibt es für das Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen mit absolutem Glied noch weitere mögliche Verfahren:

Satz von Vieta

Sind die Lösungen ganzzahlig, so kannst Du mithilfe des Satzes von Vieta die Lösungen von quadratischen Gleichungen im Kopf bestimmen. Zur Anwendung des Satzes von Vieta muss die quadratische Gleichung in der Normalform $x^{2} + p x + q = 0$ gegeben sein, oder durch Äquivalenzumformung in diese gebracht werden.

Satz von Vieta

Für eine quadratische Gleichung in der Normalform $x^{2} + p x + q = 0$ gilt für die Lösungsvariablen $x_{1}$ und $x_{2}$ :

$x_{1} + x_{2} = - p$

Die Summe der Lösungsvariablen ergibt $- p$ (Koeffizient von x). Ebenso gilt:

$x_{1} \cdot x_{2} = q$

Das Produkt der Lösungsvariablen ist gleich q (alleinstehende Zahl im Funktionsterm).

Ein Beispiel findest Du im Folgenden:

Gesucht ist die Lösung der folgenden Funktion in der Normalform:

$f (x) = x^{2} - 8 x - 9$

Es gilt:

$p = - 8, q = - 9$

1. Schritt: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für q und p aus Deiner Funktion ein:

$x_{1} + x_{2} = - p \to x_{1} + x_{2} = - (- 8) = 8$

$x_{1} \cdot x_{2} = q \to x_{1} \cdot x_{2} = - 9$

2. Schritt: Finde Zahlen, für die das Produkt ( $x_{1} \cdot x_{2} = q$ ) richtig wird. Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe aufgeht.

Sinnvoll zum Berechnen von

$x_{1} \cdot x_{2} = - 9$

wären zum Beispiel die Zahlen -1 und 9, denn

$- 1 \cdot 9 = - 9$

Dann wäre $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 9$ .

Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also

$x_{1} + x_{2} = 8$

Für die Zahlen -1 und 9 stimmt diese Bedingung:

$- 1 + 9 = 8$

Du hast also die zwei Lösungen für diese quadratische Funktion gefunden.

Gegenbeispiel:

Möglich wären auch die Zahlen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 3$ , für die ebenfalls das Produkt aufgeht , denn

$3 \cdot (- 3) = - 9$

Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht:

$3 + (- 3) = 0 \neq 8$

Diese beiden Lösungsvariablen wären also falsch.

Beim Satz vom Vieta geht es also darum, dass Du im Kopf Möglichkeiten findest, die beiden Bedingungen (Summe und Produkt) zu erfüllen. Du kannst ihn ebenfalls dafür verwenden, Deine errechneten Lösungen aus der Mitternachtsformel oder der pq-Formel zu überprüfen.

Quadratische Ergänzung

Das Lösungsverfahren quadratischen Ergänzung kannst Du zum Lösen der quadratischen Gleichungen in Normalform anwenden.

Bei der quadratischen Ergänzung wandelst Du eine Gleichung von ihrer Normalform

x^{2} + p x + q = 0

in ihre binomische Form um:

${(x + d)}^{2} = e$

Die Lösung von quadratischen Gleichungen durch quadratische Ergänzung erfolgt mithilfe dieser Schritte:

Absolutes Glied auf die rechte Seite der Gleichung bringen
Quadratische Ergänzung durchführen
Binomische Formel anwenden
Wurzel ziehen
Gleichung nach der Variable x auflösen

Danach kannst Du wieder die Lösungsmenge $L$ aufschreiben.

Wenn dich das Thema interessiert, kannst Du im Artikel "quadratische Ergänzung" Dein Wissen vertiefen.

Für das Lösen von quadratischen Gleichungen mithilfe der quadratischen Ergänzung ist die Kenntnis der binomischen Formeln erforderlich.

Zur Erinnerung: Die ersten beiden binomischen Formeln lauten:

1. binomische Formel: quadratische Gleichungen lösen quadratische Gleichungen lösen quadratische Ergänzung StudySmarter

2.binomische Formel:

Ein Beispiel für die Lösung einer quadratischen Gleichung mit quadratischer Ergänzung findest Du hier:

Gesucht ist die Lösung der quadratischen Gleichung anhand der quadratische Ergänzung:

$x^{2} + 7 x - 3 = 0$

1. Absolutes Glied auf die rechte Seite der Gleichung bringen

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 7 x - 3 & = & 0 + 3 \\ x^{2} + 7 x & = & 3 \end{array}$

2. Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten p der Variable x:

$\begin{matrix} x^{2} + 8 x & = & 3 & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} + {(\frac{8}{2})}^{2} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ x^{2} + 8 x + {(\frac{8}{2})}^{2} & = & 3 + {(\frac{8}{2})}^{2} \\ x^{2} + 8 x + 4^{2} & = & 3 + 4^{2} \\ x^{2} + 8 x + 4^{2} & = & 3 + 16 \\ x^{2} + 8 x + 4^{2} & = & 19 \end{matrix}$

3. Binomische Formel anwenden

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x^{2} + 8 x + 4^{2} & = & 19 & 1 . Binomisch e Formel \\ {(x + 4)}^{2} & = & 19 \end{matrix} \end{array}$

4. Wurzel ziehen

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} {(x + 4)}^{2} & = & 19 & \pm \\ x + 4 & = & \pm \sqrt{19} \end{matrix} \end{array}$

5. Gleichung nach der Variable x auflösen

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x + 4 & = & \pm \sqrt{19} & - 4 \\ x & = & \pm \sqrt{19} - 4 \\ \to x_{1} & = & - \sqrt{19} - 4 & \approx & - 8, 36 \\ \to x_{2} & = & \sqrt{19} - 4 & \approx & 0, 36 \end{matrix} \end{array}$

Die Lösungsmenge ist somit:

$L = \{- \sqrt{19} - 4, \sqrt{19} - 4\}$

Nun hast Du mehrere Verfahren zur Lösung von verschiedenen Arten von quadratischen Gleichungen gelernt. Je nach Fragestellung kannst Du entscheiden, welches Lösungsverfahren angewendet werden muss. Allerdings gibt es auch noch eine weitere Form der quadratischen Gleichung, welche Du im nachfolgenden Abschnitt kennenlernst.

Biquadratische Gleichungen lösen

Biquadratische Gleichungen sind eine Sonderform der quadratischen Gleichungen. Durch die Auslegung der pq-Formel und der Mitternachtsformel auf quadratische Gleichungen ist eine biquadratische Gleichung nicht direkt durch diese lösbar, sondern durch Substitution und Resubstitution.

Aus einer biquadratischen Gleichung wird durch eine Substitution immer eine quadratische Gleichung, sodass Du alle möglichen Lösungsansätze zum Lösen einer quadratischen Gleichung anwenden kannst.

Wie das Lösen von biquadratischen Gleichungen funktioniert, findest Du im Artikel "Biquadratische Gleichung" mit Beispielen und weiterführende Erklärungen.

Quadratische Gleichungen lösen – Aufgaben

Im Folgenden findest Du ein paar Aufgaben, um das Lösen von quadratischen Gleichungen zu üben.

Aufgabe 1

Gesucht ist die Lösung der Gleichung:

$2 x^{2} - 18 = 0$

Lösung

Bei der gegebenen Gleichung handelt es sich um eine reinquadratische Gleichung mit absolutem Glied c. Dafür kannst Du folgendes Lösungsverfahren anwenden:

1. Gleichung nach $x^{2}$ auflösen

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 18 & = & 0 + 18 \\ 2 x^{2} & = & 18 \div 2 \\ x^{2} & = & 9 \end{array}$

2. Quadratwurzel ziehen

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 9 \pm \\ x_{1 / 2} & = & \pm \sqrt{9} \\ \to & x_{1} = - \sqrt{9} = - 3 \\ \to & x_{2} = \sqrt{9} = 3 \end{array}$

Nun kannst Du die beiden Lösungen aufschreiben

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 3; x_{2} = 3 \end{array}$

und die Lösungsmenge angeben:

$L = {- 3, 3}$

Aufgabe 2

Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung:

$- 19 x^{2} + 76 x = 0$

Lösung

Bei der Gleichung handelt es sich um eine gemischtquadratische Gleichung ohne absolutem Glied c. Somit kannst Du das Ausklammern als Lösungsverfahren anwenden.

1. Variable x ausklammern:

$x \cdot (- 19 x + 76) = 0$

2. Beide Faktoren gleich 0 setzen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} Ⅰ & x & = & 0 \\ Ⅱ & - 19 x + 76 & = & 0 \end{matrix} \end{array}$

3. Gleichungen nach der Variable x auflösen:

Aus Gleichung I:

$x_{1} = 0$

Aus Gleichung II:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} - 19 x + 76 & = & 0 & - 76 \\ - 19 x & = & - 76 & : (- 19) \\ x_{2} & = & \frac{- 76}{- 19} = 4 \end{matrix} \end{array}$

Die Lösungsmenge ist damit:

$L = {0, 4}$

Aufgabe 3

Berechne die Lösung der quadratischen Gleichung:

$x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Lösung

Der Koeffizient des quadratischen Gliedes $x^{2}$ beträgt 1. Die Gleichung ist also in Normalform gegeben. Somit kannst Du zum Lösen die pq-Formel anwenden:

$x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Die Gleichung lautet $x^{2} + 8 x + 7 = 0$ , also gilt hier:

$p = 8, q = 7$

Nun kannst Du für die gegeben Gleichung die p und q-Werte einsetzen:

$x_{1 / 2} = - \frac{8}{2} \pm \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} - 7}$

Die einzelnen Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ kannst Du nun durch Fallunterscheidung berechnen. Die erste Lösung $x_{1}$ lautet:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - \frac{8}{2} - \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} - 7} \\ = & - 4 - \sqrt{\frac{64}{4} - 7} \\ = & - 4 - \sqrt{16 - 7} \\ = & - 4 - \sqrt{9} \\ = & - 4 - 3 \\ = & - 7 \end{array}$

Die zweite Lösung $x_{2}$ lautet:

$\begin{array}{rcl} x_{2} & = & - \frac{8}{2} + \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} - 7} \\ = & - 4 + \sqrt{9} \\ = & - 4 + 3 \\ = & - 1 \end{array}$

Die Lösungsmenge ist somit:

$L = \{- 7, - 1\}$

Aufgabe 4

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:

$9 x^{2} - 3 x = - 1$

Bringe Sie in die allgemeine Form und löse sie mithilfe der Mitternachtsformel:

$x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Lösung

Zuerst musst Du die Gleichung umformen, sodass Du sie in der allgemeinen Form $a x^{2} + b x + c = 0$ stehen hast:

$\begin{array}{rcl} 9 x^{2} + - 3 x & = & - 1 + 1 \\ 9 x^{2} + - 3 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Für die gegebene Gleichung gilt nun:

$a = 9, b = - 3, c = 1$

Nun kannst Du die Werte in die Mitternachtsformel einsetzen:

$x_{1 / 2} = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Die einzelnen Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ kannst Du nun wieder durch Fallunterscheidung berechnen. Die erste Lösung $x_{1}$ lautet:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- (- 3) - \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9} \\ = & \frac{3 - \sqrt{9 - 36}}{18} \\ = & \frac{3 - \sqrt{- 27}}{4} \end{array}$

Die Rechnung ist nicht möglich, da unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Eine Lösung $x_{1}$ gibt es deshalb nicht.

Auch eine zweite Lösung $x_{2}$ gibt es nicht, da ebenfalls ein negativer Betrag unter der Wurzel steht:

$\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \frac{- (- 3) + \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9} \\ = & \frac{3 + \sqrt{- 27}}{4} \end{array}$

Die Lösungsmenge ist somit leer:

$L = {}$

Quadratische Gleichungen lösen – Das Wichtigste

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen mit einem quadratischen Glied $x^{2}$
Mögliche Darstellungsformen sind:
- allgemeine Form $a x^{2} + b x + c = 0$
- Normalform $x^{2} + p x + q = 0$
Arten von quadratischen Gleichungen sind:
- gemischtquadratische Gleichungen (mit linearem Glied $b x oder p x$ )
- reinquadratische Gleichungen (kein lineares Glied $b x oder p x$ )
Das Lösungsverfahren wird ausgewählt, je nachdem in welcher Form die Gleichung gegeben ist und um welche Art es sich handelt
Reinquadratische Gleichungen ohne absolutem Glied:
- Einzige Lösung $x = 0$
Reinquadratische Gleichungen mit absolutem Glied:
1. Nach $x^{2}$ auflösen
2. Wurzel ziehen
Gemischtquadratische Gleichungen ohne absolutem Glied:
1. x Ausklammern
2. Faktoren gleich 0 setzen
3. nach x auflösen
Gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied in der allgemeinen Form:
- Mitternachtsformel: $x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied in der Normalform:
- pq-Formel: $x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
Weitere Lösungsverfahren sind:
- Satz von Vieta
- quadratische Ergänzung
Biquadratischen Gleichungen werden durch Substitution, Mitternachts- oder pq-Formel und Resubstitution gelöst

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Beispiel für eine reinquadratische Gleichung mit absolutem Glied c in der allgemeinen Form:
$17 x^{2} + 1 = 0$
Beispiel für eine reinquadratische Gleichung ohne absolutem Glied q in der Normalenform:
$x^{2} = 0$

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Beispiel für eine reinquadratische Gleichung mit absolutem Glied c in der allgemeinen Form:
$17 x^{2} + 1 = 0$
Beispiel für eine reinquadratische Gleichung ohne absolutem Glied q in der Normalenform:
$x^{2} = 0$