Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

Im ersten Beispiel kannst du die schraffierte Fläche mit deinen bisherigen geometrischen Kenntnissen berechnen.

Abbildung 1: Die gesuchte Fläche unterhalb des Funktionsgraphen

Gegeben ist eine Fläche, die vom Funktionsgraphen f(x) und der x-Achse nach oben und unten beschränkt ist. Nach links und rechts ist die Fläche durch ein vorgegebenes Intervall beschränkt. Wenn du die gesuchte Fläche nun berechnen möchtest, dann kannst du zuerst die gesamte Fläche ausrechnen, so wie in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2: Die gesamte Fläche unterhalb des Funktionsgraphen

Anschließend kannst du die kleinere Fläche berechnen, die du in Abbildung 3 erkennen kannst!

Abbildung 3: Kleine Dreiecksfläche unterhalb des Graphen von f(x)

Wenn du jetzt die kleinere Fläche aus Abbildung 3 von der größeren Fläche aus Abbildung 2 abziehst, erhältst du die gesuchte Fläche unter der Funktion f(x) aus Abbildung 1.

Sicherlich ist dir schon aufgefallen, dass die gesuchten Flächen beide rechtwinklige Dreiecke sind. Wir schauen uns das jetzt zusammen genauer an!

Schau' dir das große Dreieck genauer an und überlege dir wie lang die Katheten sind. Die Längeneinheiten vernachlässigen wir der Einfachheit halber! Die eine Kathete entspricht einem Abschnitt der x-Achse. Vom Ursprung bis zum Punkt B hat diese die Länge 5. Die andere Kathete entspricht dem Abschnitt auf der y-Achse, auch hier wieder vom Ursprung und diesmal bis zu dem Punkt f(b).

Nun kannst du diese beiden Werte in die Formel zur Flächenberechnung rechtwinkliger Dreiecke einsetzen:

Analog kannst du das für das kleinere Dreieck tun. Graphisch sieht das dann wie folgt aus:

Auch hier kannst du wieder die Werte in die Formel einsetzen und die Fläche des Dreiecks berechnen.

Ganz am Anfang hatten wir gesagt, dass sich die Fläche daraus ergibt, wenn wir den größeren Flächeninhalt vom kleineren abziehen.

Vielleicht ist dir in dieser Berechnung schon etwas aufgefallen. Die Berechnung des Minuenden und des Subtrahenden sehen sich sehr ähnlich und entsprechen der Stammfunktion von f. Merk dir diese Fläche von 12, wir kommen weiter unten nochmal hierauf zurück!

Aus der Physik weißt du vielleicht, dass die Geschwindigkeit der Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der verbrauchten Zeit ist. Das Problem besteht aber darin, dass du nicht weißt, wie weit du gefahren bist, sondern nur die Zeit und die Geschwindigkeit gegeben hast. Nun könntest du die Formel einfach umstellen:

Einfaches Einsetzen würde aber zum falschen Ergebnis führen, da deine Eltern nicht die gleiche Geschwindigkeit über die gesamte Zeit beibehalten haben. Du kannst das Ergebnis aber erst einmal annähern. Aus unserer Tabelle hast du jede Sekunde die Geschwindigkeiten aufgeschrieben. Also kannst du für für jede Sekunde den Weg mit der entsprechenden Geschwindigkeit berechnen.

Insgesamt habt ihr also 165 Meter zurückgelegt. Den Graphen der Funktion haben wir vorhin nicht ohne Grund gezeichnet. Anschaulich hast du gerade das hier berechnet:

Der Weg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und der Zeit entspricht der Fläche unterhalb des Funktionsgraphen. Es entstehen 10 verschiedene Rechtecke. Der Flächeninhalt von Rechtecken wird berechnet indem du rechnest. In diesem Fall entspricht , da der Abstand der Zeit auf der x-Achse immer 1 Sekunde entspricht. Die andere Variable b ist abhängig vom Funktionswert (siehe Tabelle 1).

Um den Weg etwas genauer zu berechnen, musst du also die Fläche unterhalb des Graphens besser approximieren. Das kannst du tun, indem du die Rechtecke kleiner wählst, also du nicht jede Sekunde auf das Tachometer schaust, sondern beispielsweise jede halbe Sekunde.

Dir fällt sicherlich auf, dass nun deutlich weniger Fläche frei geblieben ist und du fast alles an Fläche erwischt hast. Auch hier kannst du alles in einer Wertetabelle aufschreiben und schlussendlich aufaddieren.

Der zurückgelegte Weg (Die Addition aller türkis hinterlegten Strecken) entspricht 166,25m. Merken wir uns diesen Wert ebenso für später!

Deine erste Approximation ist also gar nicht soweit weg von der neuen Annäherung. Umso geringer du die Zeitabstände also wählst, desto genauer wird die Berechnung des zurückgelegten Weges.