Ähnlichkeit Dreiecke: Berechnen & Aufgaben

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Ähnlichkeit Dreiecke Geschwister StudySmarter

Ähnlichkeit Dreiecke – Grundlagenwissen

Dreiecke und Ähnlichkeit sind beides ebenfalls einzelne Themengebiete und Du solltest über beide ein Vorwissen besitzen, bevor Du mit der Ähnlichkeit von Dreiecken beginnst.

Mehr zum Dreieck und zur Ähnlichkeit in den Erklärungen „Dreieck“ und „Ähnlichkeit“.

Dreiecke

Du kennst viele verschiedene Dreiecke. Sie werden nach ihren Winkeln und nach ihren Seiten unterschieden. Trotz dieser Unterschiede haben sie alle eine gemeinsame allgemeine Definition.

Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.

Ähnlichkeit Dreiecke Definition Dreieck StudySmarter Abbildung 2: Definition Dreieck

Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

Ein Dreieck besitzt drei Winkel, die mit Buchstaben aus dem griechischen Alphabet benannt sind. Die drei Winkel ergeben zusammen 180°. Diese Aussage steht im Innenwinkelsatz des Dreiecks.

Mehr zum Innenwinkelsatz eines Dreiecks erfährst Du in der Erklärung „Innenwinkelsumme eines Dreiecks“.

Ähnlichkeit

Wie zu Beginn erklärt, sehen sich Geschwister ähnlich, weil sie gleiche und unterschiedliche Eigenschaften besitzen. Wenn Du nun Ähnlichkeit in der Mathematik betrachtest, geht es darum, dass zwei geometrische Figuren in ihrer Form gleich sind, sich aber in ihrer Größe unterscheiden.

Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.

Die zentrische Streckung definiert sich wie folgt:

Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur. Dabei bleiben die Streckenverhältnisse und die Winkel unverändert. Der Ausgangspunkt zentrischer Streckungen ist das Streckungszentrum Z.

In der Abbildung siehst Du ein zentrisch gestrecktes Dreieck. Das blaue und grüne Dreieck sind also ähnlich zueinander, da sie sich nur in ihrer Größe, aber nicht ihrer Form, unterscheiden.

Ähnlichkeit Dreiecke zentrische Streckung StudySmarter Abbildung 3: zentrische Streckung

Neben dem Ähnlichkeitsbegriff gibt es auch noch den Kongruenzbegriff in der Mathematik.

Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung (Spiegelung, Verschiebung, Drehung oder deren Verkettung) ineinander übergehen.

Kongruenz an Dreiecken erkennst Du anhand der Kongruenzsätze. Diese lauten Seite-Seite-Seite, Winkel-Seite-Winkel, Seite-Winkel-Seite und Seite-Seite-Winkel.

Mehr zu den Kongruenzabbildungen, den Kongruenzsätzen und der zentrischen Streckung erfährst Du in den jeweiligen Erklärungen.

Ähnlichkeit Dreiecke – Seitenverhältnisse

Bei den Ähnlichkeitssätzen betrachtest Du immer die Seitenverhältnisse und prüfst, ob diese übereinstimmen. Bei den Kongruenzsätzen hingegen werden direkt die Längen der Seiten verglichen.

Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke

Der Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke ist der Winkel-Winkel Ähnlichkeitssatz. Er wird auch kurz „WW“ genannt.

Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

Es gilt:

$α = α'$ und $β = β'$

Der dritte Winkel eines Dreiecks lässt sich über die Innenwinkelsumme von Dreiecken berechnen und ist ebenfalls in beiden Dreiecken gleich groß.

Ähnlichkeit Dreiecke Hauptähnlichkeitssatz StudySmarter Abbildung 4: Hauptähnlichkeitssatz

Es gibt keinen äquivalenten Kongruenzsatz zu dem Hauptähnlichkeitssatz. Für Dreiecke, die in ihren Winkeln übereinstimmen, gilt nicht immer, dass sie auch im Flächeninhalt übereinstimmen. Um Kongruenz nachzuweisen, benötigst Du immer mindestens eine Seite des Dreiecks.

Aufgabe 1

Wie groß sind die Winkel des Dreiecks ABC, wenn das ähnliche Dreieck A'B'C' die Winkel $α' = 50 °$ und $β' = 70 °$ besitzt?

Lösung

Die Winkel von ähnlichen Dreiecken sind nach dem Hauptähnlichkeitssatz gleich groß.

$α = α' = 50 °$

$β = β' = 70 °$

Um den dritten Winkel $γ$ zu ermitteln, musst Du über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks diesen berechnen.

$\begin{array}{rcl} α + β + γ & = & 180 ° \\ γ & = & 180 ° - α - β \\ γ & = & 180 ° - 50 ° - 70 ° \\ γ & = & 60 ° \end{array}$

Das Dreieck ABC besitzt die Winkel $α = 50 °, β = 70 °$ und $γ = 60 °$ .

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Neben dem Hauptähnlichkeitssatz existieren noch drei weitere Ähnlichkeitssätze. Diese haben immer einen entsprechenden Satz in den Kongruenzsätzen von Dreiecken.

Seite-Seite-Seite Satz

Alle Dreieckseiten stehen in einem bestimmten Verhältnis zu den Dreiecksseiten des anderen Dreiecks. Der Seite-Seite-Seite Satz wird auch kurz „SSS“ genannt.

Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in allen drei Seiten das gleiche Verhältnis haben.

Es gilt:

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$

Die zusammengehörigen Strecken ergeben ein Seitenverhältnis. Das Dreieck ist ähnlich, wenn alle drei Seitenverhältnisse gleich sind.

Ähnlichkeit Dreiecke Seite Seite Seite Satz StudySmarter Abbildung 5: Seite-Seite-Seite Satz

Aufgabe 2

Berechne die fehlende Seite des Dreiecks ABC. Das Dreieck hat die Seitenlängen $a = 3 c m$ und $c = 5 c m$ . Es existiert ein ähnliches Dreieck A'B'C' mit den Seitenlängen $a' = 9 c m$ , $b' = 12 c m$ und $c' = 15 c m$ .

Lösung

Als Erstes setzt Du die Seiten in das passende Verhältnis.

$\begin{matrix} \frac{a}{a'} & = & \frac{b}{b'} \\ \frac{3}{9} & = & \frac{b}{12} \end{matrix}$

Nun stellst Du nach b um und berechnest die Seitenlänge.

$\begin{array}{rclc} \frac{3}{9} & = & \frac{b}{12} & | \cdot 12 \\ b & = & \frac{1}{3} \cdot 12 \\ b & = & 4 [c m] \end{array}$

Die Seite b von dem Dreieck ABC ist 4 cm lang.

Seite-Winkel-Seite Satz

Der Seite-Winkel-Seite Satz wird kurz „SWS“ genannt. Auch dieser Satz sollte Dir von den Kongruenzsätzen bekannt sein.

Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der von den Seiten eingeschlossene Winkel gleich groß ist.

Es gilt:

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}$ und $γ = γ'$

Neben dem eingeschlossenen Winkel müssen die beiden Seitenverhältnisse übereinstimmen.

Beachte, dass die Seiten des gleichen Dreiecks immer beide im Nenner bzw. beide im Zähler stehen müssen. Wenn b' im Nenner steht, muss auch a' im Nenner stehen.

Ähnlichkeit Dreiecke Seite Winkel Seite Satz StudySmarter Abbildung 6: Seite-Winkel-Seite Satz

Aufgabe 3

Entscheide, ob es sich bei den Dreiecken um ähnliche Dreiecke handelt. Begründe Deine Entscheidung.

Ähnlichkeit Dreiecke Seite Winkel Seite Satz StudySmarter Abbildung 7: Beispiel Seite-Winkel-Seite Satz

Lösung

Um zu überprüfen, ob es sich um ähnliche Dreiecke handelt, solltest Du den Ähnlichkeitssatz Seite-Winkel-Seite anwenden.

Der eingeschlossene Winkel $γ$ zwischen den beiden Seiten a und b muss gleich groß sein.

$\begin{array}{rcl} γ & = & γ' \\ 46, 57 ° & = & 46, 57 ° \end{array}$

Die Winkel stimmen überein.

Als Nächstes überprüfst Du, ob die Seitenverhältnisse übereinstimmen.

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{a'} & = & \frac{b}{b'} \\ \frac{2}{1, 33} & = & \frac{4}{2, 66} \\ 1, 5 & = & 1, 5 \end{array}$

Die Seitenverhältnisse stimmen ebenfalls überein.

Die beiden Dreiecke erfüllen den Ähnlichkeitssatz Seite-Winkel-Seite und sind dementsprechend ähnlich.

Seite-Seite-Winkel Satz

Ähnlich zu dem letzten Satz gibt es auch den Seite-Seite-Winkel Satz oder kurz „SsW“. Für diesen Satz benötigst Du einen anderen Winkel als bei SWS.

Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, gleich groß ist.

Es gilt:

$\frac{a}{a'} = \frac{c}{c'}$ und $γ = γ'$

Du musst in diesem Ähnlichkeitssatz die beiden Winkel auf Gleichheit überprüfen und die Seitenverhältnisse berechnen, wie bei den anderen Ähnlichkeitssätzen.

Aufgabe 4

Sind die beiden Dreiecke ähnlich? Begründe Deine Entscheidung.

Ähnlichkeit Dreiecke Seite Seite Winkel Satz StudySmarter Abbildung 8: Seite-Seite-Winkel Satz

Lösung

Als Erstes überprüfst Du, ob der Winkel gleich groß ist.

$\begin{array}{rcl} γ & = & γ' \\ 104, 48 ° & = & 104, 48 ° \end{array}$

Die Winkel sind gleich groß.

Jetzt überprüfe die Seitenverhältnisse.

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{b'} & = & \frac{c}{c'} \\ \frac{3}{7, 5} & = & \frac{4}{10} \\ 0, 4 & = & 0, 4 \end{array}$

Die beiden Seitenverhältnisse stimmen überein. Es handelt sich bei den beiden Dreiecken um ähnliche Dreiecke laut dem Seite-Seite-Winkel Satz.

Ähnlichkeit Dreieck – Aufgaben

Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 7

Das Dreieck ABC mit den Seiten $a = 6 c m$ , $b = 4 c m$ und $c = 7 c m$ hat einen Flächeninhalt von $A = 11, 98 c m^{2}$ . Das ähnliche Dreieck A'B'C' hat die Seitenlänge $c' = 12 c m$ . Wie groß ist der Flächeninhalt von dem Dreieck A'B'C'?

Lösung

Als Erstes stellst Du das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten und den Seiten auf.

$\begin{array}{rcl} \frac{A'}{A} & = & {(\frac{c'}{c})}^{2} \\ \frac{A'}{11, 98} & = & {(\frac{12}{7})}^{2} \end{array}$

Jetzt stellst Du die Gleichung nach A' um und berechnest A'.

$\begin{array}{rclc} \frac{A'}{11, 98} & = & {(\frac{12}{7})}^{2} & | \cdot 11, 98 \\ A' & = & \frac{144}{49} \cdot 11, 98 \\ A' & = & 35, 21 [c m^{2}] \end{array}$

Das Dreiecks A'B'C' hat einen Flächeninhalt von 35,21 cm².

Aufgabe 8

Berechne die Seite c des Dreiecks ABC.

Ähnlichkeit Dreiecke Aufgabe Seite Seite Seite StudySmarter Abbildung 12: Aufgabe Seite-Seite-Seite

Lösung

Über den Ähnlichkeitssatz Seite-Seite-Seite kannst Du die Seite c berechnen. Stelle dafür das Seitenverhältnis der Dreiecke auf.

$\begin{array}{rcccl} \frac{a}{a'} & = & \frac{b}{b'} & = & \frac{c}{c'} \\ \frac{3}{4, 5} & = & \frac{4}{6} & = & \frac{c}{7, 5} \end{array}$

Jetzt stellst Du das Seitenverhältnis nach c und berechnest c anschließend.

$\begin{array}{rclc} \frac{c}{7, 5} & = & \frac{4}{6} & | \cdot 7, 5 \\ c & = & \frac{2}{3} \cdot 7, 5 \\ c & = & 5 [c m] \end{array}$

Die Seite c ist 5 cm lang.

Ähnlichkeit Dreiecke – Das Wichtigste

Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.
Hauptähnlichkeitssatz: Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.
Es gilt:
$α = α'$ und $β = β'$
Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in allen drei Seiten das gleiche Verhältnis haben.
Es gilt:
$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$
Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der von den Seiten eingeschlossene Winkel gleich groß ist.
Es gilt:
$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}$ und $γ = γ'$
Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, gleich groß ist.
Es gilt:
$\frac{a}{a'} = \frac{c}{c'}$ und $γ = γ'$
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist abhängig von den Seitenlängen eines Dreiecks. Das Verhältnis zwischen den beiden Flächeninhalten der Dreiecke ist das Seitenverhältnis quadriert.
Es gilt:
$\frac{A}{A'} = {(\frac{a}{a'})}^{2}$

Nachweise

Wellstein, Kirsche. (2009). Elementargeometrie. Vieweg+Teubner.
Scheid, Schwarz. (2007). Elemente der Geometrie. Spektrum Akademischer Verlag.

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Sind kongruente auch ähnliche Dreiecke?

Ja. Sie erfüllen die Ähnlichkeitssätze.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Ähnlichkeit Dreiecke

Wann sind Dreiecke ähnlich?

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie einen der Ähnlichkeitssätze erfüllen. Also, wenn beide Dreiecke gleiche Winkel haben, die Seitenverhältnisse aller Seiten übereinstimmen, zwei Seitenverhältnisse und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen oder zwei Seitenverhältnisse und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

Wie berechnet man die Ähnlichkeit von Dreiecken?

Du kannst die Ähnlichkeit von Dreiecken nicht direkt berechnen. Die Ähnlichkeit von Dreiecken wird über die Ähnlichkeitssätze bewiesen. In einem Teil der Ähnlichkeitssätze berechnest Du die Seitenverhältnisse der Dreiecke. Dafür dividierst Du die Dreiecksseite a mit der Dreiecksseite a' des anderen Dreiecks. Äquivalent kannst Du das für die anderen Dreiecksseiten durchführen.

Sind alle Dreiecke zueinander ähnlich?

Nicht alle Dreiecke sind einander ähnlich. Dreiecke sind sich nur dann ähnlich, wenn sie einen der Ähnlichkeitssätze erfüllen.

Sind gespiegelte Dreiecke ähnlich?

Gespiegelte Dreiecke sind ähnlich, da sie aus einer Kongruenzabbildung hervorgehen. Die Dreiecke sind also kongruent und jedes kongruente Dreieck ist auch ein ähnliches Dreieck.

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