Flächeninhalt Rechteck: Berechnung & Aufgaben

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Flächeninhalt Rechteck Schuhkarton StudySmarter

Du hast richtig Lust darauf, das Thema rund um das Rechteck zu meistern? Dann bist Du hier genau richtig!

Flächeninhalt Rechteck – Grundlagenwissen

Das Rechteck ist eine viereckige Figur der Geometrie, welche sich durch verschiedene Eigenschaften von anderen Vierecken unterscheidet.

Ein Rechteck hat vier Winkel und vier Seiten, wobei die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind. Alle Winkel sind genau 90° groß.

Ein vollständig beschriftetes Rechteck inklusive der Winkel, Diagonalen und der Symmetrieachsen, sieht beispielsweise wie in Abbildung 1 aus.

Flächeninhalt Rechteck Rechteck StudySmarter Abbildung 1: Rechteck

Für das Rechteck gilt hierbei:

$a = c und b = d$

$α = β = γ = δ = 90 °$

Sind nicht nur die zwei gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks gleich lang, sondern alle vier Seiten, so handelt es sich um ein spezielles Rechteck: das Quadrat. Die Abbildungen 2 und 3 zeigen Dir dabei eine kurze Übersicht der beiden geometrischen Figuren.

Flächeninhalt Rechteck Rechteck StudySmarter Abbildung 2: Das Rechteck Flächeninhalt Rechteck Quadrat StudySmarter Abbildung 3: Das Quadrat

Interessiert an weiteren Infos zu Vierecken? Dann sieh Dir gerne die Artikel zum Rechteck, Quadrat oder Vierecke an.

Das hellblau ausgefärbte Innere der beiden Figuren wird auch als Fläche bezeichnet. Doch wie genau kann diese Fläche bestimmt oder berechnet werden? Dies erfährst Du jetzt, also bleib dran!

Flächeninhalt Rechteck – Erklärung und Formel

Der Flächeninhalt einer geometrischen Figur hängt von dessen Form ab und gibt an, wie groß diese ist. In der Mathematik wird der Flächeninhalt mit einem großen A gekennzeichnet.

Du musst in einer Hausaufgabe den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmen? Dazu hast Du verschiedene Möglichkeiten. Kann eine maßstäbliche Skizze angefertigt werden, so kannst Du die Fläche des Rechtecks manchmal auch durch Abzählen bestimmen. Wie das geht? Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.

Aufgabe 1

Wie groß ist die Fläche des Rechtecks, wenn dieses $4 L E$ (Längeneinheiten) hoch und $7 L E$ breit ist? Ein Kästchen hat hierbei eine Fläche von $A = 1 F E$ .

Der Ausdruck FE beschreibt die Größe der Fläche in Flächeneinheiten. Dabei wird keine konkrete Längeneinheit wie beispielsweise cm, mm oder m festgelegt.

Flächeninhalt Rechteck Skizze StudySmarter Abbildung 4: Rechteck mit Quadrat

Lösung – Abzählen

Die Fläche A eines türkisen Quadrats ist in dieser Aufgabe vorgegeben. Um die Fläche des gesamten blauen Rechtecks zu ermitteln, so kann zunächst abgezählt werden, wie viele dieser türkisen Quadrate in das blaue Rechteck hineingehen.

Insgesamt sind 28 türkise Quadrate im blauen Rechteck möglich. Um die Fläche A des Rechtecks auch in FE angeben zu können, muss nun die Anzahl der Quadrate mit der Fläche dieser Quadrate multipliziert werden.

$A = 1 F E \cdot 28 A = 28 F E$

Somit beträgt die Fläche der gesamten Figur $A = 28 F E$ .

Nicht immer ist jedoch die Fläche eines kleinen Quadrats gegeben und die Fläche eines Rechtecks lässt sich über Abzählen bestimmen. Deshalb kann der Flächeninhalt auch über eine Formel berechnet werden.

Flächeninhalt Rechteck – Formel

Für jede geometrische Figur gibt es für die Berechnung der Fläche eine konkrete Formel, mit welcher Du diese berechnen kannst. Bei einem Rechteck benötigst Du dazu lediglich zwei (nicht gegenüberliegende) Seiten. Wie in Abbildung 5 zu sehen ist, können diese allgemein als Seiten a und b bezeichnet werden.

Flächeninhalt Rechteck Skizze Fläche Rechteck StudySmarter Abbildung 5: Rechtecksfläche

Für ein Rechteck gilt damit:

Der Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b wird wie folgt berechnet:

$A = a \cdot b$

Die beiden Seiten werden multipliziert, um als Ergebnis die Fläche des Rechtecks zu erhalten.

Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die beiden Seiten auch vertauschen und $A = b \cdot a$ verwenden.

Ergibt sich bei der Berechnung der obigen Aufgabe 1 mit der Formel die gleiche Fläche?

Aufgabe 2

Wie groß ist die Fläche A des Rechtecks, wenn für die Seiten $a = 7 L E$ und $b = 4 L E$ gilt?

Flächeninhalt Rechteck Skizze Fläche Rechteck StudySmarter Abbildung 6: Rechtecksfläche

Lösung – Formel

Statt dem Abzählen von Kästchen, kann hier direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts angewandt werden. Es gilt:

$A = a \cdot b$

Durch Einsetzen der Werte für die Seiten a und b ergibt sich:

$A = 7 L E \cdot 4 L E A = 28 F E$

Auch über die Berechnung mithilfe der Formel ergibt sich wieder für den Flächeninhalt des blauen Rechtecks eine Fläche von $A = 28 F E$ .

Werden den Seiten konkrete Längeneinheiten zugewiesen, so kann die Fläche ebenfalls über die Formel berechnet werden.

Aufgabe 3

Das Gras einer Wiese soll gemäht werden. Die Wiese wird dabei annähernd als Rechtecksfläche betrachtet mit folgenden Angaben:

Flächeninhalt Rechteck Beispiel Wiese StudySmarter Abbildung 7: Wiese als Rechtecksfläche

Welche Fläche muss der Gärtner oder die Gärtnerin mähen?

Lösung

Die Grasfläche kann mithilfe der Formel berechnet werden. Dazu kannst Du zunächst die Seiten bestimmen. So gilt beispielsweise:

$a = 5, 2 m$ und $b = 2, 3 m$

Da in der Aufgabe keine Seiten a und b gekennzeichnet sind, so kannst Du die Zahlenwerte den Seiten a und b frei zuteilen.

Jetzt musst Du nur noch die Zahlenwerte in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks einsetzen und ausrechnen.

$A = a \cdot b A = 5, 2 m \cdot 2, 3 m A = 11, 96 m^{2}$

Der Gärtner oder die Gärtnerin muss demnach eine Fläche von ca. $A \approx 12 m^{2}$ mähen.

Folgender Abschnitt gibt einen kurzen Überblick über die verschiedenen Bezeichnungen der Längen- und Flächeneinheiten, welche bei der Berechnung solcher Aufgaben verwendet werden.

Übersicht Längen- und Flächeneinheiten

Damit Du besser nachvollziehen kannst, welche Einheit Du verwenden musst, kannst Du Dich an der Tabelle orientieren.

Längeneinheit	Fläche
LE - Längeneinheiten	FE - Flächeneinheiten
mm - Millimeter	mm² - Quadratmillimeter
cm - Zentimeter	cm² - Quadratzentimeter
dm - Dezimeter	dm² - Quadratdezimeter
m - Meter	m² - Quadratmeter
km - Kilometer	km² - Quadratkilometer

Sind in Aufgaben verschiedene Längenangaben angegeben, so ist es hilfreich, zunächst in eine geeignete Einheit umzurechnen. Abbildung 8 zeigt Dir dazu eine kurze Übersicht.

Flächeninhalt Rechteck Umrechnungshilfe Längen StudySmarter Abbildung 8: Umrechnungshilfe Längen

Mehr zu den Einheiten findest Du im Artikel Rechnen mit Größen und Längeneinheiten.

Für die Berechnung der Fläche des Rechtecks sind sowohl die Seite a als auch die Seite b zwingend notwendig. Was aber, wenn diese in der Aufgabe nicht gegeben sind?

Flächeninhalt berechnen Rechteck – Aufgaben

Nicht immer sind in der Aufgabenstellung direkt die Seitenlängen des Rechtecks gegeben. Jedoch können diese mithilfe von anderen Angaben berechnet werden, beispielsweise mit dem Umfang oder der Diagonalen. Wie dies funktioniert, zeigt folgender Abschnitt.

Flächenberechnung – Mithilfe des Umfangs und einer Seite

Der Umfang eines Rechtecks kann anhand der Seitenlängen a und b bestimmt werden, wobei allgemein gilt:

$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b$

Interessiert am Artikel zum Umfang eines Rechtecks? Dann sieh doch gleich einmal in den Artikel rein.

Inwiefern hilft Dir der Umfang bei der Flächenberechnung eines Rechtecks? Zeit für ein Beispiel.

Aufgabe 4

Ein Rechteck weist folgende Werte auf:

$a = 10 c m$ und $U = 50 c m$

Berechne die Fläche des Rechtecks!

Lösung

Da für die Berechnung der Fläche die Seite b zwingend benötigt wird, muss diese zuerst mithilfe des Umfangs und der Seite a berechnet werden. Hierfür wird die Umfangsformel des Rechtecks nach b freigestellt, die Werte aus der Angabe eingesetzt und schließlich gelöst.

$\begin{array}{rcl} U & = & 2 \cdot a + 2 \cdot b - 2 \cdot a \\ U - 2 \cdot a & = & 2 \cdot b : 2 \\ \frac{U - 2 \cdot a}{2} & = & b \end{array}$

Nach Einsetzen der gegebenen Werte ergibt sich für die Seite b:

$b = \frac{U - 2 \cdot a}{2} b = \frac{50 c m - 2 \cdot 10 c m}{2} b = \frac{50 c m - 20 c m}{2} b = 15 c m$

Somit beträgt die Seite $b = 15 c m$ . Nun kannst Du über die Formel zur Flächenberechnung die Fläche des Rechtecks ermitteln.

$A = a \cdot b A = 10 c m \cdot 15 c m A = 150 c m^{2}$

Die Fläche des Rechtecks beträgt $A = 150 c m^{2}$ .

Nachfolgend findest Du die Formeln für die Berechnung beider Seiten a und b mit dem Umfang, damit Du sie Dir nicht mehr herleiten musst, wenn Du eine Aufgabe lösen willst.

Berechnung der Seiten a und b eines Rechtecks über den Umfang U des Rechtecks:

$a = \frac{U - 2 \cdot b}{2} b = \frac{U - 2 \cdot a}{2}$

Ist statt dem Umfang U eine Diagonale d des Rechtecks gegeben, so lässt sich auch damit die Fläche des Rechtecks berechnen. Dies ist möglich über den Satz des Pythagoras.

Befindest Du Dich bereits in einer höheren Klasse und hast das Thema bereits in der Schule behandelt, dann sieh Dir gerne das Beispiel in der Vertiefung an. Ansonsten überspringe diesen Abschnitt und begib Dich direkt zu den Übungsaufgaben.

Flächenberechnung – Mithilfe der Diagonalen und einer Seite

Wie bereits erwähnt, kannst Du über die Diagonale und eine gegebene Seite im Rechteck die fehlende Seite zur Flächenberechnung ermitteln.

Aufgabe 5

Eine rechteckige Wiese weist folgende Größen aus der Skizze auf. Berechne die Fläche der Wiese!

Flächeninhalt Rechteck Aufgabe Wiese Rechteck StudySmarter Abbildung 9: Aufgabe Wiese

Lösung

Als ersten Schritt wird eine Skizze des Sachverhaltes wie in Abbildung 10 angefertigt, um die gegebenen Längen den Größen zuzuweisen.

Flächeninhalt Rechteck Rechteck Wiese StudySmarter Abbildung 10: Rechteck der Wiese

In dieser Abbildung kannst Du sehen, dass den Größen folgende Werte zugewiesen werden können.

$a = 50 m d = 68 m$

Für die Flächenberechnung des Rechtecks wird zusätzlich die Seite b benötigt. Über den Satz des Pythagoras für rechtwinklige Rechtecke kann diese berechnet werden. Sie entspricht einer Kathete.

Mehr zu diesem Thema findest Du im Artikel Satz des Pythagoras.

$\begin{array}{rcl} a^{2} + b^{2} & = & d^{2} - a^{2} \\ b^{2} & = & d^{2} - a^{2} \sqrt{} \\ b & = & \sqrt{d^{2} - a^{2}} \end{array}$

Nach Einsetzen der gegebenen Werte erhältst Du für die Seite b:

$b = \sqrt{d^{2} - a^{2}} b = \sqrt{{(68 m)}^{2} - {(50 m)}^{2}} b = \sqrt{4 624 m^{2} - 2 500 m^{2}} b = \sqrt{2 124 m^{2}} b = 46, 09 m$

Die Seite b beträgt demnach $b = 46, 09 m$ . Nun kann mithilfe der Flächenformel die Fläche des Rechtecks berechnet werden.

$A = a \cdot b A = 50 m \cdot 46, 09 m A = 2 304, 5 m^{2}$

Die Fläche der Wiese beträgt somit $A = 2304, 5 m^{2}$ .

Zusammenfassen lassen sich die Formeln mit der Diagonale d wie folgt:

Berechnung der Seiten a und b eines Rechtecks über die Diagonale d des Rechtecks:

$a = \sqrt{d^{2} - b^{2}} b = \sqrt{d^{2} - a^{2}}$

Möchtest Du direkt noch ein paar Übungsaufgaben machen und bist bereit für den praktischen Teil? Dann auf geht’s zu den Übungsbeispielen!

Flächeninhalt Rechteck – Übungsaufgaben

Falls Du eine Formelsammlung in der Schule benutzen darfst, kannst Du sie Dir gerne für die Aufgaben danebenlegen. Ansonsten schreibe sie Dir gerne auf oder lerne sie direkt auswendig.

Aufgabe 6

Gegeben sind folgende Angaben eines Rechtecks:

$U = 24 c m a = 7 c m$

Berechne die Fläche des Rechtecks in $c m^{2}$ und $d m^{2}$ .

Zur Erinnerung: Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich durch: $U = 2 \cdot a + 2 \cdot b$ . Mehr Informationen dazu findest Du im Artikel Umfang Rechteck.

Lösung

Gegeben ist der Umfang U, welcher durch das Zusammenzählen aller Seiten berechnet werden kann. Aus obiger Definition lässt sich die Berechnung der fehlenden Seite b entnehmen:

$b = \frac{U - 2 \cdot a}{2}$

Falls Du die Formel nicht zur Hand hast, kannst Du Dir die Herleitung über die Umfangsformel noch einmal ansehen.

Nun setzt Du die gegebenen Werte ein und erhältst für die Seite b:

$b = \frac{24 c m - 2 \cdot 7 c m}{2} b = 5 c m$

Da nun die Seitenlänge b ausgerechnet wurde, kann dieser Wert in die Flächenformel eingesetzt werden.

$A = a \cdot b A = 7 c m \cdot 5 c m A = 35 c m^{2} = 0, 35 d m^{2}$

Bereit für eine weitere Übungsaufgabe?

Aufgabe 7

Eine rechteckige Wiese hat eine Länge von $45 m$ und eine Breite von $50 m$ . Berechne die Fläche der Wiese!

Lösung

Hierbei genügt es, die allgemeine Flächenformel für das Rechteck aufzuschreiben und die bekannten Werte einzusetzen.

$A = a \cdot b A = 45 m \cdot 50 m A = 2 250 m^{2}$

Die Lösung dieser Aufgabe beträgt somit $A = 2 250 m^{2}$ .

Abschließend noch ein schwieriges vertiefendes Beispiel, welches das Wissen über den Zusammenhang zwischen den Seiten und der Fläche des Rechtecks überprüft.

Aufgabe 8

Die Seite eines Schuhkartons in der Form eines Rechtecks weist folgende Werte auf. Berechne die fehlende Seite.

$A = 200 c m^{2} a = 10 c m$

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, wird die allgemeine Flächenformel aufgeschrieben und diese nach der fehlenden Größe b umgeformt.

$A = a \cdot b : a \frac{A}{a} = b$

Setzt Du nun die Werte für den Flächeninhalt A und die Seite a in die Formel ein, so ergibt sich:

$b = \frac{200 c m^{2}}{10 c m} b = 20 c m$

Somit hat der Schuhkarton Seitenlängen von $b = 20 c m$ und $a = 10 c m$ .

Nachfolgend findest Du noch eine kleine Zusammenfassung zum Thema Flächeninhalt des Rechtecks und die Formeln aus dem Artikel.

Flächeninhalt Rechteck – Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Rechteck besitzt vier Winkel und vier Seiten, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.
Alle Winkel sind rechtwinklig und sind demnach $90 °$ groß.
Ein Spezialfall des Rechtecks ist das Quadrat mit vier gleich langen Seiten.
Der Flächeninhalt des Rechtecks berechnet sich durch: $A = a \cdot b$
Die Seiten a und b lassen sich sowohl mit gegebenem Umfang und auch mit gegebener Diagonale berechnen:
- $a = \frac{A}{b} b = \frac{A}{a}$
- $a = \frac{U - 2 \cdot b}{2} b = \frac{U - 2 \cdot a}{2}$
- $a = \sqrt{d^{2} - b^{2}} b = \sqrt{d^{2} - a^{2}}$

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In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

Eine Fläche wird meistens in mm² (Millimeter), cm² (Zentimeter), m² (Meter) oder km² (Kilometer) angegeben.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Flächeninhalt Rechteck

Wie wird die Fläche eines Rechtecks berechnet?

Der Flächeninhalt A berechnet sich aus der Multiplikation der Seitenlängen a und b: A = a · b

Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Rechtecks?

Verändern sich die Seitenlängen des Rechtecks, so verändert sich ebenfalls der Flächeninhalt. Wenn sich beispielsweise beide Seitenlängen a und b verdoppeln, so vervierfacht sich die Fläche A.

Wie wird der Flächeninhalt und Umfang eines Rechtecks berechnet?

Der Flächeninhalt A berechnet sich aus der Multiplikation der Seitenlängen a und b: A = a · b

Der Umfang U berechnet sich aus der Summe aller Seitenlängen des Rechtecks: U = 2a + 2b

Wie wird aus dem Umfang der Flächeninhalt berechnet?

Mithilfe des Umfangs des Rechtecks und einer gegebenen Seite, kann die fehlende Seite berechnet werden. Anschließend lässt sich über die Formel A = a • b der Flächeninhalt berechnen.

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