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Springe zu einem wichtigen Kapitel
Der Kreis ist eine der wichtigsten Formen der Geometrie. In der Mathematik wird der Kreis des Öfteren auftauchen. Aber keine Sorge, in diesem Lernset wird Dir alles zum Thema Kreis und den verschiedenen Formeln, die Du für Berechnungen am Kreis benötigst, erklärt!
Kreis – Definition & Eigenschaften
Ein Kreis ist eine Figur der ebenen Geometrie.
Ein Kreis besteht aus einer Menge von Punkten, die alle denselben konstanten Abstand zum Mittelpunkt M haben. Der Abstand dieser Punkte zum Mittelpunkt wird auch Radius r genannt und ist immer eine positive reelle Zahl.
Abbildung 1 – Kreis mit Durchmesser d und Radius r
In der oberen Abbildung siehst Du den Radius r. Der Durchmesser d ist immer das Doppelte des Radius r. Der Punkt M markiert den Mittelpunkt. Hat ein Kreis einen Durchmesser \(d=1\), so besitzt er einen Umfang von pi (\(\pi\)). Ein Kreis ist sowohl punktsymmetrisch als auch achsensymmetrisch. Er hat unendlich viele Symmetrieachsen. Das sind diejenigen Geraden, die durch den Mittelpunkt M verlaufen.
Kreiszahl \(\pi\) – Definition
Die sogenannte Kreiszahl \(\pi\), ausgesprochen "Pi", beschreibt ein bestimmtes Verhältnis im Kreis.
Die Kreiszahl \(\pi\) ist das Verhältnis zwischen dem Umfang U eines Kreises und dessen Durchmesser d:\[\pi=\frac{U}{d}\]
Das Verhältnis ist unabhängig von der Größe für alle Kreise gleich. Näherungsweise lautet die Zahl:
\[\pi=\text{3,14159}\]
Kreis berechnen
Am Kreis kannst Du verschiedene Größen berechnen, wie z. B. den Umfang oder Flächeninhalt.
Umfang Kreis
Was ist der Umfang eines Kreises überhaupt?
Stell Dir vor, Du legst mit einer Schnur einen Kreis. Die Länge der Schnur ist dann der Umfang des entsprechenden Kreises.
Der Umfang eines Kreises ist also die Länge der Linie, die den Kreis bildet. Er wird mit dem Buchstaben U abgekürzt.
Abbildung 2 – Umfang U eines Kreises
Die Formel für das Berechnen des Kreisumfangs lässt sich mit wenigen Schritten herleiten.
Stell Dir vor, Du legst mit der Schnur einen Kreis mit einem Durchmesser \(d=1\). Wenn Du diese ausrollst, wirst Du sehen, dass der Umfang genau \(\pi\) beträgt.
Die Formel für die Berechnung des Umfangs U eines Kreises mit Durchmesser \(d\) lautet \[U=d \cdot \pi\]
Anstelle des Durchmessers d kannst Du für die Berechnung auch den doppelten Radius verwenden, also\[U=2r \cdot \pi\]
Mehr zum Kreisumfang erfährst Du in der Erklärung Umfang Kreis.
Flächeninhalt Kreis
Der Flächeninhalt eines Kreises ist die Fläche, die mit dem Umfang des Kreises eingeschlossen wird.
Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Maß für die Größe der Kreisfläche. Er ist abhängig vom Radius r beziehungsweise dem Durchmesser d.
Der Flächeninhalt von Figuren wird mit dem Buchstaben A abgekürzt.
Abbildung 3 – Flächeninhalt A eines Kreises
Für die Berechnung des Flächeninhalts A eines Kreises gibt es ebenfalls eine Formel.
Der Flächeninhalt A eines Kreises mit Radius \(r\) wird mit der Formel \[A=r^2 \cdot \pi\] berechnet.
Hier kannst Du anstelle des Radius den halben Durchmesser nutzen, also \[A=\left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi\].
Wenn Du mehr über den Flächeninhalt eines Kreises erfahren willst, schau am besten in der Erklärung Flächeninhalt Kreis.
Kreisteile
Ein Kreis kann in verschiedene Kreisteile aufgeteilt werden. Dazu gehören der Kreisbogen, der Kreissektor bzw. Kreisausschnitt und das Kreissegment.
Kreisteile sind Teilmengen eines Kreises. Sie können unterschiedlich aussehen.
Die einzelnen Kreisteile sind in folgender Tabelle genauer beschrieben.
| Kreisbogen | Kreissektor | Kreissegment | Kreisring |
Der Kreisbogen ist ein Teil auf der Kreislinie eines Kreises und ist damit ein Anteil des Gesamtumfangs U des Kreises. | Der Kreissektor, auch Kreisausschnitt genannt, ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, der zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen liegt. | Das Kreissegment wird auch Kreisabschnitt genannt und ist in der Geometrie eine Teilfläche der Kreisfläche, die von einer Sehne und dem dazugehörigen Kreisbogen umschlossen wird. | Ein Kreisring ist die Fläche, welche zwischen zwei unterschiedlich großen Kreisen mit demselben Mittelpunkt liegt. Aufgrund dessen hat ein Kreisring zwei verschiedene Radien: der Radius \(r_k\) des kleinen Innenkreises und der Radius \(r_g\) des größeren Außenkreises. Beide dieser Radien – und damit beide Kreise – haben den gleichen Mittelpunkt M. |
Abb. 4 – Kreisteile  | Abb. 5 – Kreisring
| ||
| Die Länge \(b\) des Kreisbogens kannst Du mit folgender Formel berechnen: \[ b= 2\cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\mu}{360^\circ}\] | Den Flächeninhalt \(A_s\) eines Kreissektors berechnest du mit der Formel \[ A_s= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}.\] | Den Flächeninhalt Den Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors kannst Du mit folgender Formel berechnen:\[ A_a= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}-\frac{1}{2} \cdot s \cdot (r-h).\] | Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit dem Außenradius \(r_g\) und dem Innenradius \(r_k\) gilt: \[ A_k= \pi \cdot {r_g}^2-\pi \cdot {r_k}^2 .\] |
Wenn Du mehr über die bestimmten Kreisteile erfahren möchtest, kannst Du Dir die Erklärung Kreisteile oder die einzelnen Erklärungen wie z.B. die Erklärung zu Kreisausschnitt oder Kreisbogen ansehen.
Satz des Thales – Definition
Der Satz des Thales ist ein wichtiger Satz in der Mathematik und bezieht sich auf den Halbkreisbogen, also einen halbierten Kreis.
Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Zentriwinkelsatzes, der besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Wird ein Dreieck aus den beiden Endpunkten A und B des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt P dieses Halbkreises konstruiert, so entsteht immer ein rechtwinkliges Dreieck.
Abbildung 6 – Satz des Thales
Mehr zum Satz des Thales erfährst Du in der gleichnamigen Erklärung!
Kreis – Gradmaß & Bogenmaß
Das Gradmaß und das Bogenmaß lassen sich ebenfalls am Kreis verdeutlichen.
Um einen Winkel zu beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten: das Gradmaß und das Bogenmaß. Beides sind Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels dargestellt wird. Jeder Winkel besitzt einen Wert im Gradmaß und einen Wert im Bogenmaß.
Der genaue Zusammenhang erklärt sich am Einheitskreis:
Abbildung 7 – Gradmaß und Bogenmaß
Dargestellt ist ein Winkel im Einheitskreis. Das Gradmaß beschreibt hier den Winkel \(\alpha\) in Grad, das Bogenmaß \(x\) ist die entsprechende Länge des Bogens, die der Teil des Kreises hat, der zum entsprechenden Winkel gehört. Wie Du schon weißt, hat der Umfang bzw. die Bogenlänge oft mit der Kreiszahl \(\pi\) zu tun, weshalb das Bogenmaß oft mit \(\pi\) dargestellt wird.
Du kannst das Gradmaß und das Bogenmaß ineinander umrechnen. Die entsprechenden Formeln dafür findest Du hier:
| Gradmaß in Bogenmaß umrechnen | Bogenmaß in Gradmaß umrechnen |
\[x=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi\] | \[\alpha=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ\] |
Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung Gradmaß in Bogenmaß.
Kreis – Tangente, Sekante & Passante
Tangenten, Passanten und Sekanten am Kreis sind Geraden mit besonderer Lage zum Kreis. Ihre Lage ist dabei entscheidend für ihre Bezeichnung. Wie genau diese Geraden aussehen können, siehst Du in der folgenden Tabelle.
| Tangente | Sekante | Passante |
Eine Tangente t ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt. | Eine Gerade wird Sekante s genannt, wenn sie eine Figur in mindestens zwei Punkten schneidet. In einem Kreis hat eine Sekante genau zwei Schnittpunkte P und Q. | Eine Passante p ist eine Gerade, welche den Kreis weder schneidet noch berührt. Sie „passiert“ den Kreis sozusagen. Die Passante hat mit dem Kreis keine gemeinsamen Punkte. |
Abb. 8 – Tangente  | Abb. 9 – Sekante  | Abb. 10 – Passante  |
Mehr zu diesen Geraden erfährst Du in der Erklärung Geraden am Kreis.
Winkel am Kreis
Winkel am Kreis – die gibt es wirklich. Sie entstehen zum Beispiel durch die Unterteilung eines Kreises in Kreissektoren oder Kreisbögen.
Welche Winkel es gibt und wo sie liegen kannst Du der folgenden Tabelle und der Abbildung entnehmen.
| Peripheriewinkel | Mittelpunktswinkel | Sehnentangentenwinkel |
| Der Peripheriewinkel \(\phi\), auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. Das bedeutet, dass es mehrere Peripheriewinkel gibt. | Der Scheitel des Mittelpunktswinkels \(\mu\), auch Zentriwinkel genannt, liegt im Mittelpunkt des Kreises. Seine Schenkel schneiden genau die Punkte, die den Kreisbogen begrenzen. | Ein Sehnentangentenwinkel \(\tau\) zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne \(\overline{AB}\) und der Tangente t am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B. |
Abb. 11 – Winkel am Kreis
| ||
Genaueres zu den einzelnen Winkeln erfährst Du in den Erklärungen Peripheriewinkelsatz, Mittelpunktswinkel und Sehnentangentenwinkel.
Kreis Formeln
Der Kreis ist eine der wichtigsten geometrischen Formen der Ebene, weshalb Du oft Berechnungen am Kreis machen musst. Dafür hast Du im folgenden Absatz noch mal die wichtigsten Formeln in einer Tabelle zusammengefasst.
Begriff | Formel |
Umfang | \[U=d \cdot \pi\] |
Kreisfläche | \[A=r^2 \cdot \pi\] |
Kreisbogenlänge | \[b=d \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\] |
Sektorfläche | \[A_s=r^2 \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\] |
Kreisringfläche | \[ A_k= \pi \cdot {r_g}^2-\pi \cdot {r_k}^2 \] |
Gradmaß in Bogenmaß | \[x=\frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi\] |
Bogenmaß in Gradmaß | \[\alpha=\frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ\] |
Kreis – Das Wichtigste auf einen Blick
- Ein Kreis ist eine runde, in sich geschlossene Linie, bei der alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.
- Die Kreiszahl \(\pi\) ist das Verhältnis zwischen dem Umfang U eines Kreises und dessen Durchmesser d:\[\pi=\frac{U}{d}\]
- Der Umfang eines Kreises ist also die Länge der Linie, die den Kreis bildet.
- Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Maß für die Größe der Kreisfläche.
- Kreisteile sind Teilmengen eines Kreises. Dazu gehören der Kreisbogen, der Kreissektor, das Kreissegment und der Kreisring.
- Der Satz des Thales besagt, dass alle Dreiecke an einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Wird ein Dreieck aus den beiden Endpunkten A und B des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt P dieses Halbkreises konstruiert, so entsteht immer ein rechtwinkliges Dreieck.
- Um einen Winkel zu beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten: das Gradmaß und das Bogenmaß. Beides sind Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels dargestellt wird. Jeder Winkel besitzt einen Wert im Gradmaß und einen Wert im Bogenmaß.
- Tangenten, Passanten und Sekanten am Kreis sind Geraden mit besonderer Lage zum Kreis.
- Eine Tangente t ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt.
- Eine Gerade wird Sekante s genannt, wenn sie den Kreis in zwei Punkten P und Q schneidet.
- Eine Passante p ist eine Gerade, welche den Kreis weder schneidet noch berührt.
- Am Kreis lassen sich verschiedene Winkel finden.
- Der Peripheriewinkel \(\phi\) , auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen.
- Der Scheitel des Mittelpunktswinkels \(\mu\), auch Zentriwinkel genannt, liegt im Mittelpunkt des Kreises.
- Ein Sehnentangentenwinkel \(\tau\) zum gegebenen Kreisbogen liegt zwischen der Sehne \(\overline{AB}\) und der Tangente t am Kreisbogen durch einen der Punkte A oder B.
Nachweise
- Aumann (2015). Kreisgeometrie. Eine elementare Einführung. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
- Seiler (1978). Der Kreis. Umfang und Fläche. SHG-Verlag.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreis
Wie berechnet man den Umfang eines Kreises?
Die Formel für die Berechnung des Kreisumfangs lautet U = d x pi, wobei d der Kreisdurchmesser ist.
Wie definiert man einen Kreis?
Ein Kreis besteht aus einer Menge von Punkten, die alle denselben konstanten Abstand zu einem bestimmten Mittelpunkt haben. Der Abstand dieser Punkte zum Mittelpunkt wird Radius genannt. Er ist immer eine positive reelle Zahl.
Wie kann ich einen Kreis berechnen?
Am Kreis können über verschiedene Formeln der Umfang und der Flächeninhalt sowie die Fläche und Bogenlänge von Kreissektoren berechnet werden.
Was ist eine Tangente an einem Kreis?
Eine Tangente am Kreis ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt P berührt.
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