Umfang Raute

Aufgabe 1

Nimm Dein kariertes Rechenheft zur Hand und schlage eine beliebige leere Seite auf. Hier siehst Du zahlreiche Kästchen. Du stellst Dir jetzt folgende Frage:

„Wie lang ist der gesamte Rand einer Raute, dessen Seiten a jeweils 2,5 cm lang sind?"

Abbildung 5: Umfang Raute

Lösung

Wie Du bereits weißt, sind alle Seiten der Raute immer gleich lang, also sind alle genau $2,5cm$ lang. Wenn Du nun alle vier Seiten zusammenzählst, erhältst Du den Umfang bzw. die Länge der Strecke, welche die Figur umschließt. Somit kann der Wert für a in die Formel für den Umfang der Raute eingesetzt werden.

$U=\hspace{0.17em}a+a+a+aoderU=\hspace{0.17em}4·a$

$$\begin{gathered} U=4·2,5cm \\ U=10cm \end{gathered}$$

Der Umfang der Raute mit den Seitenlängen $2,5cm$ beträgt also $10cm$.

Aufgabe 2

Berechne die Seite a einer Raute, welche einen Umfang von $24cm$ aufweist.

Lösung

Wenn Du den Rechenschritten folgst, erhältst Du folgende Rechnung:

$\begin{array}{rcl}U& =& 4·a|:4\\ \frac{U}{4}& =& \hspace{0.17em}a\\ \frac{24cm}{4}& =& a\\ 6cm& =& \hspace{0.17em}a\end{array}$

Die Lösung lautet somit $a=6cm$.

Aufgabe 4

Die Seitenlänge einer Raute beträgt $a=5cm$.

Berechne den Umfang U!

Lösung

Da für diese Aufgabe bereits alle für die Berechnung der Raute relevanten Werte gegeben sind, wird keine Skizze benötigt und es kann direkt zur Berechnung übergegangen werden.

Schreibe als Erstes die Formel des Umfangs der Raute nieder, welche wie folgt lautet:

$U=\hspace{0.17em}4\cdot a$

Nun müssen diese in die Formel für die Berechnung des Umfangs für a eingesetzt werden:

$$\begin{gathered} U=4·a \\ U=\hspace{0.17em}4·5cm \\ U=20cm \end{gathered}$$

Somit beträgt der Umfang dieser Raute $20cm$.

Aufgabe 5

Gegeben ist folgender Wert einer Raute: $a=\hspace{0.17em}7cm$

Berechne den Umfang U der Raute.

Lösung

Da für diese Aufgabe bereits alle für die Berechnung der Raute relevanten Werte gegeben sind, wird keine Skizze benötigt und es kann direkt zur Berechnung übergegangen werden.

Schreibe als Erstes die Formel des Umfangs der Raute nieder, welche wie folgt lautet:

$U=\hspace{0.17em}4\cdot a$

Nun wird anstelle des Buchstabens a der effektive Wert aus der Angabe eingesetzt.

$$\begin{gathered} U=\hspace{0.17em}4·7cm \\ U=28c{m}^{} \end{gathered}$$

Der Umfang der Raute beträgt also $28cm$.

Aufgabe 5

Die Fläche einer Raute beträgt $25c{m}^2$, wobei die Seiten e und f gleich lang sind.

Berechne den Umfang der Raute!

Lösung

Als ersten Schritt wird eine Skizze des Sachverhaltes angefertigt.

Abbildung 8: Skizze

Wenn bestimmte Seiten ausgerechnet werden müssen, werden als Erstes immer alle Formeln aufgeschrieben, welche die gegebenen oder gesuchten Variablen enthalten. Auf dieses Beispiel bezogen wären dies die beiden Flächenformeln, welche wie folgt lauten:

$A=a^{2}oderA=\frac{e·f}{2}$

Nun werden beide Formeln untersucht und jene ausgewählt, welche nur eine unbekannte Variable enthält. Da die Diagonale weder aus e noch aus f aus der Angabe abgeleitet werden können, wird diese Formel ausgeschlossen.

Um jetzt die Seite a ausrechnen zu können, wird also die erste Flächenformel verwendet und die Werte aus der Aufgabe eingesetzt. Um den Wert für a zu korrekt zu berechnen, sieht dies wie folgt aus:

$$\begin{gathered} A=a^2 \\ \sqrt{A}=a \\ \sqrt{25c{m}^2}=a \\ 5cm=a \end{gathered}$$

Um den Umfang ausrechnen zu können, muss der Wert für a in die Umfangsformel eingesetzt werden.

$$\begin{gathered} U\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}4·a \\ U=4·5cm \\ U=20cm \end{gathered}$$

Somit hat die Raute einen Umfang von $20cm$.