3M Aufgaben

Die Gewinnwahrscheinlichkeit an der Losbude beträgt 20 Prozent.

Wie viele Lose muss Joshua mindestens kaufen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einen Gewinn macht?

Sowohl die Anzahl an Versuchsdurchführungen, die Wahrscheinlichkeit als auch die Trefferanzahl enthält ein mindestens.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 20 Prozent. Dies ist das "kleine" \(p\), also \(p=0{,}2\). Es ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einer Versuchsdurchführung. \(p=0{,}2\) ist bei jeder Durchführung gleich.

Joshua möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einen Gewinn machen. Dies ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "mindestens einen Treffer". Es wird mit einem "großen" P geschrieben, weil es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist.

$$P( \text{mindestens ein Treffer} )=P(X \geq 1) \geq 0{,}9$$

Bei \(P( \text{mindestens ein Treffer} )=P(X \geq 1) \geq 0{,}9 \) handelt es sich um eine kumulierte Binomialverteilung.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit an der Losbude beträgt 20 Prozent.

Wie viele Lose muss Joshua mindestens kaufen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einen Gewinn macht?

Es handelt sich um eine Binomialverteilung mit \(p=0{,}2\) sowie \(P(X \geq 1) \geq 0{,}9 \). Gesucht ist \(n\). Um \(n\) zu bestimmen, verwendest Du zuerst das Gegenereignis \(P(X=0)\) von \(P(X \geq 1) \). Grund hierfür ist, dass Du \(P(X \leq 1)\) nicht berechnen kannst, \(P(X=0)\) mit der Binomialverteilung jedoch schon.

\begin{align}P(X \geq 1) \geq 0{,}9 \\ 1-P(X=0) \geq 0{,}9\end{align}

Jetzt schreibst Du auf, wie Du \(P(X=0)\) für ein beliebiges \(n\) bei der Binomialverteilung berechnest.

\begin{align}P(X=0) & =\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}·0{,}2^0·0{,}8^{n-0} \\[0.2cm] & =1 · 1 · 0{,}8^n \\[0.4cm] & = 0{,}8^n\end{align}

Im nächsten Schritt setzt Du dies in die Ungleichung ein.

\begin{align}1-P(X=0) \geq 0{,}9 \\ 1-0{,}8^n \geq 0{,}9 \end{align}

Jetzt formst Du die Ungleichung um und löst nach \(n\) mithilfe des Logarithmus auf.

\begin{array}{rcll}1-0{,}8^n & \geq & 0{,}9 &|+0{,}8^n -0{,}9 \\[0.1cm] 1-0{,}9 & \geq & 0{,}8^n \\[0.1cm] 0{,}1 & \geq & 0{,}8^n & |lg(\dots) \\[0.1cm] lg(0{,}1) & \geq & lg(0{,}8^n) & |\text{Logarithmusgesetz} \\[0.1cm] lg(0{,}1) & \geq & n·lg(0{,}8) & | : lg(0{,}8) \\[0.1cm] \dfrac{lg(0{,}1)}{lg(0{,}8)} & {\color{r}{\leq}} & n \\[0.1cm] 10{,}32 & \leq & n\end{array}

Für \(n \geq 10{,}32\) ist \(P(X\geq 1)\geq 0{,}9\). Es ergeben aber nur ganzzahlige Versuchsdurchführungen Sinn. Deswegen ist \(n=11\).Joshua muss mindestens 11 Lose kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einen Gewinn zu haben.

Joshua kauft 10 Lose an einer Losbude.

Wie hoch muss die Gewinnwahrscheinlichkeit \(p\) mindestens sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einen Gewinn macht?

Es ist \(n=10\) gegeben und \(P(X \geq 1) \geq0{,}9\) gefordert. Gesucht ist \(p\).

Zuerst verwendest Du wieder das Gegenereignis und berechnest \(P(X=0)=(1-p)^{10}\) in der Ungleichung.

\begin{align}P(X \geq 1) \geq 0{,}9 \\ 1-P(X=0) \geq 0{,}9 \\ 1-(1-p)^{10} \geq 0{,}9\end{align}

Auch hier formst Du nun um.\begin{array}{rcll}1-(1-p)^{10} & \geq & 0{,}9 & |-0{,}9+(1-p)^{10} \\0{,}1 & \geq & (1-p)^{10} &|\sqrt[10]{} \\ \sqrt[10]{0{,}1} & \geq & 1-p & |+p-\sqrt[10]{0{,}1} \\ p & \geq & 1-\sqrt[10]{0{,}1} \\ p & \geq & 0{,}21\end{array}

Die Gewinnwahrscheinlichkeit muss mindestens \(0{,}21\) sein, damit Joshua bei 10 Losen mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 Prozent mindestens einen Gewinn hat.

Aufgabe 1

Ein Glücksrad hat rote, blaue und gelbe Felder. Zeigt das Glücksrad ein rotes Feld, gewinnt man. Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu drehen, ist \(p=0{,}25\). Wie häufig musst Du das Rad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 Prozent mindestens einen Gewinn zu erhalten?

Lösung

Gegeben ist \(p=0{,}25\), gefordert ist \(P(X\geq 1) \geq 0{,}95\) und gesucht ist \(n\).

Zuerst verwendest Du das Gegenereignis von \(P(X \geq 1)\) und berechnest dessen Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung. Dann formst Du die Ungleichung um und verwendest den Logarithmus.

\begin{array}{rcll}P(X \geq 1) & \geq & 0{,}95 \\[0.1cm] 1-P(X=0) & \geq & 0{,}95 \\ 1-\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} · 0{,}25^0 ·(1-0{,}25)^{n-0} & \geq & 0{,}95 \\ 1-1·1·0{,}75^n & \geq & 0{,}95 \\[0.2cm] 1-0{,}75^n & \geq & 0{,}95 & |\,+0{,}75^n -0{,}95\\[0.2cm] 0{,}05 & \geq & 0{,}75^n & |\, lg(\dots)\\[0.2cm] lg(0{,}05) & \geq & n · \lg(0{,}75) & |\,:lg(0{,}75)\\[0.1cm] \dfrac{lg(0{,}05)}{lg(0{,}75)} & \leq & n \\[0.1cm] 10{,}41 & \leq & n \\[0.1cm] 11 & \leq & n\end{array}

Du musst mindestens 11-mal das Glücksrad drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(0{,}95\) mindestens einen Gewinn zu erhalten.

Aufgabe 2

In einem Beutel sind einfarbige und gestreifte Kugeln, insgesamt 20. Man erzielt einen Treffer, wenn eine gestreifte Kugel gezogen wird. Du ziehst achtmal. Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit für eine gestreifte Kugel mindestens sein, damit Du mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(0{,}9\) mindestens einen Treffer erzielst?

Lösung

Gegeben ist \(n=8\). Gefordert ist \(P(X \geq 1) \geq 0{,}9\) und gesucht ist \(p\).

Du verwendest das Gegenereignis von \(P(X \geq 1) \), berechnest dessen Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung und löst dann die Ungleichung nach \(p\) auf.

\begin{array}{rcll}P(X \geq 1) & \geq & 0{,}9 \\[0.1cm] 1-P(x=0) & \geq & 0{,}9 \\ 1- \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} · p^0 ·(1-p)^{8-0} & \geq & 0{,}9 \\ 1-1·1·(1-p)^8 & \geq & 0{,}9 \\[0.1cm] 1-(1-p)^8 & \geq & 0{,}9 & |\,+(1-p)^8-0{,}9\\[0.1cm] 0{,}1 & \geq & (1-p)^8 & |\, \sqrt[8]{} \\[0.1cm] \sqrt[8]{0{,}1} & \geq & 1-p & |\,+p-\sqrt[8]{0{,}1}\\[0.1cm] p & \geq & 1-\sqrt[8]{0{,}1} \\[0.1cm] p & \geq & 0{,}25\end{array}

Die Wahrscheinlichkeit für eine gestreifte Kugel muss mindestens \(0{,}25\) sein. Bei insgesamt 20 Kugeln müssten also 5 davon gestreift sein.