Gleichverteilung

Der ungezinkte, ideale \(6\)-seitige Würfel ist ein Beispiel für ein Laplace-Experiment und wird auch Laplace-Würfel genannt. Die Zufallsvariable \(X=\text{Augenzahl}\) hat 6 Ausprägungen: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\), die sich zu der Ergebnismenge \(\omega=\{1;2;3;4;5;6\}\) zusammen fassen lassen. Jede der sechs Seiten des Würfels ist gleich groß, weshalb keine Augenzahl mit höherer Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird als eine andere Augenzahl. Alle Zahlen besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit \(p\), dass sie nach dem Wurf oben liegen.

Denkst Du an die Einleitung zurück, so hast Du einen ungezinkten, idealen Würfel geworfen. Alle Augenzahlen besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit \(P(X=x_i)\), dass sie nach dem Wurf oben liegen. Die Zufallsvariable \(X=\text{Augenzahl}\) hat 6 Ausprägungen: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\), weshalb Du die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ausprägungen wie folgt berechnen kannst: $$P(X=x_i)=\frac{1}{6} \text{ mit } i \in \{1, 2,3,4,5, 6\}$$

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{6} &\text{ wenn } x=1,2,3,4,5,6\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Das Diagramm der Gleichverteilung des Würfelwurfs kannst Du in Abbildung 1 sehen.

Abb. 1 - diskrete Gleichverteilung Beispiel Diagramm

Jede Säule hat in diesem Fall die Höhe \(\frac{1}{6}\).

Die Verteilungsfunktion für den idealen Würfel lautet:

\begin{align}F(x)=P(X\leq x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ wenn } x<1,\\ \frac{1}{6} &\text{ wenn } 1\leq x<2\,,\\ \frac{2}{6} &\text{ wenn } 2\leq x<3\,,\\ \frac{3}{6} &\text{ wenn } 3\leq x<4\,,\\ \frac{4}{6} &\text{ wenn } 4\leq x<5\,, \\ \frac{5}{6} &\text{ wenn } 5\leq x<6\,, \\ 1 &\text{ wenn } x\geq 6\,. \end{array}\right.\end{align}

Die grafische Darstellung der Verteilungsfunktion kannst Du in Abbildung 2 sehen.

Abb. 2 - Verteilungsfunktion Gleichverteilung - diskreter Fall

So kannst Du beispielsweise direkt sehen, dass die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine Zahl \(x\leq 5 \) zu werfen \(\frac{5}{6}\) ist.

Im Falle Deines fairen Würfels berechnest Du den Erwartungswert wie folgt:

\begin{align}\mu=E(x)&=\frac{1}{6}\cdot \sum_{i=1}^6 x_i\\&=\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 3+\frac{1}{6}\cdot 4+\frac{1}{6}\cdot 5+\frac{1}{6}\cdot 6\\&=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}\\&=\frac{21}{6}\\&=3{,}5\end{align}

Oder mir der vereinfachten Formel:

$$\mu=E(x)=\frac{n+1}{2}=\frac{6+1}{2}=3{,}5$$

Das Ergebnis ist dasselbe.

Im Falle Deines fairen Würfels berechnest Du die Varianz wie folgt:

\begin{align}\sigma ^2=E((x-3{,}5)^2)&=\frac{1}{6}\cdot \sum_{i=1}^6 (x_i-3{,}5)^2)\\&=\frac{1}{6}\cdot (1-3{,}5)^2 +\frac{1}{6}\cdot (2-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (3-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (4-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (5-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (6-3{,}5)^2\\&=\frac{25}{24}+\frac{3}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{24}+\frac{3}{8}+\frac{25}{24}\\&=\frac{35}{12}\\&=2{,}92\end{align}

Oder so:

\begin{align}\sigma ^2&=\frac{1}{12}\cdot (6^2-1)\\&=\frac{1}{12}\cdot (35)\\&=2{,}92\end{align}

Die Varianz für den Wurf des fairen Würfels liegt bei \(2{,}92\). Da es sich beim Würfelwurf um eine diskrete Gleichverteilung handelt, ist die Streuung zwischen den gewürfelten Augenzahlen hoch, was durch die große Varianz bestätigt wird. Dies ist Dir vielleicht schon aufgefallen, da es eher selten vorkommt, dass Du beispielsweise dreimal dieselbe Zahl hintereinander würfelst.

Ein Beispiel für eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable \(x\) ist die Wartezeit auf den Bus. Dieser fährt alle \(15\) Minuten. Du kennst allerdings den genauen Abfahrtsplan nicht und gehst einfach so zu einer gewissen Zeit an die Haltestelle. Deine Wartezeit an der Haltestelle folgt dann einer stetigen Gleichverteilung zwischen \(a=0\) und \(b=15\) Minuten. Deine Zufallsvariable \(X\) ist die Zeit in Minuten, die bis zum nächsten Bus vergeht. Dabei ist jede reelle Zahl im Intervall von \([0;15]\) als Wartezeit möglich, z. B. auch \(5{,}452\) Minuten. Alle Wartezeiten zwischen \(0\) und \(15\) Minuten haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte für Deine Wartezeit an der Bushaltestelle lautet wie folgt:

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{15} &\text{ wenn } 0\leq x \leq 15\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Für jede Wartezeit im Intervall \([0;15]\) beträgt somit die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{15}\).

Die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte der stetigen Gleichverteilung am Beispiel der Wartezeit auf den Bus kannst Du in Abbildung 3 sehen.

Abb. 3 - stetige Gleichverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte

Wenn Du wieder an das Beispiel mit der Wartezeit für den Bus denkst, dann lautet die Verteilungsfunktion wie folgt:

\begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ wenn } x<15\,,\\ \frac{x}{15} &\text{ wenn } 0\leq x \leq 15\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}

Die grafische Darstellung Deiner Verteilungsfunktion kannst Du in Abbildung 4 sehen.

Abb. 4 - stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion

Wenn Du beispielsweise wissen willst, wie wahrscheinlich es ist, weniger als \(10\) Minuten zu warten, setzt Du \(10\) in Deine Verteilungsfunktion ein: $$F(10)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$

Die Wahrscheinlichkeit, weniger als \(10\) Minuten zu warten, beträgt also \(\frac{2}{3}\).

Für das Warten auf den Bus beträgt der Erwartungswert \(\mu\):

\begin{align}\mu=E(x)=\frac{0+15}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\end{align}

Die zu erwartende Zeit, wenn Du zu einer zufälligen Zeit zur Haltestelle kommst, beträgt also \(7{,}5\) Minuten.

Für das Warten auf den Bus beträgt die Varianz \(\mu\):

\begin{align}\sigma ^2=E((x-7{,}5)^2)&=\frac{1}{12}\cdot (15-0)^2\\&=\frac{1}{12}\cdot 225\\&=1{,}875\end{align}

Aufgabe 1

Stell Dir vor, Du benutzt einen Zufallszahlgenerator, der jede reelle Zahl zwischen \(5\) und \(10\) erstellen kann, die jeweils gleich wahrscheinlich ist. Entscheide, ob es sich um eine diskrete oder stetige Gleichverteilung handelt und stelle die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Verteilungsfunktion auf. Wie wahrscheinlich ist es, genau eine bestimmte reelle Zahl zu erhalten? Berechne ebenso den Erwartungswert \(\mu\) und die Varianz \(\sigma ^2\).

Lösung

Da es sich bei der Zufallsvariable \(X\) um eine Zahl handelt, die jeden beliebigen numerischen Wert zwischen \(5\) und \(10\) annehmen kann, handelt es sich um eine stetige Zufallsvariable. Das betrachtete Intervall ist \([5;10]\). Jede reelle Zahl in diesem Intervall ist gleich wahrscheinlich, weshalb es sich um eine stetige Gleichverteilung handelt.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte kannst Du folgende Formel anwenden:

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a} &\text{ wenn } a\leq x \leq b\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Die Wahrscheinlichkeitsdichte lautet in diesem Fall:

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{5} &\text{ wenn } 5\leq x \leq 10\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für alle reelen Zahlen zwischen \(5\) und \(10\) genau\(\frac{1}{5}\).

Für die Berechnung der Verteilungsfunktion kannst Du folgende Formel anwenden:

\begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ wenn } x<a\,,\\ \frac{x-a}{b-a} &\text{ wenn } a\leq x \leq b\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}

Die Verteilungsfunktion lautet somit in diesem Fall:

\begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ wenn } x<5\,,\\ \frac{x-5}{5} &\text{ wenn } 5\leq x \leq 10\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}

Für den Erwartungswert gilt:\begin{align}\mu=E(x)=\frac{5+10}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\end{align}

Für die Varianz gilt:

\begin{align}\sigma ^2=E((x-7{,}5)^2)&=\frac{1}{12}\cdot (10-5)^2\\&=\frac{1}{12}\cdot (5)^2\\&=\frac{25}{12}\\&=2{,}083\end{align}