Kombination mit Wiederholung

Du verwendest so einen Fall, wenn zum Beispiel alle Personen in einem voll ausgebuchten Flugzeug auf die Sitzplätze verteilt werden. Dieses Beispiel aus der Kombinatorik kannst Du auch auf eine Klasse von Schülerinnen und Schülern anwenden, die ebenso alle einen Sitzplatz auswählen können.

Für diese Fälle zählt dann zusätzlich, dass es keine Wiederholung gibt, also sollen nicht mehrere Schüler auf einem Platz sitzen können. Würde diese Anzahl an Kombinationen noch berücksichtigt werden, so würde dies die Permutation mit Wiederholung abdecken.

Das Beispiel eines Zahlenschlosses an Deinem Fahrrad ist ein klassisches Beispiel einer Variation. Hier ist die Reihenfolge sehr wohl entscheidend, ob sich das Schloss öffnen lässt oder nicht. Denn die Kombination 8 - 6 - 4 - 2 ist definitiv eine andere als 2 - 4 - 6 - 8, obwohl die Zahlen dieselben sind. Dabei ist zusätzlich die Variation mit Wiederholung gemeint, denn eine Zahl darf durchaus mehrfach verwendet werden, was die PIN 1 - 1 - 1 - 1 beweist.

Allerdings kannst Du Dich dabei fragen, ob die Nummer wirklich so sicher ist.

Für das Beispiel aus der Kombinatorik mit der Kombination mit Wiederholung verwendest Du für k und n folgende Werte:

$n=\hspace{0.17em}4$ , $k=\hspace{0.17em}2$

Nun ist es Deine Aufgabe, die Werte für k und n einzufügen und die Klammern zu berechnen:

$\begin{array}{rcl}\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!·k!}& =& \hspace{0.17em}\frac{(4+2-1)!}{(4-1)!·2!}=\hspace{0.17em}\frac{5!}{3!·2!}\end{array}$

Nun kannst Du die Berechnung durchführen. Dabei ist die Fakultät das Produkt aus den natürlichen Zahlen, die kleiner gleich der genannten Zahl ist, bis 1. In diesem Fall kannst Du auch Werte aus dem Zähler bzw. Nenner streichen.

$\begin{array}{rcl}\frac{5!}{3!·2!}& =& \hspace{0.17em}\frac{5·4·\cancel{3}·\cancel{2}·\cancel{1}}{\cancel{3}·\cancel{2}·\cancel{1}·2·1}=\frac{5·4}{2·1}=\hspace{0.17em}10\end{array}$

Es gibt also insgesamt eine Anzahl von 10 möglichen Funktionen für die Kombination mit Wiederholung.

Als Beispiel sollen Dir für n die Zahl 10 und für k die 5 gegeben sein.

Entweder berechnest Du die Zahl bereits im oberen Bereich oder Du gibst es einfach in eine Klammer ein:

$\left[\left(10+5-1\right)\right]+\left[SHIFT\right]+\left[:\right]+\left[5\right]$

Alternativ kannst Du auch die Alternativformel eintippen. Dafür benötigst Du für die Fakultät folgende Tastenkombination:$\left[SHIFT\right]+\left[x^{-1}\right]$.

Aufgabe 1

Du möchtest insgesamt 6 Kleidungsstücke kaufen, wobei Du in deiner Umkleide 15 Stück hast. Gehe davon aus, Du würdest zufällig auswählen, welche Sachen es sein sollen. Dabei dürfen die selben Kleidungsstücke mehrfach vorkommen. Was gilt hierbei für die Kombination mit Wiederholung?

Lösung

In dieser Aufgabe gilt, dass n die Zahl 15 und k die Zahl 6 ist. Da Kleidungsstücke mehrfach ausgewählt werden können, die Reihenfolge allerdings egal ist, wie Du sie auswählst, handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung.

$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}15+6-1\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)=\hspace{0.17em}38760\end{array}$

Aufgabe 2

Du bist auf einem Volksfest oder Jahrmarkt Deiner Wahl. Nach den leckeren Hähnchen vom Stand oder aus dem Zelt wolltest Du nun ein paar Lose kaufen. Es können sechs unterschiedliche Kategorien ausgewählt werden. Von grün, blau und gelb bis hin zu rot, violett und pink. Ein Los kostet 1 Euro. Du möchtest vier Euro verwenden. Aus wie vielen möglichen Kombinationen an Losen kannst Du wählen?

Lösung

Wenn ein Los 1 Euro kostet, kannst Du mit Deinem Geld insgesamt vier Stück kaufen, bzw. ziehen. Unabhängig von den Gewinnen bzw. Nieten kannst Du aus sechs möglichen Losen ziehen.

Hier zählt die Kombination mit Wiederholung, Da Dir die Reihenfolge der Gewinne egal ist, allerdings ist entscheidend, dass Du eine Kategorie auch mehrfach wählen kannst.

$\begin{array}{rcl}\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!·k!}& =& \hspace{0.17em}\frac{(6+4-1)!}{(6-1)!·4!}=\frac{9!}{5!·4!}=126\end{array}$

Aufgabe 3

In einer Urne befinden sich 8 unterschiedlich gefärbte Kugeln. Du ziehst drei dieser Kugeln mit Zurücklegen, aber ohne Beachtung der Reihenfolge. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Lösung

Du ziehst also drei Kugeln aus einer Urne mit acht Stück. Die Angabe verrät Dir, dass die Kombination mit Wiederholung gefordert ist. Auch wenn die Objekte zwar wegen ihrer unterschiedlichen Farben unterscheidbar sind, ist explizit gefordert, dass die Reihenfolge nicht beachtet werden soll.

$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)& =& \hspace{0.17em}\left(\begin{array}{c}8+3-1\\ 3\end{array}\right)=120\end{array}$

Aufgabe 4

5 Kinder spielen zusammen verstecken. Dabei sucht sich jeder einen Platz auf dem Pausenhof, wobei sich 15 als äußerst geeignet herausstellen. Paula und Peter hätten nichts dagegen, sich in einem Versteck aufzuhalten, was auch auf die anderen Kinder zutrifft. Es ist nur entscheidend, dass die Freunde gefunden werden, nicht aber wann das geschieht. Wie viele mögliche Verteilungen gibt es?

1. Erkläre, um welches Zufallsexperiment es sich handelt.
2. Berechne diesen Fall.

Lösung

a. In dieser Aufgabe ist nach der Kombination mit Wiederholung gefragt. Das kannst Du dabei erkennen:

• Stichprobe: Du betrachtest eine Anzahl von n = 15 Verstecken. Dabei werden diese nur unter sechs Personen aufgeteilt, also es gilt nicht, dass $n=\hspace{0.17em}k$ ist.
• Mit Zurücklegen/mit Wiederholung: Beispielhaft wurden die Kinder Paula und Peter herangezogen. Es ist in dieser Aufgabe auch möglich, dass sich mehr Kinder in einem Versteck aufhalten.
• Ohne Reihenfolge: Es ist nicht so wichtig, welcher Schüler als erster gefunden wurde und welche darauffolgen.

b. Wichtig ist an dieser Stelle noch folgendes. Es handelt sich um fünf Kinder. Da allerdings einer auf die Suche geht, werden 4 Kinder auf die Verstecke verteilt.

$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}15+4-1\\ 4\end{array}\right)=\hspace{0.17em}3060\end{array}$