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Mit Bonbons kannst Du verschiedene Abzählmethoden der Kombinatorik zeigen, unter anderem auch die Kombination in Mathe. Wie das geht? Schnapp Dir einfach ein paar Bonbons und erlebe mit dieser Erklärung hautnah mit, wie der Begriff Kombination definiert ist, welche Formel für Dich wichtig ist und wie Du mit dieser Formel in einem Beispiel Kombinationen berechnen kannst. Außerdem erfährst Du, was eine Kombination mit Wiederholung und eine Kombination ohne Wiederholung unterscheidet.
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Leg kostenfrei losDie Anzahl der Kombinationen soll über folgende Berechnung ermittelt werden:\[C(10;\,3)=\dfrac{10!}{3!\cdot (10-1)!}\]Prüfe die Berechnung und korrigiere gegebenenfalls.
Der Begriff Kombination \(k\)-ter Ordnung beschreibt...
Ein Klassenkamerad berechnet die Anzahl der Kombinationen \(C_W(n;\,k)\) bei einer Kombination mit Wiederholung wie folgt:\[C_W(8;\,3)=\left(\begin{array}{cc} 10 \\ 3\end{array}\right)\]Entscheide, ob die Berechnung korrekt ist und korrigiere gegebenenfalls.
Verschiedenfarbige Tee-Tassen werden im Schrank gelagert.Zur Berechnung der Kombinationsmöglichkeiten wird folgende Formel genutzt:\[C_W(n;\,3)=\left(\begin{array}{cc} 9 \\ 3\end{array}\right)\]Ermittle die Anzahl \(n\) der Tassen.
Berechne die Anzahl der Kombinationen \(C(12;\,5)\).
Entscheide, wie sich die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination mit Wiederholung berechnen lässt.
Statt mit dem Taschenrechner kann der Binomialkoeffizient \(C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)\) einer Kombination ohne Wiederholung auch über folgende Formel berechnet werden:
In einem Bonbonglas befinden sich \(23\) verschiedene Süßigkeiten, wobei mehrere Bonbons entnommen, aber nicht zurückgelegt werden.Berechne die Anzahl der Kombination, wenn \(8\) Bonbons nicht ausgewählt werden.
Bei einer Geburtstagsfeier kann ein Gast zwischen verschiedenen Gerichten wählen. Insgesamt stehen \(7\) Speisen zur Auswahl, wobei \(3\) davon gewählt werden dürfen.Berechne die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten.
Die Anzahl der Kombinationen soll über folgende Berechnung ermittelt werden:\[C(10;\,3)=\dfrac{10!}{3!\cdot (10-1)!}\]Prüfe die Berechnung und korrigiere gegebenenfalls.
Der Begriff Kombination \(k\)-ter Ordnung beschreibt...
Ein Klassenkamerad berechnet die Anzahl der Kombinationen \(C_W(n;\,k)\) bei einer Kombination mit Wiederholung wie folgt:\[C_W(8;\,3)=\left(\begin{array}{cc} 10 \\ 3\end{array}\right)\]Entscheide, ob die Berechnung korrekt ist und korrigiere gegebenenfalls.
Verschiedenfarbige Tee-Tassen werden im Schrank gelagert.Zur Berechnung der Kombinationsmöglichkeiten wird folgende Formel genutzt:\[C_W(n;\,3)=\left(\begin{array}{cc} 9 \\ 3\end{array}\right)\]Ermittle die Anzahl \(n\) der Tassen.
Berechne die Anzahl der Kombinationen \(C(12;\,5)\).
Entscheide, wie sich die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination mit Wiederholung berechnen lässt.
Statt mit dem Taschenrechner kann der Binomialkoeffizient \(C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)\) einer Kombination ohne Wiederholung auch über folgende Formel berechnet werden:
In einem Bonbonglas befinden sich \(23\) verschiedene Süßigkeiten, wobei mehrere Bonbons entnommen, aber nicht zurückgelegt werden.Berechne die Anzahl der Kombination, wenn \(8\) Bonbons nicht ausgewählt werden.
Bei einer Geburtstagsfeier kann ein Gast zwischen verschiedenen Gerichten wählen. Insgesamt stehen \(7\) Speisen zur Auswahl, wobei \(3\) davon gewählt werden dürfen.Berechne die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten.
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In der Kombinatorik begegnen Dir verschiedene Abzählmethoden, die sich aus dem allgemeinen Zählprinzip ableiten lassen. Darunter folgende Auswahlprozesse:
Mit dem allgemeinen Zählprinzip kannst Du herausfinden, wie viele Ausgänge in einem mehrstufigen Zufallsexperiment möglich sind. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Produktregel Kombinatorik“.
Eine Kombination in der Kombinatorik lässt sich anhand zweier Kriterien beschreiben:
Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von \(k\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen.
Bevor Du Dir direkt Beispiele dazu ansehen kannst, muss zunächst noch zwischen zwei verschiedenen Kombinationen unterschieden werden. Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir dabei eine kurze Übersicht zur Unterscheidung der Kombinationen.
| Kombination ohne Wiederholung | Kombination mit Wiederholung |
|
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Zunächst zur Kombination ohne Wiederholung.
Eine Kombination ohne Wiederholung beschreibt das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge der gezogenen \(k\) Elemente spielt hierbei keine Rolle, weshalb dies auch als „ungeordnet“ bezeichnet wird.
Eine ungeordnete Stichprobe mit \(k\) aus \(n\) Elementen, wobei jedes der \(k\) Elemente nur einmalig verwendet wird, wird als Kombination ohne Wiederholung bezeichnet.
Über eine Formel kannst Du sogar berechnen, wie viele mögliche Kombinationen es konkret in diesem Fall gibt.
Möchtest Du die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten bei einer Kombination ohne Wiederholung herausfinden, so kannst Du diese beispielsweise bei wenigen Objekten durch Ausprobieren finden. Damit Du besonders bei einer hohen Anzahl von Elementen nicht alle Möglichkeiten in einem Versuch bestimmen musst, kannst Du sie über eine Formel berechnen.
Für die Anzahl der möglichen Kombinationen \(C(n;\,k)\) mit \(k\) aus \(n\) Elementen bei einer Kombination ohne Wiederholung gilt:
\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right) \hspace{2cm} \text{mit}\, k\leq n\]
Der Ausdruck \(\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)\) steht für den Binomialkoeffizienten. Erfahre mehr darüber in der Erklärung „Binomialkoeffizient Kombinatorik“.
Zeit für ein kleines Beispiel, bei der Du die Anzahl berechnen kannst!
Stell Dir vor, in einem Behälter befinden sich etwa \(14\) Bonbons. Jede Süßigkeit hat dabei eine unterschiedliche Farbe. Du kannst also alle Bonbons voneinander unterscheiden.
Aus diesem Gefäß nimmst Du nun vier Bonbons und legst sie vor Dir auf den Tisch. Du ziehst etwa ein gelbes, rotes, ein grünes und ein blaues Bonbon.
Das zufällige Ziehen eines Bonbons aus dem Behälter ist übrigens ein Zufallsexperiment. Lies gerne alles rund um das Thema in der Erklärung „Zufallsexperiment“.
Diese vier Farben spiegeln eine mögliche Kombination wider, egal ob zuerst das gelbe oder das rote Bonbon gezogen wurde, da die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Soll die Anzahl aller möglichen Kombinationen ermittelt werden, so gelingt dies über:
\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
Das „!“ steht hier für Fakultäten. Alles rund um das Thema kannst Du in der Erklärung „Fakultät“ nachlesen.
Nach Einsetzen der Werte für \(n=14\) und \(k=4\) ergibt sich:
\begin{align}C(14;\,4)&=\left(\begin{array}{cc} 14 \\ 4\end{array}\right)=\dfrac{14!}{4!\cdot (14-4)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{14!}{4!\cdot (14-4)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{14!}{4!\cdot 10!}\\[0.2cm]&=1\,001\end{align}
Entnimmst Du also \(4\) Bonbons aus der Schale mit \(14\) Bonbons, so gibt es \(1\,001\) Kombinationen.
Wirf doch einen Blick in die Erklärung „Kombination ohne Wiederholung“ für vertiefende Informationen und weitere Übungsaufgaben!
Was aber, wenn Du in Deiner Aufgabe die Anzahl der Kombinationen bestimmen sollst, bei der Objekte mehrfach verwendet werden dürfen? Dann handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung.
Bei der Kombination mit Wiederholung dürfen Elemente mehrfach verwendet werden. Das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen, aber ohne Beachtung der Reihenfolge, spiegelt genau diesen Fall wider.
Eine ungeordnete Stichprobe mit \(k\) aus \(n\) Elementen, wobei jedes der \(k\) Elemente mehrfach verwendet werden darf, wird als Kombination mit Wiederholung bezeichnet.
So kann es beispielsweise sein, dass Du ein Gefäß mit Bonbons hast, ein Bonbon ziehst und danach aber wieder zurück in den Behälter legst, damit die Süßigkeit erneut gezogen werden kann.
Auch in diesem Fall kannst Du die Anzahl der Kombinationen über eine Formel berechnen.
Möchtest Du die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten bei einer Kombination mit Wiederholung herausfinden, so musst Du die Formel erweitern, woraus sich ergibt:
Für die Anzahl der möglichen Kombinationen \(C_W(n;\,k)\) mit \(k\) aus \(n\) Elementen bei einer Kombination mit Wiederholung gilt:
\[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)\]
Sieh Dir dazu gleich ein Beispiel an!
Es wird wieder das Bonbonglas mit insgesamt \(14\) Bonbons betrachtet. Dieses Mal werden \(3\) Süßigkeiten entnommen, wobei jede Süßigkeit vor dem nächsten Zug wieder zurück in das Glas gelegt wird.
Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es in diesem Fall?
Dazu wird die entsprechende Formel für die Kombination mit Wiederholung herangezogen:
\[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\]
Nach Einsetzen der Werte für \(n=14\) und \(k=3\) ergibt sich:
\begin{align}C_W(14;\,3)&=\left(\begin{array}{cc} 14+3-1 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 16 \\ 3\end{array}\right)\\[0.2cm]&=\dfrac{(14+3-1)!}{3!\cdot (14-1)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{16!}{3!\cdot 13!}\\[0.2cm]&=560\end{align}
Bei dieser Aufgabe zur Kombination mit Wiederholung gibt es demnach \(560\) Kombinationsmöglichkeiten.
Wirf doch einen Blick in die Erklärung „Kombination mit Wiederholung“ für vertiefende Informationen und weitere Übungsaufgaben!
In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben, um Dein Wissen zu den Kombinationen überprüfen zu können. Viel Spaß!
| Kombination ohne Wiederholung | Kombination mit Wiederholung |
|
|
Anzahl der Kombinationen \(C(n;\,k)\):\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right) \hspace{1cm} \text{mit}\, k\leq n\] | Anzahl der Kombinationen \(C_W(n;\,k)\): \[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)\] |
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Was ist eine Kombination in der Mathematik?
Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen.
Wie wird eine Kombination ausgerechnet?
Die Anzahl der Kombinationen unterscheidet sich je nachdem, ob es sich um eine Kombination ohne Wiederholung oder eine Kombination mit Wiederholung handelt.
Die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination ohne Wiederholung berechnet sich über den Binomialkoeffizienten n über k. Bei einer Kombination mit Wiederholung wird n+k-1 über k berechnet.
Wie viele mögliche ungeordnete Kombinationen ohne Wiederholung gibt es?
Die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination ohne Wiederholung wird über den Binomialkoeffizienten berechnet (n über k).
Wie wird die Anzahl von Kombinationen berechnet?
Die Anzahl der Kombinationen unterscheidet sich je nachdem, ob es sich um eine Kombination ohne Wiederholung oder eine Kombination mit Wiederholung handelt.
Die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination ohne Wiederholung berechnet sich über den Binomialkoeffizienten n über k. Bei einer Kombination mit Wiederholung wird n+k-1 über k berechnet.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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