Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung: Übersicht

Q: Was ist die Pfadregel?

Pfadregeln gelten beim Rechnen mit Baumdiagrammen. Es gibt zwei Pfadregeln. Die erste Pfadregel besagt, dass Du die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses berechnen kannst, indem Du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst. Die zweite Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen das Ereignis eintritt, beträgt.

Q: Wie rechnet man mit einem Baumdiagramm?

In einem Baumdiagramm multiplizierst Du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfades zu berechnen (1. Pfadregel). Außerdem kannst Du die Wahrscheinlichkeiten von Pfaden addieren, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen.

Q: Wie funktionieren Wahrscheinlichkeitsrechnungen?

Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten gibt es einige grundlegende Regeln. So ist P(Ω)=1 und P(∅)=0. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1.

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Kann Lisa das berechnen? Und wenn es möglich ist, wie kann Lisa das machen?

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung – Grundlagen

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es verschiedene Begriffe und Symbole. Diese kommen auch in den Regeln und Sätzen für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten vor. Doch was bedeuten diese Begriffe und Symbole genau?

Wenn Du ein Zufallsexperiment durchführst, gibt es verschiedene Möglichkeiten für den Ausgang. Das sind die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments.

Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird Ergebnismenge $Ω$ genannt.

Das Symbol $Ω$ ist ein griechischer Buchstabe und wird "Omega" ausgesprochen.

Stell Dir vor, Du würfelst einen Würfel. Die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments sind die Zahlen 1 bis 6.

Die Ergebnismenge ist:

$Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Du kannst aber auch eine Teilmenge der Ergebnismenge betrachten. Diese Teilmenge wird Ereignis E genannt.

Du spielst ein Würfelspiel und gewinnst, wenn Du eine gerade Zahl würfelst. Dann ist $E = \{2, 4, 6\}$ ein Ereignis.

Ein Ereignis kann auch nur aus einem Element der Ergebnismenge bestehen. Solch ein Ereignis, das nur aus einem Ergebnis besteht, wird Elementarereignis E genannt.

Ein Würfel wird geworfen. Du gewinnst, wenn eine 6 geworden wird. Dann ist dies das Ereignis E.

$E = \{6\}$

Dieses Ereignis ist ein Elementarereignis.

Außerdem gibt es zu jedem Ereignis $E$ ein Gegenereignis $\bar{E}$ . Das Gegenereignis $\bar{E}$ beinhaltet immer alle Ergebnisse, die nicht in $E$ liegen.

Du gewinnst beim Würfeln, wenn eine Zahl kleiner als 3 geworfen wird. Dann ist:

$E = \{1, 2\}$

Das Gegenereignis $E$ beinhaltet alle Ergebnisse, die nicht in E liegen.

$E = \{3, 4, 5, 6\}$

Hier ist das Gegenereignis $E$ eine Zahl größer als 2 zu werfen.

Ein Ereignis wird meist mit einem Großbuchstaben abgekürzt.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit einem großen P abgekürzt. Hinter das P schreibst Du in Klammern das zugehörige Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit selber ist eine Zahl. Sie kann auch als Bruch angegeben werden.

Für ein Ereignis E ist

$P (E)$

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

$P (E)$ kannst Du "P von E" aussprechen.

Laplace-Experiment

Ein wichtiger Zufallsversuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das Laplace-Experiment.

Wenn Du einen Zufallsversuch durchführst, bei dem alle Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, ist dies ein Laplace-Experiment.

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis kannst Du dann berechnen, indem Du die Anzahl der günstigen Ergebnisse (das sind die Ergebnisse, mit denen das Ereignis eintritt) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.

Haben bei einem Zufallsexperiment alle Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit, so wird dieser Zufallsversuch Laplace-Experiment genannt. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $E$ ist:

$P (E) = \frac{A n z a h l d e r g ü n s t i g e n E r g e b n i s s e}{A n z a h l a l l e r m ö g l i c h e n E r g e b n i s s e}$

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist genau die Anzahl an Elementen in $Ω$ .

Das Werfen eines Würfels ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für jede geworfene Zahl dieselbe ist. Du kannst die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis daher mit der Laplace-Formel berechnen.

Sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl kleiner als 3 geworfen wird: $E = \{1, 2\}$ . Dann ist die Wahrscheinlichkeit von $E$ :

$P (E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Es gibt zwei Ergebnisse, mit denen das Ereignis eintritt. Insgesamt existieren sechs mögliche Ergebnisse.

Auch das Ziehen von Kugeln ist unter anderem ein typisches Beispiel für Laplace-Experimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Regeln für einstufige Wahrscheinlichkeitsrechnung

Es gibt einige Regeln, die für die Wahrscheinlichkeitsrechnung bei allen Zufallsergebnissen gelten.

Allgemeine Regeln für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Diese Regeln können Dir helfen, Wahrscheinlichkeiten anzugeben und zu berechnen.

Sicheres Ereignis

Die Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammen ist immer 1. Eines der Ergebnisse tritt sicher ein.

Für ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge $Ω$ gilt:

$P (Ω) = 1$

Du kannst auch sagen: Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1.

Wenn also sicher ist, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, da es keine andere Möglichkeit gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis 1.

Unmögliches Ereignis

Genauso gibt es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung aber auch unmögliche Ereignisse. Dieses Ereignis kann nicht eintreten. Dann ist seine Wahrscheinlichkeit 0.

Für ein Zufallsexperiment ist

$P (\emptyset) = 0$

Ein unmögliches Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit 0, ein sicheres Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Aus den Wahrscheinlichkeiten für ein sicheres und ein unmögliches Ereignis kannst Du schließen, dass für jedes Ereignis eines Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt.

Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ eines Zufallsexperiments gilt stets

$0 \leq P (E) \leq 1$

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann nie kleiner als 0 sein und nie größer als 1.

Summenregel für Elementarereignisse

Besteht ein Ereignis aus mehreren Elementarereignissen, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gleich die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse.

Seien $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ Elementarereignisse und $E = \{x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}\}$ ein Ereignis. Dann ist

$P (E) = P (\{x_{1}\}) + P (\{x_{2}\}) + . . . + P (\{x_{n}\})$

Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten stets 1 ist, müssen auch ein Ereignis und das zugehörige Gegenereignis zusammen die Wahrscheinlichkeit 1 haben.

Für ein Ereignis $E$ und sein Gegenereignis $\bar{E}$ gilt

$P (E) + P (\bar{E}) = 1$

Daraus folgt, dass Du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ berechnen kannst, indem Du $1 - P (\bar{E})$ rechnest:

$P (E) = 1 - P (\bar{E})$

Betrachte noch einmal das Werfen eines Würfels. Sei $E_{1}$ das Ereignis, dass eine Zahl zwischen 1 und 6 geworfen wird:

$E_{1} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Dann ist $E_{1}$ ein sicheres Ereignis und es ist

$P (E_{1}) = 1$

Nun ist $E_{2}$ das Ereignis, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird.

$E_{2} = \{5, 6\}$

Das Gegenereignis von $E_{2}$ ist

$\bar{E_{2}} = \{1, 2, 3, 4\}$

Die Ereignisse $E_{2} und \bar{E_{2}}$ bestehen aus Elementarereignissen. Du kannst die Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem Du die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse addierst.

$\begin{array}{rcl} P (E_{2}) & = & P (\{5\}) + P (\{6\}) \\ = & \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ P (\bar{E_{2}}) & = & P (\{1\}) + P (\{2\}) + P (\{3\}) + P (\{4\}) \\ = & \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{array}$

Wenn Du die Wahrscheinlichkeiten von $E_{2}$ und $\bar{E_{2}}$ addierst, erhältst Du:

$\begin{array}{rcl} P (E_{2}) + P (\bar{E_{2}}) & = & \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \end{array}$

Du kannst im Beispiel die Wahrscheinlichkeiten von $E_{2}$ und $\bar{E_{2}}$ auch mit der Laplace-Formel berechnen und nicht über die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse.

Manchmal ist es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu berechnen als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selber. Dann kannst Du $P (E) = 1 - P (\bar{E})$ verwenden, um zum Schluss die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen.

Additionssatz bei zwei Ereignissen

Wenn Du die Vereinigung zweier Ereignisse betrachtest, kannst Du auch die Wahrscheinlichkeit dieser Vereinigung berechnen. Eine Vereinigung von zwei Ereignissen bedeutet, dass das eine oder das andere Ereignis eintreten kann und auch beide gemeinsam eintreten können. Das Symbol für die Vereinigung ist $\cup$ .

Für die Vereinigung $E_{1} \cup E_{2}$ zweier Ereignisse $E_{1}, E_{2}$ ist

$P (E_{1} \cup E_{2}) = P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$

$E_{1} \cap E_{2}$ ist die Schnittmenge der Ereignisse $E_{1}, E_{2}$ . Hier sind alle Elemente enthalten, die sowohl in $E_{1}$ als auch in $E_{2}$ liegen.

Um die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von Ereignissen zu berechnen, addierst Du also nicht einfach nur die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $E_{1}$ und $E_{2}$ , sondern ziehst die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $E_{1} \cap E_{2}$ auch einmal wieder ab. Die Schnittmenge von $E_{1} und E_{2}$ kannst Du in Abbildung 1 erkennen.

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung Schnittmenge StudySmarter Abbildung 1: Schnittmenge der Ereignisse

Du möchtest mehr über die Schnittmenge und Vereinigungsmenge wissen? Dann klicke auf die Begriffe und schau Dir die Erklärungen hierzu an.

Es wird ein Würfel geworfen. Die Ereignisse sind:

$E_{1}$ : Es wird eine Zahl kleiner als 3 geworfen. $E_{1} = \{1, 2\}$

$E_{2}$ : Es wird eine gerade Zahl geworfen. $E_{2} = \{2, 4, 6\}$

Dann liegt die Zahl 2 sowohl in $E_{1}$ als auch in $E_{2}$ , also $E_{1} \cap E_{2} = \{2\}$ .

Die Wahrscheinlichkeiten sind:

$P (E_{1}) = \frac{1}{3} P (E_{2}) = \frac{1}{2} P (E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{6}$

Das Ereignis, dass eine Zahl kleiner als 3 geworfen wird und/oder eine gerade Zahl, ist die Vereinigung $E_{1} \cup E_{2}$ .

Es ist

$\begin{array}{rcl} P (E_{1} \cup E_{2}) & = & P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2}) \\ = & \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \\ = & \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} \\ = & \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{array}$

Du könntest hier die Wahrscheinlichkeit $\begin{array}{rcl} P (E_{1} \cup E_{2}) \end{array}$ aber auch direkt angeben, da Du die Menge $E_{1} \cup E_{2}$ bestimmen kannst.

Wahrscheinlichkeit von Teilmengen

Wenn Du in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zwei Ereignisse hast und aus dem Eintreten des ersten Ereignisses direkt das Eintreten des zweiten Ereignisses folgt, so ist die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses.

Gegeben seien für ein Zufallsexperiment die Ereignisse $E_{1}$ und $E_{2}$ mit $E_{1} \subseteq E_{2}$ . Dann ist

$P (E_{1}) \leq P (E_{2})$

Dies ist immer dann der Fall, wenn das eine Ereignis das andere Ereignis beinhaltet.

Beim Würfeln werden die folgenden Ereignisse betrachtet.

$E_{1}$ : Es wird die Zahl 1 gewürfelt. $E_{1} = \{1\}$

$E_{2}$ : Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt. $E_{2} = \{1, 3, 5\}$

Dann ist $E_{1}$ eine Teilmenge ( $\subset$ ) von $E_{2}$ :

$E_{1} \subset E_{2}$

Wenn $E_{1}$ eintritt, tritt auch automatisch $E_{2}$ ein. Deswegen muss die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer 1 kleiner als die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer ungeraden Zahl sein.

$\begin{array}{rcl} P (E_{1}) & = & \frac{1}{6} \\ P (E_{2}) & = & \frac{1}{2} \\ P (E_{1}) & < & P (E_{2}) \end{array}$

Regeln für mehrstufige Zufallsversuche

Bei einem mehrstufigen Zufallsversuche in der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden mehrere Zufallsversuche hintereinander ausgeführt und zu einem Zufallsversuch zusammengefasst. Häufig werden mehrstufige Zufallsversuche mit einem Baumdiagramm dargestellt.

Regeln für Baumdiagramme

Für die Wahrscheinlichkeitsrechnung in einem Baumdiagramm gibt es zwei Regeln, die auch Pfadregeln genannt werden.

Produktregel (1. Pfadregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsversuch entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.

Möchtest Du also die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, so multiplizierst Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 1: Baumdiagramm

Mit dem Baumdiagramm aus Abbildung 1 kannst Du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A_{1} \cap B_{2} \cap C_{1}$ mit der ersten Pfadregel berechnen:

$P (A_{1} \cap B_{2} \cap C_{1}) = p_{1} \cdot q_{2} \cdot r_{1}$

Summenregel (2. Pfadregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsversuch entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, bei denen das Ereignis eintritt.

Möchtest Du mit dem Baumdiagramm aus Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass $A_{1}$ und $C_{2}$ eintreten, so addierst Du die Wahrscheinlichkeit aller Pfade, bei denen $A_{1} und C_{2}$ eintreten. Das sind hier genau die beiden Pfade $A_{1} \cap B_{1} \cap C_{2}$ und $A_{1} \cap B_{2} \cap C_{2}$ .

$P (A_{1} \cap C_{2}) = P (A_{1} \cap B_{1} \cap C_{2}) + P (A_{1} \cap B_{2} \cap C_{2})$

Regeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist nicht immer dieselbe. Sie kann sich ändern, wenn bereits ein anderes Ereignis eingetreten ist. Dies wird bedingte Wahrscheinlichkeit genannt.

Gegeben sind die Ereignisse A und B. Das Ereignis B ist mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit bereits eingetreten. Dann kannst Du die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A berechnen mit

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

$P_{B} (A)$ kannst Du als "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B" aussprechen.

$P (A \cap B)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B eintritt.

Du kannst eine bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A also berechnen, wenn Du die Wahrscheinlichkeit des bereits eingetretenen Ereignisses B und die Wahrscheinlichkeit von $A \cap B$ kennst.

Wie im Einstiegsbeispiel zieht Lisa Gegenstände aus einem Sack. Es gibt Sterne und Kreise in Blau und Gelb.

Sei S das Ereignis, dass Lisa einen Stern zieht und K das Ereignis, dass Lisa einen Kreis zieht. B steht dafür, dass der gezogene Gegenstand blau ist und G dafür, dass er gelb ist.

Lisa kennt die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Stern zu ziehen:

$P (S) = 0, 4$

Auch weiß Lisa, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einen gelben Stern zu ziehen:

$P (G \cap S) = 0, 1$

Lisa zieht einen Gegenstand aus dem Sack. Sie sieht sich den Gegenstand noch nicht an, aber sie kann ertasten, dass es ein Stern ist. Jetzt überlegt Lisa, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Stern gelb ist.

Lisa sucht also die Wahrscheinlichkeit für Gelb unter der Bedingung, dass es ein Stern ist. Dies kann sie berechnen:

$\begin{array}{rcl} P_{S} (G) & = & \frac{P (G \cap S)}{P (S)} \\ = & \frac{0, 1}{0, 4} \\ = & 0, 25 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lisas Stern gelb ist, beträgt 0,25.

Multiplikationssatz

Der Multiplikationssatz ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Verallgemeinerung der ersten Pfadregel im Baumdiagramm. Er gibt an, wie Du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnest, dass sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B eintritt, also $A \cap B$ .

A und B seien Ereignisse. Dann ist nach dem Multiplikationssatz:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P_{A} (B) P (A \cap B) = P (B) \cdot P_{B} (A)$

Die erste Pfadregel besagt, dass Du die Wahrscheinlichkeit für $A \cap B$ berechnen kannst, indem Du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm bedingte Wahrscheinlichkeit StudySmarter Abbildung 2: Baumdiagramm mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Ab der zweiten Stufe stehen an den Pfaden eines Baumdiagramms bereits bedingte Wahrscheinlichkeiten. Mit der ersten Pfadregel kannst Du die Wahrscheinlichkeit von $A \cap B$ für das Baumdiagramm aus Abbildung 2 berechnen mit:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P_{A} (B)$

Dies entspricht genau dem Multiplikationssatz.

Regeln für unabhängige Ereignisse

Zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander, wenn sich durch das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses nicht verändert.

Die Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig voneinander, wenn gilt:

$P (A) = P_{B} (A) und P (B) = P_{A} (B)$

Du kannst in der Wahrscheinlichkeitsrechnung auch mithilfe des Multiplikationssatzes überprüfen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind. Denn nur für unabhängigen Ereignisse A und B gilt:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Lisa zieht wieder Gegenstände aus einem Sack. Die Ereignisse sind wieder:

S Es wird ein Stern gezogen.

K Es wird ein Kreis gezogen.

B Der gezogene Gegenstand ist blau.

G Der gezogene Gegenstand ist gelb.

Lisa kennt die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

$P (S) = 0, 4 P (G) = 0, 5 P (S \cap G) = 0, 1$

Lisa möchte wissen, ob die Ereignisse S und G unabhängig voneinander sind. Hat das Ereignis, dass ein Stern gezogen wird, einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, dass der Gegenstand gelb ist?

Lisa rechnet:

$P (S) \cdot P (G) = 0, 4 \cdot 0, 5 = 0, 2$

Lisa stellt fest:

$P (S) \cdot P (G) \neq P (S \cap G)$

Die Ereignisse S und G sind abhängig voneinander.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Verallgemeinerung der zweiten Pfadregel (Summenregel). Mit ihm kannst Du die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, wenn nur bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeiten gegeben sind.

Für zwei Ereignisse A und B gilt nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}{rcl} P (A) & = & P (A \cap B) + P (A \cap \bar{B}) \\ = & P (B) \cdot P_{B} (A) + P (B) \cdot P_{B} (A) \end{array}$

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt auch, wenn die Ergebnismenge $Ω$ in mehrere Ereignisse $B_{1}, B_{2}, . . ., B_{n}$ zerlegt wird: $Ω = B_{1} \cup B_{2} \cup . . . \cup B_{n}$

Die Schnittmenge zweier $B_{i}$ muss leer sein. Es darf kein Ergebnis in zwei Ereignissen $B_{i}$ vorkommen: $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$

Dann ist für ein Ereignis A:

$P (A) = P (B_{1}) \cdot P_{B_{1}} (A) + P (B_{2}) \cdot P_{B_{2}} (A) + . . . + P (B_{n}) \cdot P_{B_{n}} (A)$

Du möchtest Dich genauer mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit beschäftigen? Dann schaue Dir die Erklärung zum Satz der totalen Wahrscheinlichkeit an.

Satz von Bayes

Auch der Satz von Bayes beschäftigt sich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Er besagt, dass es für zwei Ereignisse A und B einen Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ und der Wahrscheinlichkeit $P_{A} (B)$ gibt.

Für zwei Ereignisse A und B gilt nach dem Satz von Bayes:

$P_{B} (A) = \frac{P_{A} (B) \cdot P (A)}{P (B)}$

Wenn Du im Satz von Bayes den Nenner mithilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit ersetzt, kannst Du die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ berechnen, ohne die die Wahrscheinlichkeit $P (B)$ zu kennen:

$P_{B} (A) = \frac{P_{A} (B) \cdot P (A)}{P (A_{1}) \cdot P_{A_{1}} (B) + P (A_{2}) \cdot P_{A_{2}} (B) + . . . + P (A_{n}) \cdot P_{A_{n}} (B)}$

Der Satz von Bayes findet in der Wahrscheinlichkeitsrechnung noch weitere Anwendungen. Du kannst sie in der Erklärung zum Satz von Bayes nachlesen.

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung – Aufgaben und Beispiele

Aufgabe 1

Eine Münze wird einmal geworfen. Gib die Menge aller möglichen Ergebnisse $Ω$ an.

Lösung

Sei K das Ereignis, dass Kopf geworfen wird, und Z das Ereignis für Zahl.

Die Ergebnismenge ist:

$Ω = \{Z, K\}$

Aufgabe 2

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit ein rotes Feld zu drehen:

$P (R) = \frac{1}{5}$

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: "Kein rotes Feld drehen"

Lösung

Das Ereignis "Kein rotes Feld drehen" ist das Gegenereignis von "rotes Feld drehen". Es ist

$P (E) = 1 - P (E)$

Und somit ist:

$P (R) = 1 - P (R) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Aufgabe 3

In einer Urne befinden sich rote und blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeiten dafür findest Du in Abbildung 3.

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm Kugeln ziehen StudySmarter Abbildung 3: Baumdiagramm für das Ziehen zweier Kugeln

a) Berechne die Wahrscheinlich dafür, zuerst eine rote Kugel und dann eine blaue Kugel zu ziehen.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, genau eine blaue Kugel zu ziehen.

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "RB" (rot-blau) kannst Du berechnen, indem Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst (1. Pfadregel).

$P (R B) = 0, 625 \cdot 0, 4 = 0, 375$

Aus a) kennst Du bereits die Wahrscheinlichkeit für "RB". Nun berechnest Du zuerst die Wahrscheinlichkeiten dafür, zuerst eine blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen.

$P (B R) = 0, 375 \cdot 0, 6 = 0, 25$

Zum Schluss addierst Du die Wahrscheinlichkeiten.

$P (g e n a u e i n e b l a u e K u g e l) = P (R B) + P (B R) = 0, 375 + 0, 25 = 0, 625$

Aufgabe 4

Du ziehst Gegenstände aus einem Sack mit roten und blauen Sternen und Kreisen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Stern ist 0,4. Die Wahrscheinlichkeit für einen blauen Gegenstand ist 0,5. Du weißt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen blauen Gegenstand unter der Bedingungen, dass es ein Stern ist, 0,75 ist.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein blauer Gegenstand ein Stern ist.

Lösung

Du kennst die Wahrscheinlichkeiten:

$P (S) = 0, 4 P (B) = 0, 5 P_{S} (B) = 0, 75$

Gesucht ist $P_{B} (S)$ .

Jetzt kannst Du den Satz von Bayes anwenden:

$\begin{array}{rcl} P_{B} (S) & = & \frac{P (S) \cdot P_{S} (B)}{P (B)} \\ = & \frac{0, 4 \cdot 0, 75}{0, 5} \\ = & 0, 6 \end{array}$

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung – Das Wichtigste

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt für die Ereignisse E, E1, E2:
- $0 \leq P (E) \leq 1$
- $P (E) = 1 - P (E)$
- $E_{1} \subseteq E_{2} \Rightarrow P (E_{1}) \leq P (E_{2})$
- $P (E_{1} \cup E_{2}) = P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
bedingte Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse A und B: $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
Multiplikationssatz für die Ereignisse A und B: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P_{A} (B) = P (B) \cdot P_{B} (A)$
unabhängige Ereignisse A und B:
- $P_{B} (A) = P (A), P_{A} (B) = P (B)$
- $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse A und B: $P (A) = P (B) \cdot P_{B} (A) + P (B) \cdot P_{B} (A)$
Satz von Bayes für die Ereignisse A und B: $P_{A} (B) = \frac{P (B) \cdot P_{B} (A)}{P (A)}$

Nachweise

Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung

Was ist die Pfadregel?

Pfadregeln gelten beim Rechnen mit Baumdiagrammen.

Es gibt zwei Pfadregeln. Die erste Pfadregel besagt, dass Du die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses berechnen kannst, indem Du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.

Die zweite Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen das Ereignis eintritt, beträgt.

Wie rechnet man mit einem Baumdiagramm?

In einem Baumdiagramm multiplizierst Du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfades zu berechnen (1. Pfadregel). Außerdem kannst Du die Wahrscheinlichkeiten von Pfaden addieren, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen.

Wie funktionieren Wahrscheinlichkeitsrechnungen?

Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten gibt es einige grundlegende Regeln. So ist P(Ω)=1 und P(∅)=0. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1.

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Sicheres Ereignis

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Multiplikationssatz

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