Lerninhalte finden
Features
Entdecke
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Ein bekanntes Zufallsexperiment ist zum Beispiel der Münzwurf, bei dem als mögliche Ergebnisse entweder Kopf oder Zahl geworfen werden kann.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei losWas ist die Normierung der Wahrscheinlichkeiten?
Was beschreibt die Wahrscheinlichkeit P(A)?
Was ist die Additionsregel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Wie lautet die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit?
Was versteht man in der Stochastik unter Simulation?
Was ist ein Zufallsexperiment?
Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Was ist ein Baumdiagramm?
Was ist die Normierung der Wahrscheinlichkeiten?
Was beschreibt die Wahrscheinlichkeit P(A)?
Was ist die Additionsregel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Wie lautet die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit?
Was versteht man in der Stochastik unter Simulation?
Was ist ein Zufallsexperiment?
Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Was ist ein Baumdiagramm?
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Wahrscheinlichkeitsrechnung Lehrer
Warum es sich bei einem Münzwurf um ein Zufallsexperiment handelt, eine Definition über die Grundbegriffe sowie wichtige Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfährst Du in dieser Erklärung.
In diesem Abschnitt erfährst Du, wie Du etwa Deinen Mitschülern die Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärst.
Die Definition der Wahrscheinlichkeitsrechnung beruht auf drei grundlegenden Sätzen, sogenannten Axiomen, welche Grundlage aller Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind.
Die drei Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung lauten:
Was die einzelnen Begriffe bedeuten, erfährst Du im nächsten Abschnitt.
Mehr zu diesem Thema findest Du in der Erklärung "Axiome von Kolmogorow"
Zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört das Zufallsexperiment, das Ergebnis sowie das Ereignis und der Wahrscheinlichkeitsbegriff.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe | Definition | Beispiel |
Zufallsexperiment | Versuchsvorgang,
| Münzwurf |
Wahrscheinlichkeitsrechnung – Ergebnis und Ereignis |
| |
Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit |
|
|
In einem Zufallsexperiment können verschiedene Versuchsausgänge, die sogenannten Elementarereignisse \({\omega}_i\) erreicht werden. Wenn Du einen oder mehrere davon zusammenfasst, erhältst Du ein Ereignis \(A\) des Zufallsexperiments. Wiederum die Gesamtmenge aller Elementarereignisse wird als Ergebnismenge \(\Omega = \{{\omega}_1,\ldots {\omega}_i\}\) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) beschreibt dann entsprechend, wie wahrscheinlich das jeweilige Ereignis \(A\) auftritt.
Zu der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) solltest Du Dir folgende Eigenschaften merken:
Würfelst Du zum Beispiel mit einem sechsseitigen Würfel, dann hast Du eine Ergebnismenge \(\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\). Ist es jetzt Dein Ziel eine 1 zu würfeln, dann ist Dein Ergebnis \(E=1\). Da es auf dem Würfel sechs Seiten gibt und jede gleich wahrscheinlich ist, erhältst Du für die Wahrscheinlichkeit \(P(1)=\frac{1}{6}\)
Wenn Du noch mehr zu den Grundlagen erfahren möchtest, dann schau Dir doch die Erklärung „Wahrscheinlichkeit“ an.
Die Formel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung beruht auf dem Prinzip, dass die Anzahl an möglichen Ergebnissen im Verhältnis zu den gewollten Ergebnissen gesetzt wird.
Die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit lautet:
\[P(A)\,=\frac{\text{Zahl der günstigen Fälle}}{\text{Zahl der möglichen Fälle}}\]
Um die Wahrscheinlichkeit in einem simplen Zufallsexperiment zu berechnen, brauchst Du also nur die Angaben zu der Anzahl an günstigen Fällen und der Anzahl an möglichen Fällen.
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem sechsseitigen Würfel eine 1 zu werfen, entspricht dann dem Bruch \(\frac{1}{6}\).
Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt es bestimmte Regeln einzuhalten.
| Regel | Formel | Erklärung |
| Additionsregel | \[P\,(A\text{ oder }B)\equiv P\,(A\cup B)\equiv P\,(A\lor B)=P\,(A)+P\,(B)\] | Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei verschiedenen Ereignissen eins von beiden eintritt, entspricht der Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. |
| Gegenwahrscheinlichkeit | \[P\,(\overline{A})=1-P\,(A)\] | Die Gegenwahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt. |
| Normierung der Wahrscheinlichkeiten | \[P\,(A_1)+P\,(A_2)+P\,(A_3)+\ldots\,=1\] | Werden die Wahrscheinlichkeiten aller Versuchsausgänge addiert, so ist das Ergebnis 1. |
| Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse | \[P\,(A\text{ und }B)\equiv P\,(A\cap B)\equiv P\,(A\land B)=P\,(A)\cdot P\,(B) \] | Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ergebnisse auftreten, entspricht dem Produkt der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. |
Besonders die letzten zwei Regeln sind wichtig, wenn es um den Umgang mit einem Baumdiagramm geht.
Ein Mehrstufiges Zufallsexperiment ist ein Experiment, dass mehrmals hintereinander wiederholt wird. In diesem treten anders als beim einstufigen Zufallsexperiment nur abhängige Ereignisse auf.
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums \(|\Omega|\). Sie gibt an, wie viele Elemente in der Ergebnismenge \(\Omega\) liegen.
Diese Ergebnismenge kann durch andere Auswahl der Ergebnisse verändert werden. Dort wird entschieden zwischen der Vergröberung und der Verfeinerung von Omega \(\Omega\). Eine grobe Einteilung wäre beispielsweise, wenn die Ergebnisse „Alle geraden Zahlen“ umfassen würde. Eine feinere Einteilung wäre die spezifische Nennung von Werten wie \(\Omega=\{2,4,6\}\).
Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung Mehrstufiges Zufallsexperiment.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit, die nur bei mehrstufigen Zufallsexperimenten auftritt.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach Eintritt eines Ereignis \(A\) danach auch ein Ereignis \(B\) ein tritt. Diese Wahrscheinlichkeit wird mit \(P_A (B)\) beschrieben und besagt, dass die Wahrscheinlichkeit \(B\) unter der Bedingung \(A\) eintritt.
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, des gesuchten Ergebnisses dann mit folgender Formel:
\[P_B (A)=\frac{p(A\cap B)}{P(B)}\]
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kannst Du durch Baumdiagramme und Vierfeldertafeln darstellen.
Ein Baumdiagramm ist ein Weg, ein mehrstufiges Zufallsexperiment visuell darzustellen. Dabei wird jede Stufe einzeln behandelt, sodass die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten klar aufeinander aufbauen.
Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In dieser lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.
Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit \(A\) und \(\overline{A}\) beschriftet ist und je eine Spalte mit \(B\) und \(\overline{B}\) (oder andersherum). Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100 %.
\(B\) | \(\overline{B}\) | \(\Sigma\) | |
\(A\) | \(p(A\cap B)\) | \(P(A\cap \overline{B})\) | \(P(A)\) |
\(\overline{A}\) | \(P(\overline{A}\cap B)\) | \(P(\overline{A}\cap \overline{B})\) | \(P(\overline{A})\) |
\(\Sigma\) | \(P(B)\) | \(P(\overline{B})\) | 1 |
Merke: Bei stochastisch unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und die Wahrscheinlichkeit der Menge \(\text{A ∩ B}\) entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\).
Mehr dazu findest Du in der Erklärung „Vierfeldertafel“.
In der Stochastik verstehst Du unter Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann. Zu diesen Gründen zählen unter anderem ein zu hoher Aufwand, zu hohe Kosten oder auch eine sehr große Menge an benötigten Materialien.
In solchen Fällen wird dann ein einfacheres Zufallsexperiment als „Ersatz“ gesucht, dass nicht nur repräsentativ für das eigentliche Zufallsexperiment ist, sondern auch ohne großen Aufwand und unabhängig voneinander mehrmals durchgeführt werden kann.
Eine Simulation muss unabhängig voneinander hinreichend oft realisiert werden. Nur dann kann aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen näherungsweise Angaben zur gesuchten Wahrscheinlichkeit gemacht werden.
Mehr zum Thema Simulation kannst Du in der Erklärung Simulation Wahrscheinlichkeit nachlesen.
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (auch Permutationen genannt) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen genannt) von Objekten bei Versuchsausgängen.
Bei einer Anordnung bzw. Permutation werden dabei alle Elemente der Grundmenge betrachtet, wohingegen bei Auswahlen, entweder Variationen oder Kombinationen, nur eine Stichprobe der Grundmenge im Fokus des Interesses liegt. Es gibt weiterhin geordnete und ungeordnete Stichproben, je nachdem, ob die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird, wie bei der Variation, oder nicht, wie bei der Kombination. Bei Anordnungen bzw. Permutationen wird die Reihenfolge immer berücksichtigt.
Zur Berechnung der Anzahlen in den verschiedenen Fällen dienen verschiedene Formeln:
| ohne Wiederholung | mit Wiederholung | |
| Permutation | \(n!\) | \(\dfrac{n!}{k_1 !\cdot k_2 !\cdot \ldots \cdot k_n !}\) |
| Variation | \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) | \(n^k\) |
| Kombination | \(\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) | \(\dfrac{(n+k-1)!}{(n-1)! \cdot k!}\) |
Wenn Du noch mehr über dieses Thema erfahren möchtest, dann schau Dir doch die Erklärung „Kombinatorik“ an.
\[P(A)\,=\frac{\text{Zahl der günstigen Fälle}}{\text{Zahl der möglichen Fälle}}\]
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit?
Die Wahrscheinlichkeit berechnest Du, indem Du die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle teilst.
Wie macht man ein Baumdiagramm?
Ein Baumdiagramm erstellst Du, indem Du zuerst von einem Ausgangspunkt aus zwei Pfade zu den ersten beiden möglichen Ergebnissen zeichnest. Von diesen Ergebnissen führen dann wieder jeweils zwei Pfade weiter zu den nächsten Ergebnissen, von denen aus du wieder das Gleiche zeichnen könntest. Wie viele Pfade Du am Ende zeichnest, hängt von dem Zufallsexperiment ab.
Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Ereignis B das Ereignis A eintritt, berechnest Du, indem Du die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit, dass nur B eintritt, teilst.
Welche Wahrscheinlichkeitsrechnungen gibt es?
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Wie Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst, hängt davon ab, ob es sich um ein einstufiges oder mehrstufiges Zufallsexperiment handelt. Bei einstufigen Zufallsexperimenten ist von der einfachen Wahrscheinlichkeit die Rede, bei mehrstufigen von der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Wie erklärt man Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Ein sicheres Ereignis hat dabei eine Wahrscheinlichkeit von 1 bzw. von 100 %. Bei einem unmöglichen Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit dagegen 0 %.
Wann benutzt man Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst Du immer dann benutzen, wenn Du die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses bestimmen möchtest. So kannst Du zum Beispiel die möglichen Ergebnisse bei einem Glücksspiel, wie etwa das Drehen an einem Glücksrad, besser einschätzen.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen