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Dreiecke sind überall um uns herum, sogar in alltäglichen Objekten wie dem Dach eines Hauses. Ein solches Dreieck kannst Du beschriften, konstruieren und berechnen. Aber wie genau funktioniert das? All das erfährst Du in dieser Erklärung!
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Leg kostenfrei losWie werden die Eckpunkte eines Dreiecks beschriftet?
Welcher Satz beschreibt die Beziehung der Seitenlängen in einem Dreieck?
Wie viele besondere Punkte hat ein Dreieck?
Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Dreiecks?
Welche Eigenschaften hat ein gleichseitiges Dreieck?
Wie hoch ist die Innenwinkelsumme eines Dreiecks?
Welche Summe ergeben die Innenwinkel eines Dreiecks?
Was ist ein charakteristisches Merkmal eines spitzwinkligen Dreiecks?
Wie viele Winkel hat ein Dreieck?
Was ist ein Kugeldreieck?
Was besagt der Satz des Pythagoras?
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Feedback sendenDie Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck.
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die durch drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer Gerade liegen, aufgestellt wird. Die drei Punkte A, B und C werden über drei Seiten a, b und c miteinander verbunden.
Ein Dreieck hat immer drei Winkel
Abbildung 2: Allgemeines DreieckEin Dreieck wird, wie jede andere geometrische Figur, beschriftet. Der Vorgang ist immer gleich.
Abbildung 3: Beschriftung eines Dreiecks
Ein Dreieck hat verschiedene Eigenschaften. Darunter zählen die speziellen Linien und Punkte in einem Dreieck und die verschiedenen Formen.
In einem Dreieck gibt es spezielle Strecken. Darunter zählen die Höhengerade, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und die Winkelhalbierende.
| Gerade | Eigenschaften |
| Höhengerade | Diese Gerade startet bei einem Eckpunkt des Dreiecks und endet senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite bzw. ihrer Verlängerung. Dieser Endpunkt wird als Lotfußpunkt bezeichnet. Die Höhengeraden der drei Seiten schneiden sich in einem Punkt. |
| Mittelsenkrechte | Diese Gerade verläuft senkrecht zu einer der Seiten des Dreiecks und teilt diese in der Hälfte. |
| Seitenhalbierende | Diese Gerade verbindet eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. |
| Winkelhalbierende | Diese Halbgerade läuft durch den Scheitelpunkt eines Winkels des Dreiecks und teilt das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile. |
Abbildung 4: Transversalen eines Dreiecks
Zu den jeweiligen Transversalen eines Dreiecks gibt es ebenfalls tiefergehende Erklärungen. Sieh doch mal bei Mittelsenkrechte, Höhengerade, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende vorbei
Jedes Dreieck hat 4 besondere Punkte, die sich konstruieren lassen. Alle diese Punkte liegen auf der sogenannten „Eulerschen“ Gerade.
Zu den speziellen Punkten gehören der Schwerpunkt, der Mittelpunkt, der Mittelpunkt des Inkreises und der Höhenschnittpunkt.
Die Eulersche Gerade, ist eine Gerade eines Dreiecks, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnitt des Dreiecks geht.
| Punkt | Eigenschaft | |
| Der Schwerpunkt | Der Schnittpunkt aller drei Seitenhalbierenden wird Schwerpunkt des Dreiecks genannt. Die Seitenhalbierenden werden vom Schwerpunkt im Verhältnis 2:1 geteilt. |
|
| Der Mittelpunkt | Der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten wird Mittelpunkt des Dreiecks genannt. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. |
|
| Der Mittelpunkt des Inkreises | Der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden ergibt den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. |
|
| Der Höhenschnittpunkt | Der Schnittpunkt aller drei Höhengeraden wird Höhenschnittpunkt eines Dreiecks genannt. |
|
Es gibt noch eine tiefergehende Erklärung zu dem Schwerpunkt eines Dreiecks, die Du Dir gerne anschauen kannst.
Es gibt drei verschiedene Arten eines Dreiecks, die verschiedene Eigenschaften haben.
Doch welche Arten gibt es genau?
Das rechtwinklige Dreieck ist ein Dreieck, von dem ein Winkel
Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks:
Wenn ein Winkel
Abbildung 9: Rechtwinkliges Dreieck
Das gleichseitige Dreieck ist eine besondere Art eines Dreiecks, welches drei Seiten mit der gleichen Länge hat.
Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks:
Abbildung 10: Gleichseitiges Dreieck
Das gleichschenklige Dreieck ist ähnlich wie das gleichseitige, allerdings sind beim gleichschenkligen Dreieck nur zwei Seiten gleichlang.
Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks:
Wenn Du einen Winkel gegeben hast, kannst Du mithilfe dieser Beziehung den oder die fehlenden Winkel des Dreiecks berechnen:
Abbildung 11: Gleichschenkliges Dreieck
Das Stumpfwinklige Dreieck ist eine weitere Art des Dreiecks.
Eigenschaften eines stumpfwinkeligen Dreiecks:
Abbildung 12: Stumpfwinkliges Dreieck
Das spitzwinklige Dreieck ist eine Art des Dreiecks, welche eine bestimmte Eigenschaft hat.
Eigenschaften eines spitzwinkligen Dreiecks:
Im spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Winkel spitze Winkel.
Abbildung 13: Spitzwinkliges Dreieck
Mehr Informationen zu den verschiedenen Dreiecken erhältst Du im Artikel Dreiecksarten, sowie in den einzelnen Artikeln (gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, stumpfwinkliges Dreieck und spitzwinkliges Dreieck).
Zu jedem Dreieck kann ein Um-, An- und ein Inkreis angegeben werden:
| Art des Kreises | Darstellung |
| Umkreis eines Dreiecks |  Abbildung 14: Umkreis eines Dreiecks |
| Inkreis eines Dreiecks |
|
| Ankreis eines Dreiecks |
|
Wenn Du noch mehr über besondere Kreise eines Dreiecks wissen möchtest, kannst Du Dir gerne die Artikel dazu anschauen.
Damit Du ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst, brauchst Du mindestens drei Angaben. Es kommt darauf an, welche Angaben Du gegeben hast, denn nicht immer ist ein Dreieck eindeutig konstruierbar oder existiert überhaupt.
Um zu überprüfen, ob Deine Angaben ein eindeutiges Dreieck beschreiben, musst Du Dir die Kongruenzsätze ansehen.
Es gibt verschiedene Kongruenzsätze eines Dreiecks, die einem vorgeben, ob das Dreieck überhaupt konstruierbar ist.
| Kongruenzsatz | Erklärung | Konstruktion | Grafik |
| SSS-Satz | Alle drei Seiten des Dreiecks sind gegeben. | So musst Du die Grundseite einzeichnen und mit einem Zirkel einen Punkt erzeugen, der mit den Ecken verbunden wird. Den Zirkel stellst Du auf die gegebene Länge ein und setzt ihn an den Eckpunkten an. | |
| SWS-Satz | Es sind zwei Seiten und der dazwischen eingeschlossene Winkel des Dreiecks gegeben. | Zuerst zeichnest Du die Grundseite c, dann eine weitere Seite a im passenden Winkel und diese Seite wird dann begrenzt auf den gegebenen Wert. | |
| SSW-Satz | Es sind zwei Seiten und der, der längeren Seite gegenüberliegende Winkel des Dreiecks gegeben. | Zuerst zeichnest Du die kürzere Seite als Grundseite ein und ziehst eine Linie am passenden Winkel | |
| WSW-Satz | Es sind zwei Winkel und die Seite dazwischen gegeben. | Zuerst zeichnest Du wieder die Grundseite c ein. Danach zeichnest Du zwei Linien im gegebenen Winkel zur Grundseite ein. Diese werden sich schneiden und Du hast ein Dreieck. |
Um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, muss einer der folgenden Punkte erfüllt sein.
Wenn Du jetzt die Kongruenzsätze beachtest, kannst Du mit gegebenen Werten ein Dreieck konstruieren.
Aufgabe 1
Konstruiere ein Dreieck mit folgenden gegebenen Werten und benutze dafür den passenden Kongruenzsatz.
c = 4cm
a = 2cm
Lösung
Zuerst zeichnest Du die Grundseite c = 4cm.
Abbildung 21: Dreieck konstruieren
Danach zeichnest Du eine beliebig lange Linie im Winkel
Abbildung 22: Dreieck konstruieren
Jetzt begrenzt Du die zweite Linie a auf 2 cm und verbindest den Punkt C mit dem Punkt A für die Seite b. Am Ende beschriftest Du Dein Dreieck noch.
Abbildung 23: Dreieck konstruieren
Zum Berechnen des Flächeninhalts eines Dreiecks musst Du eine Formel verwenden.
Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks:
Das sieht in der Praxis so aus.
Aufgabe 2
Berechne den Flächeninhalt einer Dach front, dessen Höhe bei 3 m liegt und dessen Länge der Grundseite gleich 9 m ist.
Lösung
Für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks setzt Du die gegebenen Werte in die Formel zur Flächeninhaltsberechnung ein.
h = 3m
g = 9m
Der Flächeninhalt des Vorderdachs liegt bei
Um noch mehr über die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks zu erfahren, schau Dir doch gerne die Erklärung Flächeninhalt Dreieck an.
Den Umfang eines Dreiecks kannst Du berechnen, indem alle drei Seiten summiert werden
Berechnung des Umfangs eines Dreiecks:
Aufgabe 3
Berechne den Umfang einer Dach front mit der Grundseite c von 5 m, ein Seitendach b von 3 m und das andere Seitendach von 6 m.
Lösung
Zum Berechnen des Umfangs der Dach front müssen alle drei Seiten a, b und c addiert werden.
Der Umfang der Dachfront liegt bei
Die Innenwinkel
Als Außenwinkel des Dreiecks werden die Nebenwinkel
Die Summe aller Außenwinkel
Die Außenwinkel sehen folgendermaßen aus:
Abbildung 24: Außenwinkel eines Dreiecks
Neben Innen- und Außenwinkeln gibt es noch die Wechselwinkel an einem Dreieck
Die Wechselwinkel eines Dreiecks erhältst Du, indem eine Parallele zu einer Strecke durch den gegenüberliegenden Eckpunkt gelegt wird.
Der Winkel
Zusammen mit dem Winkel
Hier sieht man auch noch mal deutlich den Zusammenhang zur Innenwinkelsumme eines Dreiecks.
Abbildung 25: Innenwinkel Dreieck
Die Erklärungen Außenwinkelsumme Dreieck und Wechselwinkel Dreieck geben Dir noch mehr Infos zu diesem Thema.
Die folgenden Sätze und Formeln gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC wie in der Abbildung. Die Höhe unterteilt die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q.
Abbildung 26: Satzgruppe des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat über der Hypotenuse der Summe der Quadrate über den beiden Katheten.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck, dann gilt der Satz des Pythagoras:
Du möchtest mehr über den Satz des Pythagoras lernen? Dann klicke unbedingt auf die Erklärung.
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat einer Kathete dem Produkt aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt mit der Hypotenuse.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck, dann gilt der Kathetensatz:
Auch wenn Du weiteres zum Kathetensatz wissen möchtest, kannst Du auf den Begriff klicken und es öffnet sich die Erklärung dazu.
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Höhe dem Produkt der beiden Abschnitte der Hypotenuse.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck, dann gilt der Höhensatz:
Klicke auch hier auf den Begriff "Höhensatz", wenn Du mehr zum Thema lernen möchtest.
In allen Sätzen steht auf mindestens einer Seite der Gleichung eine Seitenlänge im Quadrat. Möchtest Du diese Seitenlänge berechnen, ziehst Du die Wurzel.
Die Erklärung "Die Satzgruppe des Pythagoras" hat einen eigenen Artikel, den Du Dir gerne anschauen kannst.
Die Dreiecksungleichung ist ein wichtiger Satz in der Geometrie. Der Satz besagt:
Die Summe der Längen der Seiten a und b eines Dreiecks ABC ist größer als die Länge der Seite c des Dreiecks.
Anders ausgedrückt: Eine Seitenlänge des Dreiecks ABC ist kleiner als die Summe der beiden anderen Seitenlängen des Dreiecks.
Gemäß der Dreiecksungleichung gilt also für die Seiten a, b und c des Dreiecks ABC:
Zur Dreiecksungleichung gibt es eine eigene Erklärung, in der es noch weitere Ausführungen und Beispiele zum Thema gibt.
Ein Kugeldreieck ist eine spezielle geometrische Figur
Ein Kugeldreieck ist ein Dreieck, das auf einer Kugel durch drei Kreisbögen begrenzt wird. Die Winkelsummen bei einem Kugeldreieck können bis zu 540° groß sein.
Wenn Du noch mehr über die Winkelsumme Kugeldreieck erfahren möchtest, kannst Du Dir die passende Erklärung dazu anschauen.
Flächeninhalt eines Dreiecks:
Der Winkel
Der Winkel
Die folgenden Sätze und Formeln gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC wie in der Abbildung. Die Höhe unterteilt die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q.
Ein Kugeldreieck ist ein Dreieck, das auf einer Kugel durch drei Kreisbögen begrenzt wird. Die Winkelsummen bei einem Kugeldreieck können bis zu 540° groß sein.
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Wie berechne ich die Fläche eines Dreiecks?
Der Flächeninhalt A eines Dreiecks kann mithilfe einer Seite g und ihrer Höhe h berechnet werden.
A= 0,5·g·h
Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?
Um den Umfang U eines Dreiecks zu berechnen, werden alle Seitenlängen des Dreiecks addiert.
U=a+b+c
Wie berechnet man die 3. Seite eines Dreiecks?
Eine fehlende Seitenlänge eines Dreiecks kann bei rechtwinkligen Dreiecken über den Satz des Pythagoras berechnet werden.
Ansonsten können auch die Formeln zu Umfang oder Flächeninhalt nach einer bestimmten Größe umgestellt werden.
Wie wird ein Dreieck beschriftet?
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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