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Dreieck
Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck.
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die durch drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer Gerade liegen, aufgestellt wird. Die drei Punkte A, B und C werden über drei Seiten a, b und c miteinander verbunden.
Ein Dreieck hat immer drei Winkel \(\alpha, \, \beta \) und \( \gamma \) , die zusammen immer 180° ergeben.
Abbildung 2: Allgemeines DreieckBeschriftung eines Dreiecks
Ein Dreieck wird, wie jede andere geometrische Figur, beschriftet. Der Vorgang ist immer gleich.
- Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A, B, C.
- Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben entsprechend den gegenüberliegenden Eckpunkten: a, b, c.
- Die Beschriftung der Innenwinkel erfolgt mit \(\alpha \) bei A, \( \beta \) bei B und \( \gamma \) bei C. Sie können alle unterschiedlich groß sein, jedoch muss die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180°ergeben.
Abbildung 3: Beschriftung eines Dreiecks
Eigenschaften eines Dreiecks
Ein Dreieck hat verschiedene Eigenschaften. Darunter zählen die speziellen Linien und Punkte in einem Dreieck und die verschiedenen Formen.
Transversalen in einem Dreieck
In einem Dreieck gibt es spezielle Strecken. Darunter zählen die Höhengerade, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und die Winkelhalbierende.
| Gerade | Eigenschaften |
| Höhengerade | Diese Gerade startet bei einem Eckpunkt des Dreiecks und endet senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite bzw. ihrer Verlängerung. Dieser Endpunkt wird als Lotfußpunkt bezeichnet. Die Höhengeraden der drei Seiten schneiden sich in einem Punkt. |
| Mittelsenkrechte | Diese Gerade verläuft senkrecht zu einer der Seiten des Dreiecks und teilt diese in der Hälfte. |
| Seitenhalbierende | Diese Gerade verbindet eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. |
| Winkelhalbierende | Diese Halbgerade läuft durch den Scheitelpunkt eines Winkels des Dreiecks und teilt das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile. |
Abbildung 4: Transversalen eines Dreiecks
Zu den jeweiligen Transversalen eines Dreiecks gibt es ebenfalls tiefergehende Erklärungen. Sieh doch mal bei Mittelsenkrechte, Höhengerade, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende vorbei
Spezielle Punkte in einem Dreieck
Jedes Dreieck hat 4 besondere Punkte, die sich konstruieren lassen. Alle diese Punkte liegen auf der sogenannten „Eulerschen“ Gerade.
Zu den speziellen Punkten gehören der Schwerpunkt, der Mittelpunkt, der Mittelpunkt des Inkreises und der Höhenschnittpunkt.
Die Eulersche Gerade, ist eine Gerade eines Dreiecks, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnitt des Dreiecks geht.
| Punkt | Eigenschaft | |
| Der Schwerpunkt | Der Schnittpunkt aller drei Seitenhalbierenden wird Schwerpunkt des Dreiecks genannt. Die Seitenhalbierenden werden vom Schwerpunkt im Verhältnis 2:1 geteilt. |
|
| Der Mittelpunkt | Der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten wird Mittelpunkt des Dreiecks genannt. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. |
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| Der Mittelpunkt des Inkreises | Der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden ergibt den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. |
|
| Der Höhenschnittpunkt | Der Schnittpunkt aller drei Höhengeraden wird Höhenschnittpunkt eines Dreiecks genannt. |
|
Es gibt noch eine tiefergehende Erklärung zu dem Schwerpunkt eines Dreiecks, die Du Dir gerne anschauen kannst.
Arten eines Dreiecks
Es gibt drei verschiedene Arten eines Dreiecks, die verschiedene Eigenschaften haben.
Doch welche Arten gibt es genau?
Das rechtwinklige Dreieck
Das rechtwinklige Dreieck ist ein Dreieck, von dem ein Winkel \( \alpha = 90° \) groß ist.
Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks:
- Ein Winkel ist \( \alpha = 90° \) groß.
- Die beiden Winkel \( \beta + \gamma =90°\) ergeben zusammen 90°.
Wenn ein Winkel \( \alpha=90° \) und \( \beta = \gamma = 45° \) groß sind, dann ist das Dreieck ein gleichschenkliges-rechtwinkliges-Dreieck.
Abbildung 9: Rechtwinkliges Dreieck
Das gleichseitige Dreieck
Das gleichseitige Dreieck ist eine besondere Art eines Dreiecks, welches drei Seiten mit der gleichen Länge hat.
Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks:
- Drei Seiten, die alle gleich lang sind. \(a=b=c\)
- Drei Winkel \(\alpha \, \beta \) und \( \gamma \) in der Größe von 60°. \( \alpha = \beta = \gamma = 60° \)
- Die Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Höhen-, und Winkelhalbierende schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Mittelpunkt.
Abbildung 10: Gleichseitiges Dreieck
Das gleichschenklige Dreieck
Das gleichschenklige Dreieck ist ähnlich wie das gleichseitige, allerdings sind beim gleichschenkligen Dreieck nur zwei Seiten gleichlang.
Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks:
- Zwei Seiten a und b sind gleichlang. \(a=b \)
- Die zugehörigen Basiswinkel \( \alpha \) und \( \beta \) sind gleich groß.
Wenn Du einen Winkel gegeben hast, kannst Du mithilfe dieser Beziehung den oder die fehlenden Winkel des Dreiecks berechnen: \( 2\alpha + \gamma = 180° \)
Abbildung 11: Gleichschenkliges Dreieck
Das stumpfwinklige Dreieck
Das Stumpfwinklige Dreieck ist eine weitere Art des Dreiecks.
Eigenschaften eines stumpfwinkeligen Dreiecks:
- \( \alpha > 90° \)
Abbildung 12: Stumpfwinkliges Dreieck
Das spitzwinklige Dreieck
Das spitzwinklige Dreieck ist eine Art des Dreiecks, welche eine bestimmte Eigenschaft hat.
Eigenschaften eines spitzwinkligen Dreiecks:
- \( \alpha, \, \beta, \, \gamma <90° \)
Im spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Winkel spitze Winkel.
Abbildung 13: Spitzwinkliges Dreieck
Mehr Informationen zu den verschiedenen Dreiecken erhältst Du im Artikel Dreiecksarten, sowie in den einzelnen Artikeln (gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, stumpfwinkliges Dreieck und spitzwinkliges Dreieck).
Besondere Kreise eines Dreiecks
Zu jedem Dreieck kann ein Um-, An- und ein Inkreis angegeben werden:
| Art des Kreises | Darstellung |
| Umkreis eines Dreiecks |  Abbildung 14: Umkreis eines Dreiecks |
| Inkreis eines Dreiecks |
|
| Ankreis eines Dreiecks |
|
Wenn Du noch mehr über besondere Kreise eines Dreiecks wissen möchtest, kannst Du Dir gerne die Artikel dazu anschauen.
Dreieck konstruieren
Damit Du ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst, brauchst Du mindestens drei Angaben. Es kommt darauf an, welche Angaben Du gegeben hast, denn nicht immer ist ein Dreieck eindeutig konstruierbar oder existiert überhaupt.
Um zu überprüfen, ob Deine Angaben ein eindeutiges Dreieck beschreiben, musst Du Dir die Kongruenzsätze ansehen.
Die Kongruenzsätze eines Dreiecks
Es gibt verschiedene Kongruenzsätze eines Dreiecks, die einem vorgeben, ob das Dreieck überhaupt konstruierbar ist.
| Kongruenzsatz | Erklärung | Konstruktion | Grafik |
| SSS-Satz | Alle drei Seiten des Dreiecks sind gegeben. | So musst Du die Grundseite einzeichnen und mit einem Zirkel einen Punkt erzeugen, der mit den Ecken verbunden wird. Den Zirkel stellst Du auf die gegebene Länge ein und setzt ihn an den Eckpunkten an. | |
| SWS-Satz | Es sind zwei Seiten und der dazwischen eingeschlossene Winkel des Dreiecks gegeben. | Zuerst zeichnest Du die Grundseite c, dann eine weitere Seite a im passenden Winkel und diese Seite wird dann begrenzt auf den gegebenen Wert. | |
| SSW-Satz | Es sind zwei Seiten und der, der längeren Seite gegenüberliegende Winkel des Dreiecks gegeben. | Zuerst zeichnest Du die kürzere Seite als Grundseite ein und ziehst eine Linie am passenden Winkel \( \alpha \). Danach nimmst Du Deinen Zirkel und stellst ihn auf die Länge der langen Seite und setzt ihn an Punkt B an. Jetzt ziehst Du einen Kreis und verbindest Punkt B mit dem neuen Punkt C | |
| WSW-Satz | Es sind zwei Winkel und die Seite dazwischen gegeben. | Zuerst zeichnest Du wieder die Grundseite c ein. Danach zeichnest Du zwei Linien im gegebenen Winkel zur Grundseite ein. Diese werden sich schneiden und Du hast ein Dreieck. |
Ähnlichkeit von zwei Dreiecken
Um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, muss einer der folgenden Punkte erfüllt sein.
- Alle drei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis.
- Zwei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis und der, der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel stimmt überein.
- Zwei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis und der von ihnen eingeschlossene Winkel stimmt überein.
- Zwei Winkel stimmen überein.
Dreieck konstruieren – Beispiel
Wenn Du jetzt die Kongruenzsätze beachtest, kannst Du mit gegebenen Werten ein Dreieck konstruieren.
Aufgabe 1
Konstruiere ein Dreieck mit folgenden gegebenen Werten und benutze dafür den passenden Kongruenzsatz.
c = 4cm
a = 2cm
\( \beta \) = 50°
Lösung
Zuerst zeichnest Du die Grundseite c = 4cm.
Abbildung 21: Dreieck konstruieren
Danach zeichnest Du eine beliebig lange Linie im Winkel \( \beta \) = 50° zu der Grundseite c.
Abbildung 22: Dreieck konstruieren
Jetzt begrenzt Du die zweite Linie a auf 2 cm und verbindest den Punkt C mit dem Punkt A für die Seite b. Am Ende beschriftest Du Dein Dreieck noch.
Abbildung 23: Dreieck konstruieren
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen
Zum Berechnen des Flächeninhalts eines Dreiecks musst Du eine Formel verwenden.
Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \]
Das sieht in der Praxis so aus.
Aufgabe 2
Berechne den Flächeninhalt einer Dach front, dessen Höhe bei 3 m liegt und dessen Länge der Grundseite gleich 9 m ist.
Lösung
Für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks setzt Du die gegebenen Werte in die Formel zur Flächeninhaltsberechnung ein.
h = 3m
g = 9m
\begin{align} A &= \frac {1}{2} \cdot 9 \cdot 3 \\ &= 13,5 m^{2} \end{align}
Der Flächeninhalt des Vorderdachs liegt bei \(13,5 m^{2} \).
Um noch mehr über die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks zu erfahren, schau Dir doch gerne die Erklärung Flächeninhalt Dreieck an.
Umfang eines Dreiecks berechnen
Den Umfang eines Dreiecks kannst Du berechnen, indem alle drei Seiten summiert werden
Berechnung des Umfangs eines Dreiecks:
\[ U=a+b+c \]
Aufgabe 3
Berechne den Umfang einer Dach front mit der Grundseite c von 5 m, ein Seitendach b von 3 m und das andere Seitendach von 6 m.
Lösung
Zum Berechnen des Umfangs der Dach front müssen alle drei Seiten a, b und c addiert werden.
\begin{align} U &= 5m+3m+6m \\ &= 14m^{2} \end{align}
Der Umfang der Dachfront liegt bei \(14m^{2} \).
Außen- und Wechselwinkel eines Dreiecks
Die Innenwinkel \( \alpha, \, \beta \) und \( \gamma \) hast Du bereits kennengelernt. Neben den Innenwinkeln gibt es auch Außenwinkel.
Als Außenwinkel des Dreiecks werden die Nebenwinkel \( \alpha^{*}, \, \beta^{*} \) und \( \gamma^{*} \) der Innenwinkel bezeichnet. Die Außenwinkel sind jeweils so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
\[ \alpha^{*} = 180°- \alpha = \beta + \gamma \]
Die Summe aller Außenwinkel \( \alpha^{*}, \, \beta^{*} \) und \( \gamma^{*} \) eines Dreiecks beträgt 360°.
Die Außenwinkel sehen folgendermaßen aus:
Abbildung 24: Außenwinkel eines Dreiecks
Neben Innen- und Außenwinkeln gibt es noch die Wechselwinkel an einem Dreieck
Die Wechselwinkel eines Dreiecks erhältst Du, indem eine Parallele zu einer Strecke durch den gegenüberliegenden Eckpunkt gelegt wird.
Der Winkel \( \alpha \) und sein Wechselwinkel \( \alpha´ \) sowie \( \beta \) und \( \beta´ \) sind gleich groß.
Zusammen mit dem Winkel \( \gamma \) ergeben alle drei 180°.
Hier sieht man auch noch mal deutlich den Zusammenhang zur Innenwinkelsumme eines Dreiecks.
Abbildung 25: Innenwinkel Dreieck
Die Erklärungen Außenwinkelsumme Dreieck und Wechselwinkel Dreieck geben Dir noch mehr Infos zu diesem Thema.
Satzgruppe des Pythagoras
Die folgenden Sätze und Formeln gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC wie in der Abbildung. Die Höhe unterteilt die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q.
Abbildung 26: Satzgruppe des Pythagoras
Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat über der Hypotenuse der Summe der Quadrate über den beiden Katheten.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck, dann gilt der Satz des Pythagoras:
\[ a^{2}+b^{2}=c^{2} \]
Du möchtest mehr über den Satz des Pythagoras lernen? Dann klicke unbedingt auf die Erklärung.
Kathetensatz (des Euklids)
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat einer Kathete dem Produkt aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt mit der Hypotenuse.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck, dann gilt der Kathetensatz:
\[ a^{2}=c\cdot pb^{2}=c \cdot q \]
Auch wenn Du weiteres zum Kathetensatz wissen möchtest, kannst Du auf den Begriff klicken und es öffnet sich die Erklärung dazu.
Höhensatz (des Euklids)
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Höhe dem Produkt der beiden Abschnitte der Hypotenuse.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck, dann gilt der Höhensatz:
\[ h^{2}=p \cdot q \]
Klicke auch hier auf den Begriff "Höhensatz", wenn Du mehr zum Thema lernen möchtest.
In allen Sätzen steht auf mindestens einer Seite der Gleichung eine Seitenlänge im Quadrat. Möchtest Du diese Seitenlänge berechnen, ziehst Du die Wurzel.
Die Erklärung "Die Satzgruppe des Pythagoras" hat einen eigenen Artikel, den Du Dir gerne anschauen kannst.
Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung ist ein wichtiger Satz in der Geometrie. Der Satz besagt:
Die Summe der Längen der Seiten a und b eines Dreiecks ABC ist größer als die Länge der Seite c des Dreiecks.
Anders ausgedrückt: Eine Seitenlänge des Dreiecks ABC ist kleiner als die Summe der beiden anderen Seitenlängen des Dreiecks.
Gemäß der Dreiecksungleichung gilt also für die Seiten a, b und c des Dreiecks ABC:
\begin{align} c<a &+ b \end{align}
Zur Dreiecksungleichung gibt es eine eigene Erklärung, in der es noch weitere Ausführungen und Beispiele zum Thema gibt.
Winkelsummen im Kugeldreieck
Ein Kugeldreieck ist eine spezielle geometrische Figur
Ein Kugeldreieck ist ein Dreieck, das auf einer Kugel durch drei Kreisbögen begrenzt wird. Die Winkelsummen bei einem Kugeldreieck können bis zu 540° groß sein.
\[ 180° < \alpha + \beta + \gamma <540° \]
Wenn Du noch mehr über die Winkelsumme Kugeldreieck erfahren möchtest, kannst Du Dir die passende Erklärung dazu anschauen.
Dreieck - Das Wichtigste
- Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die durch drei Punkte P, die nicht auf einer Gerade liegen, aufgestellt wird. Die drei Punkte P werden mit Seiten verbunden. Ein Dreieck hat immer drei Winkel \(\alpha, \, \beta \) und \( \gamma \) , die zusammen immer 180° ergeben.
- Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A, B, C.
- Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben entsprechend den gegenüberliegenden Eckpunkten: a, b, c.
- Die Beschriftung der Innenwinkel erfolgt mit \(\alpha \) bei A, \( \beta \) bei B und \( \gamma \) bei C.
- In einem Dreieck gibt es spezielle Geraden. Darunter zählen die Höhengerade, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und die Winkelhalbierende.
- Zu den speziellen Punkten gehören der Schwerpunkt, der Mittelpunkt, der Mittelpunkt des Inkreises und der Höhenschnittpunkt.
- Das gleichseitige Dreieck hat drei gleichlange Seiten und drei gleich große Winkel.
- Das gleichschenklige Dreieck hat zwei gleichlange Seiten und zwei gleich große Winkel.
- Das rechtwinklige Dreieck hat einen rechten Winkel.
- Ein Dreieck kann konstruiert werden und dafür müssen vier Kongruenzsätze erfüllt sein. Die vier Kongruenzsätze sind der SSS-Satz, SWS-Satz, SSW-Satz und WSW-Satz.
Flächeninhalt eines Dreiecks:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \]
- Umfang eines Dreiecks:
\[ U=a+b+c \]
- Die Summe aller Außenwinkel \( \alpha^{*}, \, \beta^{*} \) und \( \gamma^{*} \)eines Dreiecks beträgt 360°.
Der Winkel \( \alpha \) und sein Wechselwinkel \( \alpha´ \) sowie \( \beta \) und \( \beta´ \) sind gleich groß. Zusammen mit dem Winkel \( \gamma \) ergeben alle drei 180°.
Der Winkel \( \alpha \) und sein Wechselwinkel \( \alpha´ \) sowie \( \beta \) und \( \beta´ \) sind gleich groß. Zusammen mit dem Winkel \( \gamma \) ergeben alle drei 180°.
Die folgenden Sätze und Formeln gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC wie in der Abbildung. Die Höhe unterteilt die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q.
Ein Kugeldreieck ist ein Dreieck, das auf einer Kugel durch drei Kreisbögen begrenzt wird. Die Winkelsummen bei einem Kugeldreieck können bis zu 540° groß sein.
- Gemäß der Dreiecksungleichung gilt also für die Seiten a, b und c des Dreiecks ABC:
\begin{align} a<b &+ c \\ b<a &+ c \\ c<a &+ b \end{align}
Nachweise
- Hilbert (1902): Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. Göttingen.
- Albrecht (2020):Linien, Punkte und Flächeninhalt im Dreieck. Springer Spektrum. Berlin. Heidelberg.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Dreieck
Wie berechne ich die Fläche eines Dreiecks?
Der Flächeninhalt A eines Dreiecks kann mithilfe einer Seite g und ihrer Höhe h berechnet werden.
A= 0,5·g·h
Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?
Um den Umfang U eines Dreiecks zu berechnen, werden alle Seitenlängen des Dreiecks addiert.
U=a+b+c
Wie berechnet man die 3. Seite eines Dreiecks?
Eine fehlende Seitenlänge eines Dreiecks kann bei rechtwinkligen Dreiecken über den Satz des Pythagoras berechnet werden.
Ansonsten können auch die Formeln zu Umfang oder Flächeninhalt nach einer bestimmten Größe umgestellt werden.
Wie wird ein Dreieck beschriftet?
- Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A, B, C.
- Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben entsprechend den gegenüberliegenden Eckpunkten: a, b, c.
- Die Beschriftung der Innenwinkel erfolgt mit alpha bei A, beta bei B und gamma bei C.
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